Mathematik (Subject) / Analytische Geometrie (Lesson)

LGS, Gerade, Vektoren etc.

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• Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum (x1|x2|x3) bzw. (x|y|z), z.B. P( 6 | 7 | 4 ), gelangt man, indem man ? Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum (x1|x2|x3) bzw. (x|y|z), z.B. P( 6 | 7 | 4 ), gelangt man, indem man vom Nullpunkt des Koordinatensystems 6 Einheiten in x-Richtung, 7 Einheiten in y-Richtung und dann 4 Einheiten in z-Richtung geht.
• In 2D gilt: Alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert ?! Py(?|?) Alle Punkte auf der x-Achse haben den y-Wert ?! Px(?|?) Alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert 0! Py(0|y) Alle Punkte auf der x-Achse haben den y-Wert 0! Px(x|0)
• In 3D gilt: Alle Punkte in der x1x2-Ebene haben den x3-Wert ? P(?|?|?) Alle Punkte in der x2x3-Ebene haben den x1-Wert ? P(?|?|?) Alle Punkte in der x1x3-Ebene haben den x2-Wert ? P(?|?|?) Alle Punkte in der x1x2-Ebene haben den x3-Wert 0! P(x1|x2|0) Alle Punkte in der x2x3-Ebene haben den x1-Wert 0! P(0|x2|x3) Alle Punkte in der x1x3-Ebene haben den x2-Wert 0! P(x1|0|x3)
• Vom Punkt zum Vektor Ein Vektor beschreibt eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum. Aus zwei Punkten im 3-dimensionalem Raum A(a1|a2|a3) und B(b1|b2|b3) erhält man den Vektor: AB Pfeil drüber = b1-a1                          b2-a2                          b3-a3    (Klammer um das Ganze) Grafisch wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt A zum Punkt B zeigt. Ein Vektor gibt somit die Verschiebung eines Punktes an!
• Unterschied Ortvektor und Richtungsvektor Ist O(0|0) der Koordinatenursprung und P(5|2) ein Punkt, so heißt der Vektor             OP (Pfeil d.) = p(Pfeil d.) = 5-0                                        2-0 (Klammer Ganze) Ortsvektor zum Punkt P. Richtungsvektoren können jeden Punkt als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen.
• Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie ...? Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und die gleiche Richtung haben. Im dreidimensionalem Raum werden Orts- und Richtungsvektoren genau wie im zwei-dimensionalen aufgestellt. Einziger Unterschied ist die zusätzliche Koordinate x3 (oder z).
• Vektoren der Länge 1 heißen ? oder ? Vektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den ? Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren oder normierte Vektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.
• Länge eines Vektors bestimmen, Formel(n)  a = I a I = √a12 + a22 + a32                                    (über IaI ist ein -> Wurzel durchgehend) oder a = I a I = √a . a                                                          (über allen 3 a' -> Wurzel durchgehend)
• Definition Skalar In Naturwissenschaft und Technik wird vieles zum Beispiel mit Länge, Masse, Arbeit, Energie, Zeit, Temperatur und Potential gemessen. Diese Größen können auf einer Skala dargestellt werden und heißen deshalb skalare Größen oder Skalare.
• Definition Vektor Darüberhinaus gibt es Größen, die zu ihrer eindeutigen Bestimmung zusätzlich noch eine Richtung benötigen. Diese werden vektorielle Größen oder Vektoren genannt. Zum Beispiel sind Geschwindigkeit und Beschleunigung solche Größen. Vektoren werden durch Pfeile dargestellt. Die Pfeillänge bestimmt dabei den Betrag des Vektors, die Richtung des Pfeils bestimmt die Richtung des Vektors. Somit ist ein Vektor im Vergleich zu einem Skalar eine gerichtete Größe.
• Zwei betragsgleiche Vektoren mit entgegengesetzter Richtung heißen ?. Wenn man diese addier, erhält man als Summe einen Vektor, dessen Anfangspunkt mit seinem Zielpunkt zusammenfällt. Da der Betrag dieses Summenvektors Null ist, heißt er ?. Er hat keine bestimmte Richtung. Zwei betragsgleiche Vektoren mit entgegengesetzter Richtung heißen Gegenvektoren. Wenn man diese addiert, erhält man als Summe einen Vektor, dessen Anfangspunkt mit seinem Zielpunkt zusammenfällt. Da der Betrag dieses Summenvektors Null ist, heißt er Nullvektor. Er hat keine bestimmte Richtung.
• Parameterform einer Geraden Die Gleichung einer Geraden g durch die Punkte A und B mit den Ortsvektoren a -> und b-> lautet: g: vec{x} = vec{a} + t . vec{u} t ∈ R wobei vec{u} = vec{b} - vec{a} der Richtungsvektor zwischen den Punkten A und B sowie t eine beliebige reelle Zahl, unser Parameter, ist.
• Punktprobe Gerade Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erfüllt der Punkt die Gleichung, d.h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Punktmenge. Somit ist es möglich, am Ende einer Rechnung zu überprüfen, ob z. B. ein berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tatsächlich auf beiden Geraden liegt.
