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Statistik 1 (Subject) / Statistik 1 (Lesson)

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• Häufigkeitsverteilung De Häufigkeit mit der unterschiedliche Merkmalsausprägungen auf einer Liste zu finden sind: Wie oft tritt jeder Messwert auf? -absolute HäufigkeitDie gesamte Häufgkeit einer Merkmalsausprägungfolglich ergibt die Summe aller Häufigkeiten die Summe der Stichprobenteilnehmer -relative Häufigkeitalso relativiert durch die Teilnehmerzahl (absolute Häufigkeit hi/n Anzahl aller Stichprobenwerte -prozentuale Häufigkeitdie relative Häufigkeit in Prozent ausgedrückt (also mal 100 genommen)
• Klassenbildung Benachbarte Ausprägungen werden bei großer Anzahl zu einer Klasse zusammengefasst. Absolute und relative Klassenhäufigkeiten funktionieren wie Häufigkeiten. Klassen sollten geschlossen (also am besten nicht nach unten oder oben offen sein) sein un die gleiche Breite haben. Sie müssen eindeutig definiert sein und sich gegenseitig ausschließen.
• Histogramm Die mathematische Beschribung eines Histogramms lautet auch: empirische Dichte.Gut zum anschaulichen Festhalten von Häufigkeiten: Auf dr x-Achse Häufigkeit auf der y-Achse Merkmalsausprägung
• Kumulierte Häufigkeit auch Summenhäufigkeit genannt: Häfgkeiten werden beginnend mit der kleinsten Ausprägung addiert.
• Balkendiagramm auch Säulendiagramm genannt. Ähnelt dem Histogramm, stellt aber unterschiedliche Auprägungen eines Merkmals als Balken dar und ist deshalb für alle Skalierungen geeignet, also auf der X-Achse die Merkmalsausprägungen, in der Y-Achse die Anzahl der Merkmale.
• Liniendiagramm Alles Punkte zwischen den Achsen als Linie verbunden.
• Unterschied Histogramm vs. Säulendagramm Bei einem Histogramm grenzen die Rechtecke im Gegensatz zum Säulendiagramm direkt aneinander, das heißt, es existieren keine Abstände zwischen ihnen. Denn die Breite der Rechtecke entspricht den gebildeten Intervallen (Klassen), die ebenfalls direkt aneinandergrenzen. Im Unterschied zum Säulendiagramm muss bei einem Histogramm die x-Achse immer eine Skala sein, deren Werte geordnet und gleichabständig sind (wohingegeb beim Säulendiagramm nict zwangsläufig eine Rangfolge enthalten ist, denkbar sind auch Merkmalsausprägugen wie Augenfarbe: bkau, grün, grau, etc.
• Lagemaße Die zentrale Tendenz (und deshalb nur im Zusammenhang mit Angabe der Streuung sinnvoll) Modus (jede Skalierung), Median (ab ordinal), Mittelwert (ab intervall)
• Modus/Modalwert Die Merkmalsausprägung, die am häufigsten auftritt
• Median Zentralwert/Mittelpunkt der Daten unter/über dem jeweils 50 Prozent liegen.
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• Rangliste Sortierung der gesammelten Werte aus der Ur-Liste nach Größe
• Quantile Aufteilung der Rangliste in Segmente, zumeist in  (Quartile), aber auch Dezile (Zehntelwerte) und Perzentile (Hunderstelwerte) denkbar
• Arithmetischer Mittelwert oft Durchschntt genannt. Summe der Merkmalswerte aller Daten durch die Gesamtzahl.
• Gewichteter Mittelwert Er erlaubt mehr Gewicht auf bestimmte Werte zu legen und so zum Beispiel die Bedeutung von Ausreißern zu verringern. Es wird nicht durch die Summe aller Datenpunkte geteilt, sondern durch die Summe aller Gewichte. Zum Beispiel könnten Grundkurse bei der Gesamteistung einfach zählen (w gleich 1) und Leistungskurse Dreifach (wgleich drei) und ....
