Entscheidungstheorie (Fach) / Prüfungsvorbereitung (Lektion)

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• Voraussetzung von paarweisen Dominanztests Vollständigkeit Keine Rangordnung gesucht Präferenzrichtung eindeutig Präferenzunabhängigkeit
• Anforderungen an ein Zielsystem Vollständigkeit Redundanzfreiheit - keine Überschneidungen Messbarkeit Einfachheit Präferenzunabhängigkeit 
• Zielsystem Gesamtheit aller Fundamentalziele in einer bestimmten Entscheidungssituation  Rationale Entscheider sollten sich nur an solchen Systemen ohne Insturmentalziele orientieren, weil dadurch der Block für neue Alternativen frei wird und Doppelzählungen vermieden werden Man kann Fundamentalziele in Unterziele auflösen oder zu Oberzielen zusammenfassen Zweck: Überprüfung der Redundanzfreiheit und Vollständigkeit  Verbesserung der Messbarkeit
• Zweck von Instrumentalzielen Erarbeitung von Wirkungsmodellen Generierung von Alternativen Überwindung von Messbarkeitsproblemen
• Rationalitätspostulate (Konsistenz) Grundsätze der Stochastik  Zukunftsorientierung Transitivität Invarianz der Darstellung Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen 
• Grundprinzipien der Rationalität Prozedurale Rationalität Konsistenz der Entscheidungsgrundlage Dekomposition Subjektivität Unvollständige Information 
• Prozedurale Rationalität Die Prozedur, die zu einer Entscheidung führt kann mehr oder weniger rational sein.  Anforderungen an Entscheidungsprozeduren: Das richtige Problem lösen Man sollte so viel Aufwand investieren, wie der Bedeutung der Entscheidung angemessen werden kann Erwartungen über die Zukunft bilden mithilfe relevanter objektiver Daten  Bewusstsein von Wahrnehmungsverzerrungen Klarheit über die eigenen Ziele und Präferenzen und keine Selbsttäuschung 
• OR und ET Vergleich OR und ET beschäftigen sic beide mit der Entscheidungsunterstützung Ausgangpunkt sind Ziele Menge der möglichen Entscheidungsvariablen sind Alternativen  Wirkungszusammenhänge werden analysiert  OR : Optimalität, Objektivität, Formale Lösung (mathemat. Modell) ET: Rationalität, Subjektivität, Konsistenz 
• Vorteile von mathematischen Modellen + Gesamtstruktur des Problems wird veranschaulicht  + Ursache- Wirkungszusammenhänge werden aufgedeckt  + EDV-technische Umsetzung wird erleichtert  - Vereinfachende Annahmen müssen getroffen werden - Schränkt die Validität des Modells ein -> Anwendung hängt von Trade-Off zwischen Genauigkeit und Handhabbarkeit des Modells ab 
• Operations Research Wissenschaftliche Disziplin, die darauf abzielt, mit quantitativen Methoden Ressourcenallokationen in komplexen Organisationen zu optimieren Ziel: Optimale Entscheidungsfindung durch deterministische und probablistische Systeme 
• Anwendung von OR 1. Lineare Programmierung  Personaleinsatz Transport Distribution Investitionsportfolio 2. Dynamische Programmierung Produktionsplanung Werbeausgabenplanung 3. Warteschlangentheorie Wartung von Maschinen Verkehrsplanung OP-Planung 4.Lagerhaltungstheorie Spieltheorie Statistische Verfahren Simulation
• Prozess einer OR-Studie Problemformulierung (Matrix oder Baum) Konstruktion eines mathematischen Modells (Roll-Back) Ableiten einer Lösung aus dem Modell  Überprüfung des Modells und der Lösung (Sensitivitätanalyse) Implementierung 