• Spurpunkte von Gerade in Koordinatenebene Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (E23, E13 und E12), lassen sich drei Spurpunkte berechnen: S1 ist der Schnittpunkt von Gerade und x2x3-Ebene S2 ist der Schnittpunkt von Gerade und x1x3-Ebene S3 ist der Schnittpunkt von Gerade und x1x2-Ebene
• Vorgehensweise zur Berechnung von Spurpunkten Si: i-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugehörigen Parameter t berechnen t in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten Anders gesagt: Einen der drei Werte (x1,x2,x3) Null setzen nach t umstellen, den t-Wert einsetzen und die anderen beiden Werte ausrechnen und habe dann meinen entsprechneden Spurpunkt Merke: Wenn ich x1=0 setzen kriege ich den Spurpunkt der Geraden mit dem was fehlt nämlich x2 & x3 oder y,z-Ebene raus
• Wichtig: Bei Geschwindigkeitsaufgaben muss beachtet werden, dass der Parameter (hier t) für die ? benutzt wird und bei beiden Gleichungen gleich ist. Wichtig: Bei Geschwindigkeitsaufgaben muss beachtet werden, dass der Parameter (hier t) für die Zeit benutzt wird und bei beiden Gleichungen gleich ist.
• Geschwindigkeitsaufgaben Aufpassen: Der Richtungsvektor beschreibt die zurückgelegte Strecke in einer Zeiteinheit. Zudem muss an die Umrechnung der Einheiten gedacht werden. Geschwindigkeiten werden normalerweise in [km/h] angegeben. Wir haben die Geschwindigkeit in [km/min] ausgerechnet.
• Einheitsvektor bestimmen 1) Betrag / Länge des Vektors bestimmen 2) in die Formel einsetzen und ausrechen: V->E = 1 /  Iv->I . v ->         Iv->I = das was du in 2 ausgerechnet hasst
• Spatprodukt Das Spatprodukt (a→ x b→) . c ist eine Kombination aus Skalarprodukt und Vektorprodukt mit 3 Vektoren. Es gibt das Volumen des von den 3 Vektorene aufgespannten Parallelopipeds (Spats) an.
• Ein anderer Name für "Vektorprodukt" ist? Kreuzprodukt
• Linear abhängig Eine beliebige Anzahl von Vektoren ist linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der aderen Vektoren dargestellt werden kann.
• linear unabhängig Ist keine Linearkombination möglich, so sind die Vektoren linear unabhängig voneinander.
• Ob Vektoren linear abhängig sind, lässt sich durch Nullsetzen der Linearkombination überprüfen: r . a→+ s . b→ = 0→  bzw. r . a→ + s . b→ + t . c→ = 0→ Wenn es für diese Linearkombination eine Lösung  (r I s)T bzw. (r I s I t)T ≠ 0 gibt, sind die Vektoren linear abhängig. Für den anderen Fall (alle Parameter gleich 0 zur Erfüllung der Gleichung) sind die Vektoren linear unabhängig voneinander.
• Zwei Vektoren a-> und b->, die linear abhängig sind, verlaufen ? zueinander. Die Vektoren sind ? Zwei Vektoren a-> und b->, die linear abhängig sind, verlaufen parallel zueinander. Die Vektoren sind kollinear.
• Drei Vektoren a->,b-> und c->, die linear abhängig sind, liegen in einer ?. Die Vektoren sind ? Drei Vektoren a->,b-> und c->, die linear abhängig sind, liegen in einer Ebene. Die Vektoren sind komplanar.
• Man kann den einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen = Linear ABHÄNGIG
• Linearkombination Unter einer Linearkombination von Vektoren versteht man eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Als Ergebnis erhält man wieder einen Vektor.
• Parameterdarstellung einer Ebene Die allgemeine Gleichung einer Ebene E mit dem Stützvektor (auch Ortsvektor/Pin)   p→  und den Richtungsvektoren (auch Spannvektoren) u→ und v→ lautet: E: x→= p→ + r . u→+ s . v→  mit r,s ∈R Wichtig: Die Richtungsvektoren der Ebene dürfen keine Vielfache voneinander sein, denn dann wäre es nur eine Gerade und keine Ebene!
• Normalenvektor einer Ebene Der Normalenvektor n→=(n1 n2 n3)T verläuft immer senkrecht (orthogonal) zur Ebene. Also senkrecht sowohl zum einen Richtungsvektor als auch zum anderen Richtungsvektor!
