107

Statistik 1 (Subject) / Statistik 1 (Lesson)

This lesson was created by Stieler.

Learn lesson

This lesson is not released for learning.

back  |  next 2 / 3

• stetiges Merkmal die Ausprägungen bilden ein Intervall. Es können auch Zwischenwerte angenommen werden, theoretisch unendlich viele Ausprägungen – etwa Zeitangaben, Größe, Gewicht
• Verhältnisskala Die Verhältnisskala ist das höchste Skalenniveau in der Statistik. Einzig bei diesem metrischen Skalenniveau ist es sinnvoll und erlaubt: Multiplikation und Division. Verhältnisse von Merkmalswerten dürfen also gebildet werden z.B. Preis, Geschwindigkeit...
• Intervallskala Die Intervallskala zählt zum metrischen Messniveau, da sich die Ausprägungen dieses Skalenniveaus quantitativ mittels Zahlen darstellen lassen. Insbesondere bedeutet das auch, dass Rangunterschiede und Abstand zwischen Werten gemessen werden können, also Addition und Subtraktion. künstlicher Nullpunkt (zum Beispiel Grad Celsius, aber: Kelvin ist verhältnisskaliert, meist IQ-Skala, etc.)
• Elementarereignis/Ergebnis Nach Kolmogorow:  einelementige Teilmengen des Ergebnisraums.Heute wird es aber  eher „Ergebnis“ oder „Ausgang“ genannt. beispiel: Würfelwurf: Die einzelne Zahl ist das Elementarereignis. Die Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus.
• Ergebnismenge Ω (Omega) Die Summe aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Das sichere Ereignis (Ω) beinhaltet den Ergebnisraum bzw. alle möglichen Elementarereignisse.  Ein Ereignis, das alle möglichen Ausgänge beinhaltet, muss in jedem Fall eintreten. 
• Zufallsvariable Ergebnis X, das in der Wahrscheinlichkeitsthorie einem Ereignis zugewiesen wird.  Ergebnis eines noch nicht durchgeführten Zufallsexperiments beschreiben. Für statistische Berechnungen ist es notwendig, den Ereignissen Zahlen zuzuweisen.  In der Stochastik wird diese Zuordnung als Zufallsvariable (groß X) bezeichnet.  Zufallsvariable  Abbildung des Ergebnisraums in den Zahlenraum.  Jedem Elementarereignis wird eine Zahl xi zugeordnet.  Elementarereignisse, die in einem Ereignis vereint werden, erhalten die selbe Zahl.  Elementarereignisse, die in disjunkten Ereignissen enthalten sind, erhalten unterschiedliche Zahlen.  Bei Zufallsvariablen wird zwischen der Variable an sich (groß X) und einer einzelnen Ausprägung (klein x) unterschieden.  Daraus ergibt sich eine besondere symbolische Darstellung für die WSK einer einzelnen Ausprägung:  p(X=x)  WSK, dass die Zufallsvariable X die Ausprägung X: Die Ausgänge/Ergebnisse von Zufallsexperimenten. Eine Funktion, die den Ereignissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zuordnet. Zum Beispiel: X: Anzahl zweier Brote, die mit der Marmeladenseite nach unten liegen Mit drei Realisationen, nämlich x1: 0 , x2=1, X3=2 Diskret: Diese Realisationen können abgezählt werden, etwa: Es liegen zwei Toast mit der Marmeladenseite nach unten auf dem Fußboden. Stetig: Nicht Abzählbare Realisationen etwa Abstände, Gewichte, Temperaturen, dann muss mit Dichtefunktion gearbeitet werden, weil Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Wertes = 0
• Diskrete Zufallsvariable Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn sie in fast jedem beschränkten Intervall der reellen Zahlen nur endlich viele Ausprägungen annehmen kann. Die diskrete Zufallsvariable kann endlich oder abzählbar unendlich viele Werte xi ( annehmen. BeispieleZahl der Schadensleistungen, die in einem Jahr bei einer Versicherung auftretenKinderzahl von KonsumentenZahl der defekten Kondensatoren in einem FertigungslosZwei Münzen werfen – erfassen der Anzahl Kopf (1 Kopf, Kopf, Zahl), 2. Zahl Zahl, Kopf) 3 (Zahl, Kopf, Kopf) etc...Stichprobe Studierende, die in einer Wg leben (1 in Wg, O nicht in WG) z.B. Binomialverteilung, Bernoulliverteilung, Hypergeometrische Verteilung
