Teil 1

= Zufallsvariablen mit zwei Werten

1. normalverteilte Daten 2. kontinuierliche Daten 3. gleiche Varianzen (=Homoscedastizität) 4. unabhängige Stichproben

umgangssprachlich: Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese zutrifft. exakt: Wahrscheinlichkeit, dass gefundene oder noch größere Unterschiede zwischen den Mittelwerten zufällig zustande kommen, wenn die Nullhypothese gültig ist.

H0 = Die Mittelwerte der Grundgesamtheiten sind gleich = μA = μB HA = Die Mittelwerte sind nicht gleich =    μA ≠ μB

= mathematische Maßnahmen zur Beschreibung der Streuung in den Daten

- zeigt an wie genau der Mittelwert geschätzt ist - wird kleiner, je größer die Stichprobe ist - Anhand der Standardfehler lässt sich die Signifikanz gefundener Unterschiede beurteilen!

α-Fehler: wenn man etwas sieht, was es gar nicht gibt              Wahrscheinlichkeit für α-Fehler: 5% (bzw. entsprechendes Signifikanzniveau)   -> H0 fälschlicherweise abgelehnt β-Fehler: wenn man nichts sieht, obwohl es was zu sehen gibt Wahrscheinlichkeit für β-Fehler: nimmt ab:   - je größer n ist,  - je kleiner σ ist im Vergleich zum Effekt (Unterschied der Mittelwerte) und  - je größer α (das Signifikanzniveau) ist    -> H0 fälschlicherweise angenommen

1. Es soll gegen falsche Schlüsse abgesichert werden: besser keine als falschen Schlüsse aus den Daten ziehen (konservatives Verfahren). 2. Nur mit einer konkreten Verteilungsannahme, wie sie bei der Nullhypothese gemacht wird, kann die Wahrscheinlichkeit eines gemessenen Kennwertes beurteilt werden.

1. normalverteilte Daten 2. kontinuierliche Daten 3. gleiche Varianzen (=Homoscedastizität) 4. unabhängige Stichproben

- Durch die neue Stichprobe erhöht sich die Quadratsumme zwischen den Stichproben nicht, jedoch erhöhen sich die Freiheitsgrade. - Damit verringert sich die mittlere Quadratsumme (mean sum of square), also der Zähler zur Berechnung von F. - Die Quadratsumme innerhalb der Stichproben erhöht sich durch die neue Stichprobe, jedoch kürzt sich das weitestgehend aufgrund der erhöhten Freiheitgrade heraus und die mittlere Quadratsumme innerhalb der Stichproben bleibt nahezu unverändert (Nenner zur Berechnung von F). - F wird kleiner, p wird größer (beachte: veränderte Freiheitgrade bei der Berechnung für p!). - Je weiter der Mittelwert der neuen Gruppe vom Gesamtmittelwert abweicht, desto größer wird die (mittlere) Quadratsumme zwischen den Gruppen. Da die Zahl der Freiheitsgrade konstant bleibt, steigt F und p sinkt (p < 0,05 ist möglich). - Durch das Zusammenlegen von 2 Gruppen mit identischem Mittelwert ändern sich die Quadratsummen nicht, aber die Zahl der Freiheitsgrade zwischen den Gruppen verringert sich um 1. Dadurch steigt die mittlere Quadratsumme zwischen den Gruppen stark an (F wird größer, p wird kleiner), d.h. man findet eher signifikante Unterschiede zwischen den verbliebenen Gruppen.

eine Kenngröße hängt von der anderen ab, in festgelegter Reihenfolge (z.B. Alter beeinflusst Blutdruck, aber nicht anders herum)

die Abweichung vom gewünschten Ergebnis, welche entsteht, wenn in eine Gleichung Näherungslösungen eingesetzt werden

1. x-Werte exakt bekannt 2. für jeden x-Wert gibt es eine Population normalverteilter y-Werte 3. gleiche Varianzen der y-/Residuen- Populationen 4. die Mittelwerte der y-Populationen zu verschiedenen x-Werten liegen auf einer Geraden 5. y-Werte sind unabhängig voneinander und zufällig -> Residuen müssen normalverteilt sein

