2r bivariate deskriptive statistik kap7 kap 8 korrelation und regression

 Was sagt einem ein Produkt-Moment = 15,22?  Es gibt einen Zusammenhang, da Produkt-Moment ≠ 0  Der Zusammenhang ist positiv, da Produkt-Moment > 0  Aber wie groß ist der Zusammenhang?  Problem: Produkt-Moment ist abhängig von der Anzahl der Wertepaare!  Lösung: Kovarianz - Mittelwert des Kreuzproduktes

 Auch die Kovarianz ist noch nicht das optimale Zusammenhangsmaß.  Die Kovarianz ist abhängig von der Skalierung, bzw. nicht invariant gegenüber linearen Transformationen (y=ax+b). Der tatsächliche Zusammenhang sollte unabhängig von der Skalierung sein.  Lösung: Division der Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen der beiden Variablen = Produkt-Moment- Korrelationskoeffizient 

z-Standardisierung:Die Produkt-Moment-Korrelation entspricht dem mittleren Kreuzprodukt der z-Werte!  Abweichung der Messwerte vom Mittelwert relativiert an der Standardabweichung.  Ein z-Wert drückt damit die relative Lage zum Mittelwert unabhängig von der Skalierung aus.  Also genau jene Information, die in der Produkt-Moment-Korrelation verrechnet wird.

Die Stärke einer Korrelation wird beeinflusst durch...  den Untersuchungsgegenstand  das Messinstrument  Vernzerrugen  |r|≈0.1: schwacher Zusammenhang  |r|≈0.3: mittlerer Zusammenhang  |r|≈0.5: starker Zusammenhang  Warum ist r=.5 schon ein starker Zusammenhang ?  Es liegen praktisch immer multiple Einflussfaktoren vor!  Bsp.: Trunkenheit – Bierkonsum, Körpergewicht, Geschlecht, Genfaktoren,...

Die Produkt-Moment-Korrelation wird oft durch folgende Faktoren verzerrt:  Ausreißerwerte  Einschränkungen der Variabilität  Zusammenfassung heterogener Stichproben

 Streudiagramm  Univariate Statistiken  Konfundierende Variablen

Extreme Messwerte in einer oder beiden Variablen können einen starken Einfluss auf die Produkt-Moment-Korrelation haben.

 Niveauunterschiede in Variablen zwischen Untergruppen können zu deutlichen Verzerrungen des geschätzten Zusammenhangs führen

 Der Zusammenhang zwischen zwei Variablen impliziert nicht zwangsläufig, dass die eine Variable die andere beeinflusst  Eine Bedingung für einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang ist die Korrelation zwischen einer Variablen X und einer Variablen Y  Aber die beobachtete Korrelation kann auf unterschiedlichen Wegen zustande kommen.

Der Phi-Koeffizient ist ein Zusammenhangsmaß für zwei nominalskalierte Variablen. Bsp.: Geschlecht und Berufsziel  Frauen gelten ja als das emotionale Geschlecht (Alltags-Psychologie bzw. Stereotypen).  Daher könnte vermutet werden, dass Frauen sich eher den klinisch/therapeutischen Bereich als Berufsziel gesetzt haben.  Hängt das Geschlecht mit dem Berufsziel „klinischer Bereich“ zusammen?

Bei vorliegender Unabhängigkeit sollte der Anteil des Berufsziels „klinischer Bereich“ genauso groß für Männer wie für Frauen sein.  Ist jeweils der Anteil für Männer und Frauen unterschiedlich, dann hängen die Merkmale irgendwie zusammen.  Annahme gleicher Anteile:  25.9% von 85 Frauen, also ca. 22 Frauen sollten das Berufsziel „klinischer Bereich“ angegeben haben.  25.9% von 27 Männern, also ca. 7 Männer sollten das Berufsziel „klinischer Bereich“ angegeben haben.

Unter Unabhängigkeit wurden unter denen, die den „klinischen Bereich“ gewählt haben,...  2 Männer mehr und  2 Frauen weniger  erwartet, als beobachtet wurden.

Der phi-Koeffizient wird in der Regel nur positiv angegeben.  Das Vorzeichen ergibt sich nur aus der beliebigen Anordnung der Kontingenztabelle.  |φ|=,095  Die Stärke des Zusammenhangs wird bei phi durch die Randverteilung eingeschränkt.  Nur bei gleichen Randsummen (z.B. Männer : Frauen = 50 : 50) ist ein perfekter Zusammenhang möglich.