• Kontinuierliche/stetige Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X ist  stetig, wenn sie in jedem Intervall a ≤ X ≤ b unendlich viele Ausprägungen annehmen kann. Beispiel: Temperatur am Mittag, Marktanteil, Umsatz - kann jeden Zwischenwert annehmen. Im Falle stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen z.B. Normalverteilung, Standardnormalverteilung, Χ2-Verteilung, t-Verteilung, F-Verteilung Weil die Wahrschinlichkeit einen bestimmten Wert zu ziehen gegen null geht (weil theoretisch unendliche viele Elemenatereignisse), müssen Ereignisse zusammengefasst werden Solche Ereignisse sind Bereiche, bzw. Intervalle, die alle Elementarereignisse zwischen zwei Grenzen zusammenfassen.   Bsp.: Körpergröße  Die WSK aus einer Population eine Person mit der Körpergröße 1,823679047…m zu ziehen ist gleich 0.  Die WSK aus einer Population eine Person mit einer Körpergröße zwischen 1,7m und 1,8m zu ziehen ist größer 0.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung Auch W-Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsmaß genannt. Die Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, dass das durch die Menge beschriebene Ereignis eintritt. Typisches Beispiel hierfür wäre das Werfen eines fairen Würfels: Der Menge, also dem Ereignis, dass die Augenzahl 2 geworfen wird, wird von der Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeit 1/6 zugeordnet. Etwa Normalverteilung, Chi-Quadrat Verteilung (stetig) oder Binominalverteilung (diskret)
• Dichtefunktion Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariable wird als Dichtefunktion bezeichnet.  Die Dichte stellt nicht die WSK einzelner Ausprägungen dar, denn es gilt p(a)=p(b)=0. sondern nur die WSK eines Intervalls. Die WSK eines Intervalls der Zufallsvariablen entspricht dem Integral der Dichtefunktion zwischen den entsprechenden Grenzen.  Oft wird die Verteilungsfunktion (kumulierte WSK) betrachtet.
• Advertisement
• Populationsparameter Kennwert einer Populationsverteilung (z. B. Populationsmittelwert μ, Populationsstreuung σ). Populationsparameter sind in der Regel unbekannt und werden aus Stichprobenkennwerten geschätzt
• Stichprobenverteilung engl. sample distribution],  zieht man aus einer endlichen Population alle möglichen Stichproben des Umfangs n oder aus einer unendlich großen Population theoretisch unendlich viele Stichproben des Umfangs und bestimmt für jede Stichprobe einen stat. Kennwert (z.B. arithmetisches Mittel, Varianz), so bez. man die sich ergebende Kennwerteverteilung als Sichprobenverteilung: Achtung: Hier heißt die Varianz meist Standardfehler und der Mittelwert heißt Erwartungsmaß (Lage und Streuungsmaße analog zu Häufigkeiten) Stichprobenverteilungen sind das „Bindeglied“ zwischen Stichprobenergebnissen und Schlüssen auf Populationsparameter  Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die die Beziehung zwischen allen möglichen Werten für eine gegebene Statistik und der mit dem Wert assoziierten Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Stichproben der Größe N, die aus einer bestimmten Population gezogen wurden, zeigen.  Sie erlauben nicht nur Populationsparameter zu schätzen, sondern auch Genauigkeitsaussagen zu treffen (Konfidenzintervalle) und Urteile über Stichprobenergebnisse in Bezug auf Hypothesen fällen (Signifikanztests). Was heißt unplausibel?  Werden Stichproben von einem bestimmten n aus einer bestimmten Population gezogen, dann schwanken die Stichprobenergebnisse aufgrund des Zufalls. Wie sehr die Stichprobenergebnisse aufgrund des Zufalls schwanken, ist der Stichprobenverteilung zu entnehmen.Wird ein Stichprobenergebnis erzielt, dass innerhalb der Stichprobenverteilung sehr unwahrscheinlich ist, dann ist ein zufälliger Effekt als Ursache für den Stichprobenwert unplausibel!