3 Verfahren zur Bestimmung, ob eine Beziehung zwischen x und y besteht.

- funktionelle Abhängigkeit zwischen x (Prädiktor) und y (Antwort)- verwendet, um eine lineare Beziehung zwischen x und y zu bestimmen.- Hypothesentest (oft: H0: b = 0) möglich, wenn bestimmte Anforderungen erfüllt sind

- keine funktionale Abhängigkeit zwischen x und y- verwendet, um die lineare Beziehung zwischen x und y zu bestimmen.- Hypothesentest (H0: rxy = 0) möglich, wenn bestimmte Anforderungen erfüllt sind.- mathematisch meist gleichwertig mit einfacher linearer Regression:(rxy)2 = r2 aus linearer Regressiontxy = t aus linearer Regression für Nullhypothesen rxy = 0 bzw. b = 0

- keine funktionale Beziehung zwischen x und y- auch für nichtlineare Beziehungen; keine besonderen Anforderungen an Daten

= Ordnung, bzw. Anordnung; meint eine Anordnung von Objekten in einem Raum, in dem Gemeinsamkeiten der Objekte nicht verdeutlicht werden) indirekt meint, dass die untersuchten Objekte die relative Lafe in einem Ordinationsraum bestimmen, also keine Messdaten als Interpretationshilfen zur Verfügung stehen

Rohdaten= nicht transformierte Ausgangsmatrix bereinigte Daten = evtl. transformierte Ausgangsmatrix

= gleiche Varianzen (nicht signifikant unterschiedlich)

- Normalverteilung der abhängigen Variablen - Varianzhomogenität - Unabhängigkeit der Werte der Gruppen untereinander, d.h. die Werte sind nicht verbunden - gleicher Stichprobenumfang der Gruppen (=balanciert)

SSG= Quadratsummen zwischen den Gruppen SSE= Quadratsummen innerhalb der Gruppen SST= Gesamt-Quadratsumme

geben mit paarweisen Mittelwertvergleichen Auskunft, welche Mittelwerte sich signifikant voneinander unterscheiden

= es gibt einen Zusammenhang von y und x, aber keine Abhängigkeit (das Vorhandensein einer Korrelation impliziert keinen kausalen Zusammenhang, schließt ihn aber auch nicht aus)

- intervallskalierte Daten - x und y Daten normalverteilt - linearer Zusammenhang zwischen x und y

können Werte von -1 bis 1 annehmen +1 -> perfekte positive Korrelation -1 -> perfekte negative Korrelation 0 -> keine Korrelation

1. Daten nach Rängen ordnen (Gruppen ignorieren) 2. Ränge der jeweiligen Gruppen zusammen rechnen 3. U für beide Gruppen berechnen 4. Teststatistik U: größerer der U Werte -> wenn U größer als Ukrit -> H0 ablehnen

- bei nicht normalverteilten Daten - Ordinaldaten - Verteilung der Daten sollte ähnlich sein 

Median einer Stichprobe testen: signifikanter Unterschied vom Erwartungswert? H0: Median =  1. Differenz zwischen tatsächlichem und erwartetem Wert 2. absolute Differenz nach Rang ordnen 3. negative Differenzen werden mit einem negativen Rang versehen 4. positive und negative Ränge summieren (T+, T-) Teststatistik W: kleinster der zwei T-Werte, wenn W<Wkrit -> H0 ablehnen 

- bei nicht normalverteilten Daten - bei Einzelstichproben oder gepaarten Stichproben

Weicht die beobachtete Frequenz deutlich von der erwarteten Frequenz ab? H0: die beobachtete Frequenz folgt der erwarteten Verteilung auf Unabhängigkeit: Wenn d.f.=1 und mind. ein erwarteter Wert niedrig sind Beobachtungen von zwei Variablen unabhängig? H0: beide Variablen sind unabhängig voneinander?