• LP Allokation begrenzter Ressourcen auf konkurrierende Aktivitäten  Instrument in OR
• Voraussetzung LP Alle mathematischen Funktionen müssen linear sein 
• Grundlegende Annahmen von LP Proportionalität: Ressourcenverbrauch und Effektivitätsma Z sind direkt proportional zum Niveau einer Aktivität Additivität: keine wechselseitigen Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Aktivitäten Teilbarkeit: nicht ganzzahlige Werte zulässig Bestimmtheit - alle Parameter haben bekannte und konstante Werte
• OR-Modelle als Wirkungsmodell Markov-Ketten (Überlebenswahrscheinlichkeiten l Therapieformen) Lineare Programmierung (Maschinentypen l  Netzwerk (Projekte) Simulation (Investitionen)
• nicht-messbare Wertfunktion Eine Wertfunktion ist eine Funktion, die den Alternativen a und b eine reelle Zahl derart zuordnet, dass der Wer von a genau dann größer als der Wert von b ist, falls der Enscheider a gegenüber b präferiert v(a) > v(b) ⇔ a > b ordinale Wertfunktion: Keine Stärke der Präferenzen zwischen den Alternativen
• Messbare Wertfunktion Eine messbare Wertfunktion v muss zusätzlich zu den Erfordernissen einer nicht-messbaren Wertfunktion die Eigenschaft haben, dass der Übergang von a nach b genau dann besser ist als der Übergang von c nach d ist, wenn die Differenz von a und b größer als die Differenz der Werte von d und c ist (a → b) > (c → d) ⇔ v(b)-v(a) > v(d)-v(c)
• Existenz von Wertfunktionen Ist die Wertfunktion eine vollständige, transitive Ordnung, so entsteht immer eine Wertfunktion (wenn A abzählbar ist) d.h. nicht jede Präferenz lässt sich durch eine Wertunktion abbilden
• Eindeutigkeit von Wertfunktionen Wertfunktionen müssen immer eindeutig sein  Nicht alle Transformationen sind zulässig ⇔ nur affine m(v) = a*v + b
• Grund Inkonsistenzen Entscheider haben sehr beschränkten Urteilsvermögen  Falsche Anwendung der Methoden  Lösung: Aufdecken durch verschieden Methoden bzw. Konsistenzprüfung  Konfrontation des Entscheiders und ggf. Korrektur Vorgehen: Durchschnittswerte, Fehlerminimierung 
• Grund: nicht-monotone Wertfunktion Grund: Ungenügende Zielstrukturierung  Es exisitiert ein Maximum Attribut ist nicht fundamental  Lösung:  Intervall in monotone Teilintervalle aufteilen Methoden in den Teilintervallen durchführen
• Grund unvollständige Information Grund:  Fehlende Information um Wertfunktion zu ermitteln Entscheider kann keine Angaben machen Lösung: Klasse von möglichen Wertfunktionen bilden Dominanztests  a dominiert b ⇔ v(a) > v(b)
• Multiattributive Wertfunktion Drückt die Präferenzstärke für Alternativen aus unter Berücksichtigung mehrerer Attribute  a>b ⇔ v(a) > v(b)
• Scoring Modell Einzelwertfunktion für jedes Attribut v(a)=∑wr*vr Wertzuwachs von x- auf x+ bzw. Gewicht wr>0 ∑wr=1 Beispiele: Stückweise linear: min-Funktion, stückweise linear additiv: 0,2v1+0,8v2 nicht-additiv: 0,2v1+(v12+1)+0,8v2 -> Präferenzunabhängigkeit verletzt 
• Rationalitätspostultate Beachtung der Grundsätze der Stochastik Zukunftsorientierung Transitivität Invarianz der Darstellung Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