• Konfidenzintervall Konfidenzintervalle/"Vertrauensintervalle" sind das Ergebnis von Intervallschätzungen. Sicheres Wissen über Grundgesamtheiten kann man anhand von Stichproben nicht gewinnen. Aber es können Intervalle angegeben werden, innerhalb derer sich die Parameter der Grundgesamtheit wahrscheinlich bewegen. Diese Bandbreiten nennt man Konfidenzintervalle. Beispiel Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % wird der Stimmenanteil der Partei LILA zwischen 35 % und 41 % liegen. • Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % liegt der Ertrag mit dem Dünger XYZ zwischen 8,7 und 9,3 dz/ha Je genauer, desto unsicherer die Prognose
• Binominalverteilung Eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie (Bernoulli-Prozesse) von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“).  Ereignisse eines mehrfach ausgeführten Bernouille-Experiments. Die Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit einer speziellen Anzahl von Erfolgen für eine bestimmte Anzahl von Bernoulli-Experimenten. Ist die berühmteste diskrete Verteilung. Bedingungen: 1. Ereignis A tritt in jedem Teil-Experiment immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p eindeutig 2. Die Ergebnisse der einzelnen Experimente beeinflussen einander nicht
• Signifikanztest "Hypothesentest":  [engl. test of significance],  quant. Datenanalyseverfahren zur Überprüfung von Hypothesen: Anhand von Stichprobendaten wird eine Entscheidung über die Gültigkeit einer Forschungshypothese in der Population getroffen (z. B. die Merkmalsausprägung in der Experimentalbedingung ist systematisch höher als in der Kontrollbedingung).   Der klass. St. prüft stets ein Hypothesenpaar bestehend aus der Forschungs-/Alternativhypothese.
• Harmonisches Mittel Das harmonische Mittel wird verwendet, um den Durchschnitt von relativen Angaben in Bezug auf eine Einheit (sog. Verhältniszahlen wie z.B. km pro Stunde, Tonnen Weizen je Hektar oder abgefüllte Flaschen pro Stunde) zu berechnen.Alternative zum Arithmetischen Mittel.
• Geometrisches Mittel / Deskriptive Statistik Das geometrische Mittel dient v.a. der Berechnung durchschnittlicher Wachstumsfaktoren (z.B. bezogen auf Umsätze, das Wirtschaftswachstum oder Aktienindizes).  Alternative zum Arithmetischen Mittel
• Zentraler Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz ist eine Regel (genauer Theorem), welche hilft, die Verteilungen der Mittelwerte unterschiedlicher Stichproben aus einer Grundgesamtheit zu berechnen. Der Satz besagt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mehrerer Stichproben mit wachsendem Stichprobenumfang einer Normalverteilung annähert. Dabei spielt es keine Rolle, welche Verteilung die Messwerte in der Grundgesamtheit haben. Der zentrale Grenzwertsatz ermöglicht es, Aussagen über die Abweichungen des Mittelwerts einer Stichprobe zu treffen, ohne die Mittelwerte anderer Stichproben heranzuziehen.
• Bestimmung Stichprobenverteilung???? ????Asymptotisch, empirisch....
• Unmögliches Ereignis (∅) beinhaltet kein einziges Elementarereignis. Beinhaltet ein Ereignis keinen möglichen Ausgang, dann kann dieses Ereignis auch nicht eintreten.