• Getrimmter Mittelwert Extreme Ausreißer werden einfach gekappt, indem oben und unten etwas weggeschnitten wird.
• Box-Whisker-Plot Boxplot: rechteckige Box, die 50 Prozent aller Werte beinhaltet - nämlich die, die über dem 0,25 Quantil und unter dem 0,75 Quantil liegen. Der Median wird gekennzeichnet - muss aber nicht in der Mitte liegen.
• Whiskers Die Barthaare am Boxplot  - ohne Extremwerte
• Spannweite Sehr grobes Streuungsmaß - Differenz zwischne X-Maximum  - X-Minimum
• Quartilsabstand auch Interquartilsabstand genannt: der Abstand der Box-Plot QA: X Q0,75-X Q0,25-etwas genaueres Streungsmaß als die Spannweite
• Streuungsmaße Spannweite (grob)Quartilsabstand (entspricht dem Box-Plot) (ab Ordinalskala) /Lagemaß: MedianStandardabweichung und Varianz (intervallskaliert) / Lagemaß: Arithmetisches Mittel
• Mittlere Abweichung vom Median Abstandsbetrag jedes einzelnen Datenpunktes zum Median   - relativiert durch die Anzahl der Daten
• Varianz Streuungsmaß: Quadrierte Abweichung vom Mittelwert (weil  die Summe aller Abweichungen null ergeben würde) : Summe aller Abstandsquadrate zum Mittelwert durch die Anzahl aller Werte minus eins.
• Standardabweichung Streuungsmaß: Die Wurzel aus der Varianz. Die mittlere Abweichung vom Mittelwert. Sehr beeinflussbar durch Ausreißer. Besonders gut bei einer Normalverteilung (Glocke)
• Variationskoeffizient Die relative Standardabweichung, d.h. die Standardabweichung dividiert durch den Mittelwert. macht den Wert unabhängig von Einheiten, z.B, bei Minuten/Sekunden. Wird meist in Prozent angegeben, soll er nun aber verglichen werden mit ganz anderen Parametern, sollen also Äpfel mit Birnen verglichen werden müssen die Werte in einer Z-Transformation erst mal auf eine Ebene gebracht werden. Dabei dividiert man die Abweichung durch die Standardabweichung des jeweiligen Kollektivs. 
• Kontingenztabelle bivariate Statistik, Häufigkeitstabelle für zwei Merkmale + Randhäufigkeiten (Summen jeweils einer Zeile oder einer Spalte)
• Korrelationskoeffizient/ nach Bravais Pearson  - Korr. (r) macht bei einem eher linearen Zusammenhang Sinn - also wenn die Puntwolke annähernd einer Geraden ähneln - zeigt an, wie stark der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen ist von -1 (perfekter negativer Zusammenhang) über 0 (kein Zusammenhang) bis +1 (perfekter positivier Zusammenhang)  - die Verbindung beider Merkmale wird mit der Covarianz (cov) berechnet.
• Rangkorrelationskoeffizient Nach Spearman - wenn mindestens eines der beiden Merkmale nur ordinalskaliert ist, ist dies die Alternative. Hierbei wird allen Merkmalausprägungen ein Rang zugewiesen- Erst werden sie der Größe nach geordnet- Der kleinste hat dann Rang eins, ... Sind mehrereMerkmalsausprägungen identisch wird ein arithmetischer Durchschnittrang ermttelt, indem man die Ränge der gleichen Merkmalsausprägung erst addiert und dann durch ihre Anzahl teilt. Besetzen z.B. zwei Geiche Rang 1 und 2, gibt es nur den Rang 1,5 - und weder 1 noch 2
• Regression Die Regression basiert auf der Korrelation und ermöglicht uns die bestmögliche Vorhersage für eine Variable. Im Gegensatz zur Korrelation muss hierbei festgelegt werden, welche Variable durch eine andere Variable vorhergesagt werden soll. Die Variable die vorhergesagt werden soll nennt man bei der Regression Kriterium. Die Variable die für die Vorhersage eingesetzt wird bezeichnet man als Prädiktor. Anhand des Prädiktors wird demzufolge das Kriterium vorhergesagt.
