Mathematik (Fach) / Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (Lektion)

Variation,Permutation etc.

Diese Lektion wurde von JamesCohn erstellt.

Lektion lernen

zurück  |  weiter 1 / 4

• Kombinatorik In der Kombinatorik wird untersucht, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten sich bei der Anordnung einer bestimmten Anzahl an Objekten ergeben, je nachdem, ob dabei die Reihenfolge der Objekte berücksichtigt wird und/oder die Objekte wiederholt auftreten können.
• Variation Bei einer Variation wird aus einer Menge von n-Elementen eine Auswahl an k Elementen entnommen; dabei wird die Reihenfolge der entnommenen Elemente berücksichtigt.
• Variation und Kombination Unterschied Der Unterschied zwischen den beiden Begriffen ist, dass in einer Kombination die Reihenfolge der Objekte nicht interessant ist, in einer Variation jedoch schon. Kombination z.B. Lottozahlen, bei den sechs gezogenen Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Variation z.B. Zahlencode auf Fahrradschlössern, bei den Ziffern eines solchen Codes kommt es sehr wohl auf die Reihenfolge an. (Im Alltag auch "Ziffernkombination" genannt)
• In vielen Fällen will man wissen, wie viele mögliche Gruppierungen exestieren. Mit dieser Frage setzt sich die Kombinatorik auseinander. Nenne die sechs wichtigen Arten von Gruppierungen: Variation ohne Wiederholung Variation mit Wiederholung Kombination ohne Wiederholung Kombination mit Wiederholung Permutation ohne Wiederholung Permutation mit Wiederholung
• Variation ohne Wiederholung Modell: Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge (Anzahl der Kugeln in der Urne:) n (Anzahl der gezogenen Kugeln:) k Anzahl der möglichen Anordungen:                 Vn,k = n! / (n-k)! -> Kann die Formel eintippen oder die Taschenrechnertaste "nPr" benutzen z.B. 8 nPr 4 = 1680
• Fakultät Die Fakultät n ! ist nichts anderes als eine Kurzschreibweise für das Produkt 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n. Die Fakultät ist insbesondere für die Kombinatorik wichtig, da sie die Anzahl der verschiedenen Anordnungen einer n-elementigen Menge wiedergibt. das Produkt aus allen vorkommenden natürlichen Zahlen, von eins beginnend, bis zu einer angegebenen Zahl."Vier Fakultät ist das Produkt aus eins, zwei, drei und vier, also vierundzwanzig."
• Es ist 0 ! = Es ist 0 ! = 1
• 1! = 1! = 1
• Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1,2,3 und 4 bilden, wenn keine der Ziffern doppelt vorkommen soll? Variation ohne Wiederholung-> Keine Ziffer doppelt = keine Wiederholung; die Reihenfolge ist zu beachten, weil es bei Zahlen natürlich eine Rolle spielt in welcher Reihenfolge die Zahlen angeordnet sind) Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge Formel : Vn,k= n! / (n-k)! Es gibt 4 Ziffern das entspricht den vier Ziffern in der Urne Auf den Kugeln stehen die Ziffern 1-4 -> n=4 Es sollen zweistellige Zahlen gebildet werden, dazu müssen wir zwei Kugeln aus der Urne ziehen, k = 2 Taschenrechner: 4nPr2 =12 Aus den vier Ziffern lassen sich 12 verschiedene, zweistellige Zahlen bilden
• Die mathematische beschreibung von Variationen (mit oder ohne Wiederholung) besteht in ? k-Tupeln Ein Tupel ist eine geordnete Zusammenfassung von Objekten. Um Objekte zusammenzufassen, deren Reihenfolge eine Rolle spielt, verwendet man Tupel. Beispiel: (2,3,1)≠(1,2,3) Tupel werden mittels runder Klammern notiert, wobei aufeinanderfolgende Objekte durch Kommas oder Semikolons getrennt werden.