• Schnittmenge Schnittmenge (A ⋂ B) – Menge der Elementarereignisse, die in A und in B enthalten sind.  (A und B) = (A ⋂ B)
• Vereinigung Vereinigung (A ⋃ B) von Ereignissen – Menge der Elementarereignisse, die in A oder in B enthalten sind.  (A oder B) = (A ⋃ B)
• Komplementärereignis Komplementärereignis (¬A) – Ereignis, das alle Elementarereignisse aus Ω enthält, die nicht in A sind.  Das Komplementärereignis tritt ein, wenn das eigentliche Ereignis nicht eintritt.  Bsp.: Würfeln mit einem Würfel  Ereignis (A) – Eine „Sechs“ würfeln  Komplementärereignis (¬A) – Eine „Eins“, „Zwei“, „Drei“, „Vier“ oder „Fünf“ würfeln. 
• Disjunkte Ereignisse Ereignisse, die nicht gemeinsam eintreten können
• Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten sind bestimmte Zahlen, die jedem Ereignis eines Ergebnisraums zugewiesen werden.   p(A)=Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A  p(B)=Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B  p(A⋂B)=Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von A und B.  
• Wahrscheinlichkeit nach Kolgomoroff Wahrscheinlichkeit – Ableitungen  Gegeben ein Ergebnisraum (Ω), weist die Wahrscheinlichkeitsfunktion jedem Ereignis A eine reale Zahl p(A) zu, so dass folgende Axiome zutreffend sind: 1. p(A) ≥ 0 für jedes mögliche Ereignis A (Positivität) 2. p(Ω) = 1.00 3. Gegeben eine endliche Menge disjunkter Ereignisse (A1, A2, …, AN) so ist p(A1 ⋃ A2 ⋃ … ⋃ AN) = p(A1) + p(A2) +…+ p(AN) Für jedes Ereignis A gilt: P(A) ≥ 0,Für das sichere Ereignis S gilt: P(S) = 1,Sind die Ereignisse A und B disjunkt (A ∩ B = Ø), dann gilt: P(A U B) = P(A) + P(B) . 
• 1. p(¬A) = 1-p(A)  Die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses (¬A) beträgt 1 minus das eigentliche Ereignis (A).
• 0 ≤ p(A) ≤ 1 . Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis liegt zwischen 0 und 1.
• p(A⋃B) = p(A) + p(B) - p(A⋂B)  Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse entspricht der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten minus die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge
• Laplace Wahrscheinlichkeit p A = Anzahl der Elementarereignisse in A (:) Anzahl aller Elementarereignisse im Ergebnisraum=Anzahl der für A günstigen Ereignisse (:) Anzahl K aller möglichen Ereignisse bei Zufallsexperimente, bei denen jedes Elementarereignis mit derselben WSK eintritt (und es eine endliche Anzahl von Elementarereignissen gibt)
• Advertisement
• Bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) – WSK des Ereignisses A falls Ereignis B gegeben ist
• p(∅) = 0  . Ein Ereignis, das nicht eintreten kann (unmögliches Ereignis), erhält die Wahrscheinlichkeit 0.
• . p(A⋃B) = p(A) + p(B) - p(A⋂B)  Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse entspricht der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten minus die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.
• Stichprobenziehen Stichprobenziehen entspricht einer wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments.  Aus einem Ergebnisraum Ω wird wiederholt ein Elementarereignis gezogen.  Ergebnisraum = Population; Elementarereignis = eine Person, eine Beobachtung an einer Person. Die einzelnen Ziehungen werden unabhängig und zufällig durchgeführt.  Jedes Elementarereignis hat bei jeder Ziehung dieselbe WSK. 
• Ergebnis/Ereignis/Elementarereignis Ergebnis: Element der Ergebnismenge z.B. „5“ beim Würfeln  Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge, z.B. „eine ungerade Zahl würfeln“ beim Würfeln  Elementarereignis: Teilmenge, die nur aus einem Element besteht, z.B. „eine 5 würfeln“ beim Würfel Nur Ereignissen können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden!
• Effektgröße Klein Mittel Große
• Teilmengen einer Menge aus n Elementen 2n Teilmengen, gilt auch für Ereignisse im Ereignisraum.