• Lösung bei Unvollständige Information über die Gewichte zu viele Informationen - Fehlerminimierung zu wenige Informationen - Dominanzprüfung ungenaue Information - Sensitivitätsanalyse 
• Annahmen Fehlerminimierung Annahmen: n = Indiffernezaussagen m= ZieleVariablen = 2m+2 n>m, d.h. mehr Indifferenzaussagen als Ziele → LGS ist überbestimmt Einführung zwei positiver Fehlervariablen ξ+ und ξ- → LGS ist unterbestimmt Ermittlung der wi, die zu den kleinsten ξ führen  ξ+-ξ->0 - der minimale Fehler >0 m-2  = n --> keine eindeutige Lösung, da n>m sein muss 
• Fehlerminimierung Zielfunktion: Min ∑(ξ++ξ-) unter der Nebenbed.:  n1= ξ+-ξ- n2= ξ+-ξ- n3= ξ+-ξ- n4=ξ+-ξ- ξ+,ξ- >0 wr>0 ∑wr=1
• Bandbreiteneffekt Gewichte hängen vom Intervall ab, über das die Einzelwertfunktion definiert ist Durch die veränderte Bandbreite verändert sich die Wertfunktion vr'(x) kleines Intervall = kleines Gewicht, hohe Wertdifferenzen großes Intervall = großes Gewicht, kleine Wertdifferenzen Es erfordert eine Anpassung der Gewichte bei Veränderung der Bandbreite B'(r)=(..,..) und einen Ausgleich durch M = Δvr(B'r)=vr (alter Wert neuer Obergrenze) -vr (alter Wert von neuer Untergrenze)
• Additive Nutzenunabhängigkeit Präferenzen über Lotterien dürfen nur von den Verteilungen der einzelnen Attribute und nicht von den Verteilungen der Attributkombinationen abhängen 
• Gründe für das Fehlen additiver Nutzenunabhängigkeit Substitutive Beziehungen zwischen den Zielen "wenn a, dann ist b weniger wichtig" Komplementäre Beziehungen zwischen den Zielen "wenn a, dann ist b schöner" Intrinsische Risikoaversion "Angst vor "weder a noch b""
• Multiattributive Nutzerfunktion Respräsentiert Präferenz bezüglich der Ausprägung der Attribute und der Risikoeinstellung  Wählte ein Entscheider a, so sind n Konsequenzen möglich und so trittein Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit p ein  a>b ⇔ EU(a)>EU(b) EU(x)=∑pi ⋅ ∑kr ⋅ ur(ar) "Summe der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Nutzen der Konsequenzen"
• Multiplikatives Modell Voraussetzung: wechselseitige Nutzenunabhängigkeit u(x)=k1⋅u1+k2⋅uw + k⋅k1k2u1u2 k = Interaktionskonstante = (1-k1-k2)/ k1⋅k2 kr= Gewicht u= eindimensionale Nutzenfunktion 
• Wechselseitige Nutzenunabhängigkeit Jede Teilmenge der Attribute muss unbhängig von der Komplementärmenge sein
• Interaktionen der Ziele ∑kr=1 → k=0 ⇔ keine Interaktion -> additives Modell ∑kr>1 → k>0 ⇔ komplementäre Interaktionen ∑kr>1 → k<0 ⇔ komplementäre UND substitutive Interaktionen 
• Voraussetzung Stochastische Dominanz streng monoton steigende Nutzenfunktion Unsicherheit mehrere Ziele Unvollständige Information
• Risikoprofil Zeigt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine bessere Ausprägung erreicht werden kann  Zeigt die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Wert überschritten wird 
• Prüfung auf additive Nutzenunabhängigkeit BRL (60000,5) BRL (30000,9)  ∼ BRL (30000,5) BRL (60000,9)
• Konstante relative Risikoaversion r*(x)=c ← Risikoaversionsparameter