• Variation mit Wiederholung Modell: Ziehen mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge Anzahl der Kugeln in der Urne: n Anzahl der gezogenen Kugeln: k                       Vnk=nk
• 9 Lampen können unabhängig voneinander ausgeschaltet werden. Wie viele verschiedene Lichtmuster sind möglich? Variation MIT Wiederholung Für viele überraschend in der Urne befinden sich hier nur 2 Kugeln, die sind beschriftet mit "An" und "Aus"-> sprich: aus einer Urne mit zwei Kugeln ziehen wir zweimal wir legen die Kugeln nach jedem Zug zurück & beachten die Reihenfolge der Ziehung n = 2 k = 9 V2,9 = 29= 512
• Die mathematische Darstellung einer Kombination ohne Wiederholung ist eine? Menge. z.B. beschreibt die Menge {Salz,Pfeffer,Zimt} eine Würzmischung, die zu je einem Drittel aus Salz, Peffer und Zimt besteht.
• Kombination Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen-> Reihenfolge unwichtig
• Kombination OHNE Wiederholung Formel: (n)     =binomialkoeffizient               (k)      "n über k"  n = Gesamtmenge der Objekte k = Anzahl der ausgewählten Objekte
• Aus einer Gruppe von 30 Schülern sollen 4 Personen ausgewählt werden Kombination ohne Wiederholung n = 30 k = 4 (30) (4  )  = 27.405 Taschenrechner: 30 nCr 4 = 27.405
• Kombination ohne Wiederholung Wie schon bei der Variation bedeutet eine Kombination ohne Wiederholung, dass jedes der Objekte nur einmal ausgewählt werden darf. Zur Berechnung der Kombination benötigen wir nicht etwa die Fakultät, sondern lösen den Term als Binomialkoeffizient.
• Kombination mit Wiederholung "mit Wiederholung"-> Objekte dürfen mehrfach ausgewählt werden-> Mit Zurücklegen Formel  ( n + k -1 )              (       k      ) -> Binominalkoeffizient n = Gesamtanzahl der Objekte, aus der die Auswahl getroffen wird k = Anzahl der ausgewählten Objekte
• In einem Gefäß befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Es werden drei der Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel nach jedem Zug wieder zurückgelegt wird (= mit Wiederholung). Kombination mit Wiederholung Anzahl der ausgewählten Objekte k =3 Anzahl der Gesamtmenge an Objekten n = 6 Berechnung der Kombination:         ( 6+3−13 )         (8)         (     3       )  =     (3)    = 56  Taschenrechner   8nCr3
• Kombination mit Wiederholung Zusammenstellung die aus k Elementen von G besteht Reihenfolge unwichtig Elemente können auch mehrfach auftreten Die mathematische Beschreibung einer solchen Kombination ist eine k-elementige Multimenge
• Fakultät: Permutation ohne Wiederholung , Anordnung von n Elementen Fakultät: Anordnung von n-Elementen: n ! (Taschenrechner "Shift" x!) n = Anzahl der Elemente die angeordnet werden sollen Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung Permutation: Anordnung von Elementen in einer bestimmten Reihenfolge. Beantwortet die Frage wie viele Möglichkeiten es gibt eine bestimmte Menge an Objekten anzuordnen Wichtigste Frage bei der Permutation ist: Wie viele Gesamtobjekte gibt es? Das ist der Einzige Wert den wir benötigen um die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten auszurechnen, den setzen wir dann einfach für n! ein und haben die Anzahl der Möglichen Anordungen Permutation ohne W.: Reihenfolge wichtig; kein Element darf mehrfach vorkommen (z.B Anordung von Personen auf einem Gruppenbild)
• Permutation mit Wiederholung "mit Wiederholung"= die Eigenschaften von Objekten wiederholen sich / in der Menge der Objekte gibt es Objekte die identisch sind z.B. Wir haben 3 rote, 1 blaue, gründer und gelbe Kugel Formel:         n! / k! n! = Gesamtmenge der Objekte k! = Anzahl der Onjekte die identisch sind    6! / 3! =  6.5.4.3.2.1 / 3.2.1  = 120 Permutation mit Wiederholung: Reihenfolge wichtig, jedes Element darf mehrfach auftreten