• Z-Transformation Z-Werte befreien von den Maßeinheiten - je nach Maßeinheit können Lage- und Streuungsmaße täuschen. Durch die Z-Standardisierung oder Z-Transformation erhält Informationen über relative Abstände, sas heißt, man kann Äpfel mit Birnen vergleichen. Beispiel:Pisa-Ergebnisse für Deutsch und Mathe: Deutsch Mittelwert 484 Punkte, s =110,9 Punkte, M Mathe 490 Punkte s=99,4 Durch die Z-Werte kann man nun die Punktzahl eines Mathe-Schülers mit der eines Deutsch-Schülers vergleicht - indem man schaut, wie weit ihr Ergebnis vom Mittelwert abweicht - und wer der bessere ist. Im Falle der Produkt-Moment-Korrelation: Befreit den Korrelationskoeffizienten, der abei herauskommt von der Maßeinheit. Wichtig, wenn man einen Mittelwert ais mehreren Korrelationen bilden möchte. 
• Covarianz Maß für die lineare Abhängigkeit zweier Merkmale. Afgebaut wie die Formel zur Berechnung der Varianz eines Merkmals, hier aber das Produkt der Abweichung der einzelnen Werte. Damit sie brauchbar ist wird die Cov normiert - mit den Variazen der einzelnen Merkmale und erhält so am Ende den Korrelationskoeffizienten.
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• Determinationskoeffizient Maß für die Güte einer Vorhersage - entspricht dem Anteil der Regressionsvarianz an der Gesamtvarianz.
• Regressionsvarianz Varianz der vorhergesagten Werte
• Varianzzerlegung Feststellen der Varianz der vorhergesagten Werte und der Fehlerwerte, die in der Regressionsrechnung nicht vorhergesagt werden konnten.
• Vorhersage von X aus Y Aus Prädikator X wird Y vorhergesagt.
• Korrelation Mittels der Korrelation berechnen wir die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei verschiedenen Variablen. Die Aussage die bei der Korrelation getroffen werden kann ist also, dass bestimmte Werte auf der einen Variable mit bestimmten Werten auf der anderen Variable zusammenhängen. Dadurch wird es möglich, eine Vorhersage zu treffen, ohne jedoch eine Kausalbeziehung herzustellen. +1 perfekte positive Korrelation-1 perfekte negative Korrelation Fragwürdiger: r = 0.1 für eine geringe Korrelationab r = 0.3 für eine mittlere Korrelationab r = 0.5 für eine hohe Korrelation
• Wie kann eine Häufigkeitsverteilung dargestellt werden? Säulendiagramm/Balkendiagramm (ersteres wird meist für Balken gebraucht, die von der X-Achse abgehen, letzteres meist für solyche, die von der Y-Achse abgehen, aber eigentlich synonym) Stabdiagramm Kreis/Kuchendiagramm: eignet sich besonders für relative Häufigkeiten
• Empirische Verteilungsfunktion Möglichkeit mit Hilfe relativer Häufigkeiten, ganze Intervalle von Ausprägungen zu betrachten. Hierzu wird die Häufigkeitstabelle um eine Spalte der kumulierten relativen Häufigkeiten erweitert. Hierbei handelt es sich um die in der Häufigkeitstabelle schrittweise aufaddierten relativen Häufigkeiten.