1. grafische Methoden: Q-Q-Plot 2. statistische Tests: Shapiro-Wilk W-Test

- wenn Effekte mehrerer Faktoren multiplikativ statt additiv - wenn Standardabweichungen der Gruppe proportional zu den Mittelwerten - wenn Daten "rechts-schiefe" Verteilung haben

- Log-Transformation - Wurzel-Transformation - arc sin-Transformation - reziproke Transformation - Quadrat-Transformation

- wenn Varianzen der Gruppen proportional zu den Mittelwerten - wenn Daten der Poisson-Verteilung folgen

- lineare Zusammenhänge - einseitige Abhängigkeit der Variablen und unabhängige Variablen sollten untereinander möglichst nicht korreliert sein  - homogene Varianz der Residuen (Homoskedastizität) - Daten sollten hinreichend multi-normalverteilt sein - Vollständigkeit - >3 Werte - mind. 5x so viele Messwerte wie unabhängige Variablen

- Festlegung von x (unabhängige Variable) und y - Schätzung der Regressionsfunktion auf Basis empirischer Daten - Ermittlung der Regressionsparameter - Prüfung der Güte der Schätzfunkzion

- Festlegung von x (unabhängige Variable) und y - Schätzung der Regressionsfunktion auf Basis empirischer Daten - Ermittlung der Regressionsparameter - Prüfung der Güte der Schätzfunkzion

- identisch mit einfacher/multipler linearer Regression - feste und zufällige Effekte sind sehr sorgfältig auszuwählen - man sollte versuchen Abhängigkeiten aufzulösen - Stichprobe sollte hinreichend groß sein

- Festlegung von y und den festen und zufälligen Effekten - Datensatz einlesen, auf Vollständigkeit überprüfen - Konstruktion des 1. Modells  - Konstruktion des 2. Modells - Prüfung auf Signifikanzen (Likelihood-Ratio Test) - Konstruktion des 3. Modells, in dem Subjekte und Objekte unterschiedliche Schnittpunkte und Steigung haben können - Test auf Signifikanz -> angepasste Koeffizienten - Prüfung des Modells über marginal R2 für feste und conditional R2 Wert für feste und zufällige Effekte 

- abhängige Variable muss dichotom sein - Beobachtungswerte der abhängigen Variable sollten sich nicht zu stark unterschreiden (gleich großes N) - keine Mutli-Kollinearität 

- Festlegung von x und y für die Modellbildung - Schätzung der logistischen Regressionsfunktion - Interpretation der/des Regressionskoeffizienten - Prüfung des Gesamtmodells - Prüfung der Merkmalsvariablen

= Hauptkomponentenanalyse - Ordinationsverfahren, um mit Hilfe einer linearen Transformation der Variablen möglichst wenige neue "supervariablen" zu erzeugen, welche die Redundanz möglichst effektiv zusammenfassen - Hypothesen generierendes Verfahren 

die im Koordinatensystem angeordneten Daten, z.b: Art-Abundanzen, werden nicht verändert, aber das Koordinatensystem wird verändert, so dass auf die 1. Achse möglichst viel erklärte Varianz entfällt und die 2. Achse nicht korreliert mit 1. Achse die zweitgrößte Varianz erklärt usw. -> durch maximale Rotation der Achsen

erfordern Vorkentnisse zum Datensatz - die Arten stehen linear oder monoton miteinander in Beziehung und auch mit den latenten Faktoren - Ausgangsvariablen sollten hoch korreliert sein - Daten müssen intervallskaliert sein und annähernd normal verteilt

lassen sich in einer Vielzahl von Objekten Gruppen finden, innerhalb derer die Objekte möglichst ähnlich sind, aber zwischen den Gruppen möglichst unterschiedlich?

- wenn auf Grundgesamtheit zurückgeschlossen werden soll, muss die Stichprobe hinreichend große sein (n=30, besser >50) - sofern Einzelwerte fehlen, müssen diese vor der Clusteranalyse bereinigt werden - konstante Merkmale, die bei allen Objekten dieselbe Ausprägung haben und untereinander stark korrelierende Variablen sollten von der Analyse ausgeschlossen werden - Einzelwerte sollten alle das gleiche Skalenniveau haben - sonst Transformation

- single linkage = nächster Nachbar - complete linkage = Paarvergleich mit allen Objekten - average linkage = Paarvergleich zwischen den Gruppen - centroid = zentroid-Abstand

= erklärte Varianz