• Erwartungswert E(x) gibt das durchschnittliche Ergebnis bei einem Wahrscheinlichkeitsexperiment/ Verteilung an Der Erwartungswert ist eine Maßzahlzur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Erwartungswert beschreibt die zentrale Lage einer Verteilung. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert (umgangssprachlich: Durchschnittswert). E(x)= x1 . P(X=x1) + x2 . P(X=x2) + ... Merke: x1,x2 etc. = Gewinn für ein bestimmtes Ergebniss und das P von dem x ist die Wahrschienlichkeit dafür Man multipliziert also die einzelnen Ergebnisse bzw. Gewinne mit deren Wahrscheinlcihkeiten und addiert das Ganze Merke: Ein Spiel ist FAIR, wenn gilt: E(x)=0
• Berechne den Erwartungswert E(x): Jahrmarkt, Glücksrad mit 1$ Einsatz, das Glücksrat ist in drei Teile aufgeteilt; 2$ und 1$ nehmen je ein Viertel des Rades ein und 0$ die Hälfte-> man setzte einen Euro und das Ding wird gedreht, der Betrag auf den der Pfeil zeigt, den gewinnt man 2$ Gewinn: Effektic nur 1$ gewonnen, da man ja 1$ Einsatz bezahlen musste 1$ Gewinn: 0$ gewonnen 0$ Gewinn: -1$ verloren 2$ Feld 1/4 des Kreises groß-> Wahrscheinlichkeit dieses zu treffen = 0,25 ebenso das 1$ Gewinnfeld Bei dem 0$ Gewinn mit der hälfte des Kreises-> 0,5 Rechnung: 1$ . 0,25 + 0$ . 0,25 + (-1$) . 0,5 = -0,25$ -> E(x) Auf lange Sicht erhält man das Ergebnis -0,25$, also auf lange Sicht 0,25$ Verlust hat pro Spiel-> Spiel unfair! Der Erwartungswert wird auch häufig mit dem griechischen Buchstaben μ (my) bezeichnet, d.h. E(x)=μ
• Zufallsvariable (Zufallsgröße) Eine Zufallsvariable ist eine Zuordnung (d.h. Funktion) X, die jedem möglichen Ergebnis  e eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert X(e) zuordnet. D.h.  insbesondere:  X(e) ist immer eine Zahl nichts anderes. Nehmen wir beispielsweise an, ein Zufallsexperiment besitze nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich "Treffer" (t) und "Kein Treffer" (t) . Dann können wir diesen beiden Ergebnissen einen (womöglich negativen) Gewinn zuordnen, also z.B. X0(t)=1 und X0(t)=-1. Diese Zuordnung X0 ist dann eine Zufallsvariable. Eine andere Zufallsvariable X1 können wir dadurch definieren, dass wir z.B. dreistufige Experimente durchführen und dabie die Treffer zähln. Z.B. X1(t,t,t) =2
• Varianz und Standardabweichung Die Varianz ist eine Maßzahlzur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Varianz beschreibt die erwartete quadratische Abweichungder Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.  Varianz = (erste Zahl - E)2 . P(erste Zahl) + (zweite Zahl - E)2 . P(zweite Zahl) + .... (Ergebnisse (z.B. bei einem Feld von 1$ Gewinn mit 1$ Einsatz = 0) - den Erwartungswert zum Quadrat und das mal die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses) Standardabweichung: Wert dafür wie weit meine Werte um den Mittelwert Streuen-> größeres sigma = größere AbweichungenMan hat ja gesagt die Varianz ist der Durchschnitt vom quadratischen Abstand-> Wenn man daraus nun die Wurzel zieht, ergibt das die Stanardabweichung (δ=√Varianz)-> Standardabweichung ist nicht der durchschnittliche Abstand sondern einfach die Wurzel aus derVarianz!!! Nachteil der Varianz ist, dass sie aufgrund der Quadrierung eine andere Einheit als die beobachteten Messwerte besitzt. Auf den ersten Blick können somit keine konkreten Aussagen über die Streuungsbreite abgeleitet werden. In der Praxis wird daher häufig die Standardabweichung, die sich aus Quadratwurzel der Varianz ergibt, herangezogen.