• Kennwerte Perzentilwerte Lagemaße Streuungsmaße Verteilung
• phi-Koeffizient er ϕ-Koeffizient, sog. Vierfelder-Korrelationskoeffizienten,  ist ein Zusammenhangsmaß für zwei binäre (oder dichotome) Variablen, das heißt zwei Variablen, die jeweils nur zwei mögliche Ausprägungen haben. Die resultierenden Daten kann man in einer 2x2-Kreuztabelle zusammenfassen. Beispiele: Pünktlich/Verspätet, Mann/Frau, erwerbslos/erwerbstätig
• Regressionskoeffizienz Der Regressionskoeffizient (engl.: regression coefficient) einer »unabhängigen Variablen« X mißt den Einfluß dieser Variablen auf die »Zielvariable«  Y in einer »Regressionsanalyse«. Einfluß meint in diesem Fall die quantitative Veränderung von  Y wenn sich  X um eine Einheit ändert. Handelt es sich um ein lineares Regressionsmodell, ist diese Veränderung immer gleich, egal welches Niveau  X aufweist. Der Regressionskoeffizient zweier z-transformierter Variablen entspricht der Produkt-Moment-Korrelation nach Pearson
• Schwaches Gesetz der großen Zahlen Die relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignis (A) nähert sich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (A) an, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen unendlich geht. Die Aussage ist, dass bei vielen identischen Experimenten die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Ergebnisse geteilt durch die Zahl der Ergebnisse (der Mittelwert einer Meßreihe) weit vom Erwartungswert abliegt, beliebig klein wird.Bedingung für die Gültigkeit von Bernoulli‘s Theorem ist die stochastische Unabhängigkeit der Wiederholungen
• Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der mehr als einen möglichen Ausgang (ein sogenanntes Ergebnis) haben kann. Dabei kann aber nicht vorausgesagt werden, welches Ergebnis das Zufallsexperiment haben wird – etwa Würfeln oder Münzwurf.
• Ereignis Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnisse. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ergebnismenge. Sie wird üblicherweise mit dem Symbol Ω (sprich Omega) bezeichnet. Jede Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen eines Zufallsexperimentes in einer Menge nennt man Ereignis. Es gibt außerdem noch das sogenannte „unmögliche Ereignis“, das keinerlei Ergebnis enthält.  Nur Ereignissen können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden!
• Wozu Wahrscheinlichkeitstheorie? Wahrscheinlichkeitstheorie, legt fest, welche mathematischen Bedingungen von Funktionen erfüllt sein müssen, damit sie als Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse gelten können. Darüber hinaus wird festgelegt, was und wie mit den Wahrscheinlichkeiten zu rechnen ist. Zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie zählen u.a. Ereignis, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment. 
• Stochastik Kunst des Vermutens, fasst Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen. 
• Stochastische Unabhängigkeit Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen:  Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das eine Ereignis eintritt, nicht dadurch ändert, dass das andere Ereignis eintritt beziehungsweise nicht eintritt.
• Produkt-Moment-Korrelation Nach Pearson, auch einfach nur Korrelationskoeffizient genannt:  ist eng verwandt mit der Kovarianz. Die Kovarianz entspricht der Korrelation, wenn die Variablen vorher z-Standardisiert wurden Der Korrelationskoeffizient kann erheblich durch die Eigenschaften der Stichprobe beeinflusst werden. Dadurch kann der Korrelationskoeffizient sowohl künstlich erhöht als auch gesenkt werden. Die wesentlichen Punkte, die verzerrend auf den Korrelationskoeffizienten einwirken, sind Ausreißer, eine Einschränkung der Variabilität und das Zusammenfassen heterogener Gruppen.
• Zusammenhangsmaße Zusammenhangsmaße beschreiben einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Beispiel: Männer beziehen ein höheres Durchschnittsgehalt als Frauen.  Beispiel: intervallskaliertBravais-Pearson-Korrelation standardisiert, symmetrisch, nicht robust, misst nur den linearen Zusammenhang ordinalskaliertSpearmans Rangkorrelationskoeffizient etc. 
• Ordinalskalierung Es kann nur eine Rangfolge gebildet werden - größer, kleiner, mehr, schwächer - oder Schulnoten Über die Abstände zwischen diesen benachbarten Urteilsklassen ist nichts gesagt. Gerechnet werden kann damit nicht. (Eine eins ist nicht doppelt so gut wie eine zwei) Sinnvolle Operationen: Zählen, ordnen. 
• diskretes Merkmal endlich viele Ausprägungen oder aber höchstens abzählbar viele. Zählvariablen sind immer diskret – etwa Anzahl der Fachsemester, Familienstand

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