• Klassische Wahrscheinlichkeit Laplace: Anzahl der günstigen Ereignisse durch Anzahl der möglichen Ereignisse. Bedingung: Wahrscheinlichkeit muss für alle Ereignisse gleich sein. Beispiel: Ziehen einer Biersorte aus zehn verschiedenen Biersorten.
• Empirische Wahrscheinlichkeit Greift auch bei auch bei ungleichen Chancen:  Anzahl der Versuche bei denen z.B. A eingetreten ist geteilt durch alle Versuche.(Sedlmeyer: geteilt durch alle Ereignisse die passen (A) und alle, die nicht passen, also nicht A sind (A⌐) . Hier sind die relativen Häufgkeiten eines Ereignissen identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass es wieder eintritt. Damit die relativen Häufigkeiten sich auch wirklich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit annähern, muss der Versuch so of wie möglich durchgeführt werden (Gesetz der großen Zahlen.)
• Subjektive Wahrscheinlichkeit Auf Intuition und Erfahrung gegründete Annahmen
• Wahrschenlichkeitsgesetze Ist P(A)=1 tritt das Ereignis mit Sicherheit ein. Dann wäre A = Omega, also der Ergebnisraum und ein sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen – sie liegt also zwischen 0 und 100 Prozent. Wobei 0 das unmögliche Ereignis darstellt.Die Summe aller möglichen Ereignisse ist auch immer eins. Beispiel Münzwurf: o,5 Wahrscheinlichkeit Kopf, 0,5 Wahrscheinlichkeit Zahl zusammen 1, denn eines von beiden tritt auf jeden Fall ein.
• Komplement Auch Gegenereignis genannt. Beispiel: Ā Bei Münzwurf: Ā zu Kopf (A) ist Zahl. Daraus ergibt sich: P(Ā)=1-P(A)
• Vereinigung U steht quasi für oder: A U B enthält alle Elemente, die in A oder B enthalten sind steht also für ein Ereignis, dass A oder B oder sogar beides eintritt.
• Durchschnitt/Schnittmenge ∩ steht quasi für und – die Wahrscheinlichkeit, dass A∩B zugleich eintreten.
• Disjunkt Unvereinbare Mengen, Ereignisse, die sich ausschließen. Das glt z.B. für jedes Ereignis in Verbindung mit seinem Komplement.
• Differenzmenge A-B, A\B, Diese Menge enthält dann alle Elemente von A, die in B nicht enthalten sind, also A-Schnittmenge
• Additionssatz Wahrscheinlichkeit, dass A oder B ( A U B) eintritt = P(A) + P (B) – P(A∩B). Schnittmenge enmal abziehen, weil sie sonst zweimal enthalten ist (einmal in der Gesamtmenge A und einmal in der Gesamtmenge B) Fnktioniert auch, wenn Ereignisse disjunkt sind, also keine Schnittmenge haben – dann muss nichts abgezogen werden.
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Dahinter verbirgt sich quai der Prozentsatz, den die Schnittmenge P(A∩B ) vom Ereignis B abdeckt. P ( A⌡B)= P(A∩B) : P (B)
• Multiplikationssatz Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge. Funktioniert auch, wenn man A und B in der Gleichung vertauscht. Lässt sich aus der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ableiten: P(A∩B) = P ( A⌡B) • P (B) Beispiel: Flaschen ziehen: 10 Flaschen, vier sind leer. Eine wird gezogen: Wahrscheinlichkeit 4/10, dass sie leer ist. Beim zweiten Ziehen beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/9, da ja schon eine leere fehlt, eine leere zu ziehen, da ja das Ereignis schon eingetreten ist, dass dieses bedingt.
• Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn das Eintreten von B nicht die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A beeinflusst. Beispiel: Wenn ich im ersten Würfelwurf eine 1 würfele, beeinflusst das in keinster Weise die Wahrscheinlichkeit, mit dem nächsten Wurf wieder eine 1 zu würfel. Es gilt ein Spezialsatz des Multiplikationssatzes: P(A∩B) = P ( A) • P (B)

back  |  next 2 / 3