• Varianz Die Varianz ist ein Zahlenwert, mit dem  gemessen wird, wie stark die Zufallsgröße normalerweise von dem Erwartungswert abweicht. D.h. : Die Varianz ist klein, wenn die Zufallsgröße mit großer Wahrscheinlichkeit sehr nahe an dem Erwaartungswert liegt; die Varianz ist dagegen groß, wenn die Zufallsgröße mit großer Wahrscheinlichkeit sehr stark vom Erwartungswert abweicht.
• V a r i a n z die Varianz ist die durchschnittliche (oder mittlere) quadratische Abweichung vom Erwartungswert, die sich auf lange Sicht einstellt.
• Erläutern Sie den Unterschied zwischen den Begriffen "Variation" und "Permutation". Bei einer Variation kann man alle Elemente der gesamten Grundmenge G auswählen, bei einer Variation mit Wiederholung sogar in beliebigen Stückzahlen. D.h. man darf sich zuerst eine (ungeordnete) Kombination aussuchen und dann diese Kombination in eine Reihenfolge bringen. Bei einer Permutation sind dagegen die infrage kommenden Elemente bereits ausgewählt; falls Wiederholungen zulässig sind, liegen auch die Stückzahlen bereits fest. Die Permutationen bestehen dann lediglich in einer Umordnung der bestehenden Elemente. D.h.: Bei einer Permutation darf man sich nicht mehr die Kombination der Elemente aussuchen, sondern nur noch deren Reihenfolge.
• Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können sich verändern, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt. PB(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung,dass B eingetreten ist. Statt PB(A) schreibt man auch häufig P(A|B)
• P_B(¯A) PB(¯A) ist die Wahrscheinlichkeit von ¯A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist.
• Bedingte Wahrscheinlichkeit - Herleitung Zur Berechnung der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit brauchen wir die 1. Pfadregel. 1. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleichdem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
• Formel bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)=     P(A∩B)   /  P(B) Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist gleich dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit von A und B und der Wahrscheinlichkeit von B. PB(A)= Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B P(A∩B) = Wahrscheinlichkeit von A und B P(B) = Wahrscheinlichkeit von B
• In Mathematikbüchern wird der Multiplikationssatz meist einfach so aufgeschrieben: Multiplikationssatz für zwei Ereignisse A und B           P(A∩B)= P(B)⋅PB(A)
• Satz der Gegenwahrscheinlichkeit bei bedingter Wahrscheinlichkeit p(A I B) + p ( ‾A I B) = 1
• Problemstellung Gegeben sind ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen A und B sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses. Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist. Gesucht ist also P(A).
• Totale Wahrscheinlichkeit - Herleitung Die totale Wahrscheinlichkeit berechnet man mit Hilfe der 2. Pfadregel. 2. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
• In Mathematikbüchern wird der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit meist so aufgeschrieben: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse A und B P(A) = P(A∩B) + P(A ∩ ¯B) = P(B) ⋅ PB(A) + P(¯B) ⋅ P¯B(A)
• Satz von Bayes Mit Hilfe des Satzes von Bayes bzw. der Bayes Formel/des Bayestheorems kann man die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A,B bestimmen: ℙ(A|B) = ℙ(B|A)⋅ℙ(A)  / ℙ(B)  = ℙ(B|A)⋅ℙ(A) /ℙ(A) . ℙ(B|A) + ℙ(‾A) . ℙ(B|A‾) Der Satz von Bayes wird verwendet, wenn man das Ergebnis schon kennt und die Wahrscheinlichkeiten für eine mögliche Ursache herausfinden möchte. Wenn man die Gleichung näher betrachtet, sollte uns P(A|B)= P(Was suchen wir | Was wissen wir) bekannt vorkommen. Ferner steht im Nenner der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, welcher die Summe der möglichen Ausgänge darstellt.
• stochastisch unabhängig Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig,wenn das Eintreten des einen Ereignissendas Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.