• Dichtefunktion Die Dichtefunktion ist bei stetigen Zufallsvariablen ein Hilfsmittel zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann auch Werte größer 1 annehmen und sollte nicht mit der Wahrscheinlichkeit selbst verwechselt werden.  Erst die Integration über dem Intervall a,b, ergibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsvariable einen Wert zwischen a und b ("kleiner gleich") annimmt. Die Fläche unter der Dichtefunktion muss also 1 sein, da die Summe aller p(x) 1 beträgt.  P'(X) = p(x) / (x+-x-)
• Symmetrische Wahrscheinlichkeitsinterpretation Aus Eigentschaften gefolgert → Würfel Prinzip des unzureichenden Grundes 
• Subjektivistische Wahrscheinlichkeitsinterpretation subjektiv nicht überprüfbar
• Frequentistische Wahrscheinlichkeitsinterpretation relative Häufigkeit aufgrund von Wiederholen eines Vorgangs Annahme der indentischen Wiederholbarkeit eines Ereignisses  Vergangenheitsbezogen 
• Axiome von Kolmogoroff ∑p(x) = 1 p(x) > 0 p(x)+p(y)= p(x und y)
• Unvollständige Information bezüglich des Gewichts I = Intervalle bezüglich der Punktbewertung V(I) = Menge aller Wertfunktionen, die mit I vereinbar sind  Zielfunktion: min v∈V(I) (v(a)-v(b)) > 0 unter der Nebenbed.: v∈V(I)  dominiert a b? min (w1(v1(a1)-v1(b1)) + w2(v2(a2) + v2(b2)) + w3.....) ist das Minimum (und somit auch das Maximum) > 0 ⇒ a >V(I)bist das Maximum (und somit auch das Minimum) < 0 ⇒ a <V(I)bist das Maximum > 0 und somit das Minimum < 0 ⇒ Keine Aussage möglich
• Stochastische Dominant Eine Alternative a dominiert eine Alternative b stochastisch, wenn für jede Ausprägung der Zielvariablen die Wahrscheinlichkeit, diese zu überschreiten bei a mindestens genauso hoch ist wie bei b  und für mind. 1 Ausprägung bei a höher als bei b ist  wenn a b stochastisch dominiert, dann ist EU(a)>EU(b)  1-Pa(x)≥1-Pb(x) für alle Werte von x 1-Pa(x)>1-Pb(x) für mind.einen Wert von x 
• Unsicherheit bezüglich der Nutzenfunktion Sei U(I) die Menge von Nutzenfunktionen mdie mit der unvollständigen Information des Entscheiders verträglich ist  Zielfunktion: Min ∑pi (u(ai)-u(bi)) unter der Nebenbed.: u(a-)≤u(a)≤u(a+) u(b-)≤u(b)≤u(b+)
• Axiomatische Grundlagen der Erwartungsnutzentheorie Vollständige Ordnung für jedes Paar von Lotterien a,b∈A gilt: a>b, a<b oder a∼b außerdem gilt für alle Lotternien a>b und b>c folgt a>c  Stetigkeit sind alle Lotterien a,b,c mit a>b>c ggeben, dann gibt es eine Wahrscheinlichkeit p bei der gilt p ⋅ a+ (1-p) ⋅ c ∼ b besagt, dass für jede Lotterie b, die zwischen a und c liegt immer eine Kombination von a und c gefundn werden kann, die genauso gut wie b ist  inhaltlich bei Extremfällen problematisch (Leben, Tod)  Unabhängigkeit gilt für zwei Lotterien a>b>c, so muss auch für alle Lotterien c und alle Wahrscheinlichkeiten p gelten p ⋅ a+ (1-p) ⋅ c ∼ p ⋅ b+ (1-p) ⋅ c  besagt, dass sich eine Präferenz zwischen 2 Lotterien a und b nicht ändern darf, wenn a und b mit derselben (und daher für die Entscheidung irrelevanten) Lotterie c verknüpft wird Substitutionsaxiom: Indifferenz zwischen einstufiger und zweistufiger Lotterie bei gleichem Ergebnis 
• Erwartungsnutzentheorie Die Nutzenfunktion u ordnet jeder Konsequenz eine reelle Zahl zu, die sowohl die Einstellung zum Wert der Konsequenz als auch das Risikoverhalten abbildet ∑EU(a) = ∑pi ⋅ u(ai)

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