Rangkorrelationen sind Zusammenhangsmaße, die die Korrelation zwischen zwei mindestens ordinalskalierten Variablen bestimmen.  Rangkorrelationen werden verwendet,...  wenn tatsächlich nur Ordinalskalenniveau vorliegt.  wenn Zweifel über die Angemessenheit bspw. der Produkt-Moment-Korrelation besteht.  Zwei übliche Maße:  Kendalls τ (Tau)  Spearmans Rangkorrelationskoeffizient

Kendalls τ (Tau) ist ein Zusammenhangsmaß für zwei mindestens ordinalskalierte Merkmale.  Bsp.: Hängt morgendlicher Appetit mit der Leichtigkeit des Aufstehens zusammen?  Korrelieren die ItemsAngenommen, Sie befinden sich unter normalen Umweltbedingungen: Wie leicht würde es Ihnen fallen, morgens aufzustehen? (Antwort :1 – 4) Wie ist Ihr Appetit während der ersten halben Stunde, nachdem Sie morgens aufgewacht sind? (Antwort: 1 - 4)

Schritt 1: Bringe die Werte einer Variable in eine aufsteigende Rangreihe. (sortiert nach Aufstehen) Schritt 2: Untersuche diejenige Variable, die nicht sortiert wurde.  Appetit Logik:  Bei einem perfekten Zusammenhang sollten für Appetit bei Paarvergleichen jeweils die kleineren Werte links zu finden sein.  Zähle aus in wie vielen Paarvergleichen tatsächlich links die kleinere Zahl steht.

ist die Differenz aus Proversionen (P) und Inversionen (I).  S=Proversionen – Inversionen S=(3+1+0) – (0+1+1) S=4-2  Der Koeffizient ergibt sich aus dem Verhältnis von S zur maximalen LG Psychologische Methodenlehre und Evaluation Anzahl der Proversionen.

Spearmans Rangkorrelation bestimmt den Zusammenhang zwischen zwei mindestens ordinalskalierten Merkmalen.  Bsp.: Aufstehen x Appetit (siehe Kendalls τ)   Schritt 1: Werte in Ränge transformieren  Kleinster Wert die 1, nächst größter Wert die 2, etc.  Bei Rangbindungen: Mittelwert der Ränge.  Schritt 2: Bilde die Differenzen der Ränge  Logik:  Bei perfekter Korrelation sollten keine Differenzen auftreten.  Größere Differenzenkleinere Korrelation.

Rangbindungen (gleiche Rangplätze) stellen allgemeines Problem dar.  Es gibt sowohl für Spearman als auch Kendall mehr oder weniger komplizierte Korrekturformeln.  Vergleich der Rangkorrelationskoeffizienten  Spearman führt in der Regel zu höheren Korrelationen.  Kendall ist dagegen robuster bei Rangbindungen

Bsp.: Zusammenhang von Neurotizismus und Angst vor der Statistikklausur.  r = ,45, mittlerer bis hoher positiver Zusammenhang  Hohe Werte in Neurotizismus gehen mit hohen Werten im STAI einher.  Die Information des Zusammenhangs kann für eine Vorhersage verwendet werden.

Vorhersage der Werte einer Variablen durch die Werte einer anderen Variablen.  Gerichtet im Gegensatz zu den Zusammenhangsmaßen.  Regression des Kriteriums auf den Prädiktor.  Prädiktor  Üblicherweise X  Variable, die aus inhaltlichen oder theoretischen Gründen als Grundlage der Vorhersage bestimmt wird (unabhängige Variable)  Kriterium  Üblicherweise Y  Variable, die durch den Prädiktor vorhergesagt wird (abhängige Variable)

 Personalauswahl Vorhersage der beruflichen Leistungsfähigkeit eines Bewerbers bspw. durch einen Intelligenztest.  Klinische Prognose Prognose der Krankheitsentwicklung bspw. eines depressiven Patienten durch das Ergebnis eines Depressionsfragebogens.  Beispieldaten  Vorhersage der Angst vor der Statistikklausur über das Persönlichkeitsmerkmal Neurotizismus.

Berechnung von vorhergesagten Werten für das Kriterium auf Grundlage des Prädiktors  Anpassung einer vorher festgelegten mathematischen Funktion.  linear  quadratisch  kubisch  logarithmisch ...  Lineare Regression – Anpassung einer linearen Funktion (Gerade)Regressionsgleichung  In der Psychologie liegen üblicherweise stochastische Zusammenhänge vor.  Vorhergesagte Werte (die Punkte der Geraden) sind nicht gleich den tatsächlichen Werten des Kriteriums!  

Residuum – Differenz zwischen dem vorhergesagten Wert (y�i) und dem tatsächlichem wert des kriterumsAnders ausgedrückt: Der tatsächliche Wert ergibt sich aus der Summe des vorhergesagten Wertes und des Residuums.

Bei stochastischen, nicht perfekten Zusammenhängen gibt es keine offensichtliche Lösung für das Aufstellen einer Regressionsgeraden!  Fragestellung: Nach welchem Kriterium ist die Regressionsgerade auszuwählen?  Vorschlag: Wähle diejenige Gerade, die die Werte des Kriteriums „am besten“ beschreibt.  Möglichst kleine Summe der Abweichungen zwischen vorhergesagten und tatsächlichen Werten des Kriteriums.  Möglichst kleine Summe der Residuen.

 Stochastische Zusammenhänge erlauben keine perfekte Vorhersage. Es gibt immer Vorhersagefehler (Residuen) Trotzdem gibt es bessere und schlechtere Vorhersagen  Frage: Wie lässt sich bestimmen, wie gut eine Vorhersage ist?  Lösung: Varianzzerlegung  Zerlegung der Gesamtvarianz des Kriteriums in vorhergesagte und nicht vorhergesagte Anteile.  Es gilt: Je besser die Vorhersage (je höher der Zusammenhang)  desto kleiner werden die Residuen und  desto größer werden die vorhergesagten Abweichungen.