• Ergebnis - Ereignis - Ergebnismenge Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnisse. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ergebnismenge.Sie wird üblicherweise mit dem Symbol Ω (sprich Omega) bezeichnet. Jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes in einer Menge nennt man Ereignis. Es gibt außerdem noch das sogenannte „unmögliche Ereignis“, das keinerlei Ergebnis enthält.
• Bei einem Zufallsexperiment (auch Zufallsversuch genannt) handelt es sich um einen Versuch, der unter bestimmten Bedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang besitzt. Eigenschaften eines Zufallsexperimentes sind: geplant und kontrolliert ablaufender Zufallsvorgang wiederholbar unter gleichen Bedingungen mögliche Ergebnisse des Vorgangs stehen im Voraus fest Das tatsächliche Ergebnis ist im Voraus nicht bekannt. Beispiele: Werfen eines Würfels, Ziehung der Lottozahlen
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse ? heißt ?, wobei jedes Ergebnis genau einmal in ?vorkommt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse ωi heißt Ergebnisraum Ω, wobei jedes Ergebnis genau einmal in Ω vorkommt.
• Für unser Beispiel mit dem einmaligen Werfen eines Würfels folgt für den Ergebnisraum:     Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 } = { 1,2,3,4,5,6}
• Jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes in einer Menge wird ? genannt. Beispiele für Ereignisse: Ereignis eine ungerade Zahl beim Drehen eines Glücksrades (1-9) – Lösung: { 1,3,5,7,9} Werfen von zwei Würfeln, deren Augenzahlsumme 10 ist – Lösung: { (6;4),(5;5),(4;6) }
• Sicheres Ereignis Die Ergebnismenge Ω ist die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Sie ist somit ebenfalls ein Ereignis. Da dieses Ereignis immer eintritt, nennt man dieses Ereignis auch sicheres Ereignis. Beispiel: Beim Zufallsexperiment Zweimaliges Werfen eines Würfels ist das Ereignis Summe der beiden Augenzahlen ist kleiner oder gleich 12 ein sicheres Ereignis!
• unmögliche Ereignis Das unmögliche Ereignis ist ein Ereignis, das bei jeder Ausführung des Zufallsexperimentes niemals eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten jedes unmöglichen Ereignisses ist also gleich Null! Beispiel 1: Beim Zufallsexperiment Zweimaliges Werfen eines Würfels ist das Ergebnis Summe der beiden Augenzahlen ist gleich Null unmöglich. Beispiel 2: Beim Würfeln eines normalen Würfels eine 7 würfeln.
• Den einzelnen Elementen eines Ereignisraumes lassen sich Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird mit ? bezeichnet. Bei einem Zufallsexperiment kann man zwar nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, man hält jedoch oft ? Den einzelnen Elementen eines Ereignisraumes lassen sich Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird mit P(A) bezeichnet. Bei einem Zufallsexperiment kann man zwar nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, man hält jedoch oft das Eintreten einiger Ereignisse für mehr, andere für weniger wahrscheinlich.
• Vervollständige 0 ≤ ? ≤ 1 P(Ω) = ? (Normierung) und P({ }) = ? P(A U B) = ? - P(A ∩ B) (Additionssatz) P(¯A)= ? (Gegenwahrscheinlichkeit) 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 (Normierung) und P({ }) = 0 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (Additionssatz) P(¯A)=1-P(A) (Gegenwahrscheinlichkeit)
• Laplace-Experiment Um Wahrscheinlichkeiten berechnen zu können, benötigt man Zusatzinformationen über das jeweilige Zufallsexperiment. Eine Zusatzinformation kann z.B. darin bestehen, dass man weiß, dass die Ergebnismenge endlich (oder auch abzählbar) ist und die Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse alle gleich groß sind. Ein Zufallsexperiment mit diesen Eigenschaften heißt Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A als Quotient aus der Anzahl der für A günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments errechnen: P(A) = Anzahl der Elementarereignisse, bei denen A eintritt \ Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse

zurück  |  weiter 1 / 4