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Variation,Permutation etc.

Diese Lektion wurde von JamesCohn erstellt.

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  • Kombinatorik In der Kombinatorik wird untersucht, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten sich bei der Anordnung einer bestimmten Anzahl an Objekten ergeben, je nachdem, ob dabei die Reihenfolge der Objekte berücksichtigt ...
  • Variation Bei einer Variation wird aus einer Menge von n-Elementen eine Auswahl an k Elementen entnommen; dabei wird die Reihenfolge der entnommenen Elemente berücksichtigt.
  • Variation und Kombination Unterschied Der Unterschied zwischen den beiden Begriffen ist, dass in einer Kombination die Reihenfolge der Objekte nicht interessant ist, in einer Variation jedoch schon. Kombination z.B. Lottozahlen, bei den sechs ...
  • In vielen Fällen will man wissen, wie viele mögliche ... Variation ohne Wiederholung Variation mit Wiederholung Kombination ohne Wiederholung Kombination mit Wiederholung Permutation ohne Wiederholung Permutation mit Wiederholung
  • Variation ohne Wiederholung Modell: Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge (Anzahl der Kugeln in der Urne:) n (Anzahl der gezogenen Kugeln:) k Anzahl der möglichen Anordungen:                 Vn,k ...
  • Fakultät Die Fakultät n ! ist nichts anderes als eine Kurzschreibweise für das Produkt 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n. Die Fakultät ist insbesondere für die Kombinatorik wichtig, da sie die Anzahl der verschiedenen ...
  • Es ist 0 ! = Es ist 0 ! = 1
  • 1! = 1! = 1
  • Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den ... Variation ohne Wiederholung-> Keine Ziffer doppelt = keine Wiederholung; die Reihenfolge ist zu beachten, weil es bei Zahlen natürlich eine Rolle spielt in welcher Reihenfolge die Zahlen angeordnet sind) ...
  • Die mathematische beschreibung von Variationen (mit ... k-Tupeln Ein Tupel ist eine geordnete Zusammenfassung von Objekten. Um Objekte zusammenzufassen, deren Reihenfolge eine Rolle spielt, verwendet man Tupel. Beispiel: (2,3,1)≠(1,2,3) Tupel werden mittels ...
  • Variation mit Wiederholung Modell: Ziehen mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge Anzahl der Kugeln in der Urne: n Anzahl der gezogenen Kugeln: k                       Vnk=nk
  • 9 Lampen können unabhängig voneinander ausgeschaltet ... Variation MIT Wiederholung Für viele überraschend in der Urne befinden sich hier nur 2 Kugeln, die sind beschriftet mit "An" und "Aus"-> sprich: aus einer Urne mit zwei Kugeln ziehen wir zweimal wir ...
  • Die mathematische Darstellung einer Kombination ohne ... Menge. z.B. beschreibt die Menge {Salz,Pfeffer,Zimt} eine Würzmischung, die zu je einem Drittel aus Salz, Peffer und Zimt besteht.
  • Kombination Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen-> Reihenfolge unwichtig
  • Kombination OHNE Wiederholung Formel: (n)     =binomialkoeffizient               (k)      "n über k"  n = Gesamtmenge der Objekte k = Anzahl der ausgewählten Objekte
  • Aus einer Gruppe von 30 Schülern sollen 4 Personen ... Kombination ohne Wiederholung n = 30 k = 4 (30) (4  )  = 27.405 Taschenrechner: 30 nCr 4 = 27.405
  • Kombination ohne Wiederholung Wie schon bei der Variation bedeutet eine Kombination ohne Wiederholung, dass jedes der Objekte nur einmal ausgewählt werden darf. Zur Berechnung der Kombination benötigen wir nicht etwa die Fakultät, ...
  • Kombination mit Wiederholung "mit Wiederholung"-> Objekte dürfen mehrfach ausgewählt werden-> Mit Zurücklegen Formel  ( n + k -1 )              (       k      ) -> Binominalkoeffizient n = Gesamtanzahl der ...
  • In einem Gefäß befinden sich sechs verschiedenfarbige ... Kombination mit Wiederholung Anzahl der ausgewählten Objekte k =3 Anzahl der Gesamtmenge an Objekten n = 6 Berechnung der Kombination:         ( 6+3−13 )         (8)         ...
  • Kombination mit Wiederholung Zusammenstellung die aus k Elementen von G besteht Reihenfolge unwichtig Elemente können auch mehrfach auftreten Die mathematische Beschreibung einer solchen Kombination ist eine k-elementige Multimenge ...
  • Fakultät: Permutation ohne Wiederholung , Anordnung ... Fakultät: Anordnung von n-Elementen: n ! (Taschenrechner "Shift" x!) n = Anzahl der Elemente die angeordnet werden sollen Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung Permutation: Anordnung von Elementen ...
  • Permutation mit Wiederholung "mit Wiederholung"= die Eigenschaften von Objekten wiederholen sich / in der Menge der Objekte gibt es Objekte die identisch sind z.B. Wir haben 3 rote, 1 blaue, gründer und gelbe Kugel Formel:         ...
  • Erwartungswert E(x) gibt das durchschnittliche Ergebnis bei einem Wahrscheinlichkeitsexperiment/ Verteilung an Der Erwartungswert ist eine Maßzahlzur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Erwartungswert ...
  • Berechne den Erwartungswert E(x): Jahrmarkt, Glücksrad ... 2$ Gewinn: Effektic nur 1$ gewonnen, da man ja 1$ Einsatz bezahlen musste 1$ Gewinn: 0$ gewonnen 0$ Gewinn: -1$ verloren 2$ Feld 1/4 des Kreises groß-> Wahrscheinlichkeit dieses zu treffen = 0,25 ebenso ...
  • Zufallsvariable (Zufallsgröße) Eine Zufallsvariable ist eine Zuordnung (d.h. Funktion) X, die jedem möglichen Ergebnis  e eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert X(e) zuordnet. D.h.  insbesondere:  X(e) ist immer eine Zahl nichts ...
  • Varianz und Standardabweichung Die Varianz ist eine Maßzahlzur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Varianz beschreibt die erwartete quadratische Abweichungder Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.  Varianz ...
  • Varianz Die Varianz ist ein Zahlenwert, mit dem  gemessen wird, wie stark die Zufallsgröße normalerweise von dem Erwartungswert abweicht. D.h. : Die Varianz ist klein, wenn die Zufallsgröße mit großer Wahrscheinlichkeit ...
  • V a r i a n z die Varianz ist die durchschnittliche (oder mittlere) quadratische Abweichung vom Erwartungswert, die sich auf lange Sicht einstellt.
  • Erläutern Sie den Unterschied zwischen den Begriffen ... Bei einer Variation kann man alle Elemente der gesamten Grundmenge G auswählen, bei einer Variation mit Wiederholung sogar in beliebigen Stückzahlen. D.h. man darf sich zuerst eine (ungeordnete) Kombination ...
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen können sich verändern, wenn bereits andere Ereignisse eingetreten sind. Um diesen Einfluss zu untersuchen, wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt. ...
  • P_B(¯A) PB(¯A) ist die Wahrscheinlichkeit von ¯A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist.
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit - Herleitung Zur Berechnung ... 1. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleichdem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades.
  • Formel bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)=     P(A∩B)   /  P(B) Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist gleich dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit von A und B und der Wahrscheinlichkeit von B. PB(A)= Wahrscheinlichkeit ...
  • In Mathematikbüchern wird der Multiplikationssatz ... Multiplikationssatz für zwei Ereignisse A und B           P(A∩B)= P(B)⋅PB(A)
  • Satz der Gegenwahrscheinlichkeit bei bedingter Wahrscheinlichkeit ... p(A I B) + p ( ‾A I B) = 1
  • Problemstellung Gegeben sind ein zweistufiges Zufallsexperiment ... Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist. Gesucht ist also P(A).
  • Totale Wahrscheinlichkeit - Herleitung Die totale ... 2. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
  • In Mathematikbüchern wird der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ... Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse A und B P(A) = P(A∩B) + P(A ∩ ¯B) = P(B) ⋅ PB(A) + P(¯B) ⋅ P¯B(A)
  • Satz von Bayes Mit Hilfe des Satzes von Bayes bzw. der Bayes Formel/des Bayestheorems kann man die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A,B bestimmen: ℙ(A|B) = ℙ(B|A)⋅ℙ(A)  / ℙ(B)  = ℙ(B|A)⋅ℙ(A) ...
  • stochastisch unabhängig Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig,wenn das Eintreten des einen Ereignissendas Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.
  • Ergebnis - Ereignis - Ergebnismenge Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnisse. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ergebnismenge.Sie wird ...
  • Bei einem Zufallsexperiment (auch Zufallsversuch genannt) ... geplant und kontrolliert ablaufender Zufallsvorgang wiederholbar unter gleichen Bedingungen mögliche Ergebnisse des Vorgangs stehen im Voraus fest Das tatsächliche Ergebnis ist im Voraus nicht bekannt. ...
  • Die Menge aller möglichen Ergebnisse ? heißt ?, ... Die Menge aller möglichen Ergebnisse ωi heißt Ergebnisraum Ω, wobei jedes Ergebnis genau einmal in Ω vorkommt.
  • Für unser Beispiel mit dem einmaligen Werfen eines ...     Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 } = { 1,2,3,4,5,6}
  • Jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen ... Ereignis eine ungerade Zahl beim Drehen eines Glücksrades (1-9) – Lösung: { 1,3,5,7,9} Werfen von zwei Würfeln, deren Augenzahlsumme 10 ist – Lösung: { (6;4),(5;5),(4;6) }
  • Sicheres Ereignis Die Ergebnismenge Ω ist die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Sie ist somit ebenfalls ein Ereignis. Da dieses Ereignis immer eintritt, nennt man dieses Ereignis ...
  • unmögliche Ereignis Das unmögliche Ereignis ist ein Ereignis, das bei jeder Ausführung des Zufallsexperimentes niemals eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten jedes unmöglichen Ereignisses ist also gleich ...
  • Den einzelnen Elementen eines Ereignisraumes lassen ... Den einzelnen Elementen eines Ereignisraumes lassen sich Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird mit P(A) bezeichnet. Bei einem Zufallsexperiment kann man zwar nicht ...
  • Vervollständige 0 ≤ ? ≤ 1 P(Ω) = ? (Normierung) ... 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 (Normierung) und P({ }) = 0 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (Additionssatz) P(¯A)=1-P(A) (Gegenwahrscheinlichkeit)
  • Laplace-Experiment Um Wahrscheinlichkeiten berechnen zu können, benötigt man Zusatzinformationen über das jeweilige Zufallsexperiment. Eine Zusatzinformation kann z.B. darin bestehen, dass man weiß, dass die Ergebnismenge ...