• Drei Möglichkeiten, wie man den Normalenvektor bestimmen kann: Skalarprodukt: (I) Normalenvektor (n1,n2,n3)T mal den ersten Richtungsvektor und Null setzen (II) Normalenvektor (n1,n2,n3)T mal den zweiten Richtungsvektor und Null setzen Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Da mehr Unbekannte vorliegen als Gleichungen ist das LGS nicht eindeutig lösbar! LGS lösen-> einen der drei n's eleminieren, denke an Tricky "sei n1=2 etc" Am ende kannst du die Rechnung überprüfen indem du abermals das Skalarprodukt mit den errechneten Normalenvektor und den beiden Richtungsvektoren bildest Kreuzprodukt Einfach beiden Richtungsvektoren "kreuzen" und das Ergebnis ist der Normalenvektor {Merke}: Sucht man den Normalenvektor, so erhält man immer unendlich viele Lösungen, weil der Normalenvektor, egal welche Länge er hat, immer noch senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren steht. Die verschiedenen Lösungen für n-> kommen also von den verschiedenen Richtungen und Längen von n->. Der Normalenvektor  mit Länge 1 heißt normierter Normalenvektor und wird meistens mit n0 bezeichnet. Ablesen an Koordinatenform Wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegt, habt ihr die Möglichkeit, den Normalenvektor direkt abzulesen. Die Koordinaten des Normalenvektors sind die Zahlen vor x1, x2 und x3. Wenn in der Ebenengleichung z.B. kein x3 vorkommt, ist dieser Eintrag beim Normalenvektor eine Null.
• Spurpunkte mit Koordinatenachsen Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte. Um möglichst einfach eine Aussage über Spurpunkte treffen zu können, sollte die Ebenengleichung in der sogenannten Achsenabschnittsform vorliegen. Hierfür müsst ihr die Koordinatenform einfach durch die Zahl teilen, bei der kein x steht!
• Koordinatenform              E: n1 . x1 + n2 . x2 + n3 . x3 = d
• Parameterform        E: x→ = p→ + r . u→ + s . v→
• Normalenform               E: (x→ - p→) . n = 0
• Achsenabschnittsform    E: x1 / d/n1  +   x2 / d/n2 + x3 / d/n3 = 1
• Hessesche Normalenform E:(x→ - p→).n0=0 E: ( n1x1 + n2x2 + n3x3-d ) / I n→o I = 0
• Wenn das Skalarprodukt = 0 ist...? dann sind die beiden Vektoren aus dem man das Skalarprodukt gebildet hat orthogonal, sprich senkrecht zueinander
• Wozu soll ich mit dem Kreuz/Vektorprodukt? Hasst du zwie Vektoren gegeben kannst du mit dme Kreuzprodukt einen dritten Vektor raus finden der zu den beiden Anfangsvektoren senkrecht steht
• Jede Gerade lässt sich im R^3 durch eine Gleichung der Form darstellen g: x→ = ( a1a2 a3 )T + t (u1 u2 u3)T mit t ∈ R
• (Lagebeziehungen) Besondere Lagen ergeben sich, wenn der Stützvektor und der Richtungsvektor Nullen und Einsen als Koordinaten haben. So ist z.B. eine Gerade mit: - a1 = a2 = a3 = 0 eine ? - u2 = u3 = 0 eine ? - u1=0 eine ? - u1=u2=1, u3=0 eine? - u1=u2=u3=1 a1 = a2 = a3 = 0 eine Ursprungsgerade u2 = u3 = 0 eine Parallele zur x1-Achse u1=0 eine Parallele zur x2x3-Ebene u1=u2=1, u3=0 eine Parallele zu einer der Winkelhalbierenden zwischen der x1-Achse und der x2-Achse u1=u2=u3=1 eine Gerade, die zu jeder Achse einen Winkel von 45°C hat
• Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form ? darstellen E: x→ = (p1,p2,p3)T+r . (u1,u2,u3)T + s . (v1,v2,v3)T
• Lagebeziehungen Eine Ebene mit - p1=p2=p3= 0 geht durch... - u3=v3=0 ist .... - u1=u2=0 ist... p1=p2=p3=0 geht durch den Ursprung u3= v3=0 ist parallel zur x1x2-Ebene u1=u2 = 0 ist parallel zur x3-Achse Wenn die Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, erkennt man die besondere Lage einer Ebene sofort: Fehlt ein xi, so ist die Ebene zu dessen Achse parallel.
• Für die Lage einer Gerade g und einer Ebene E sind 3 Fälle möglich und ein Sonderfall: g und E schneiden sich, g und E sind echt parallel, g liegt in E. Sonderfall: Die Gerade g schneidet die Ebene E orthogonal. Dies ist der Fall, wenn ein Normalenvektor von E ein Vielfaches eines Richtungsvektors von g ist.
• Lagebeziehung ermitteln, Vorgehen: Gerade liegt in Parameter- und Ebene in Koordinatenform vor Vorgehen: 1. Parameterform der Gerade umschreiben.2. x1, x2 und x3 in Koordinatenform der Ebene einsetzen.3. Nach Parameter der Gerade umstellen.4. Ergebnis interpretieren.
• Gerade & Ebene Lösungsmöglichkeiten eindeutige Lösung und wissen somit, dass die Gerade die Ebene im Punkt S(?|?|?) schneidet. wahre Aussage z.B. 0=0,4=4,3=3-> g liegt in E Falsche Aussage z.B. 0=4,1=2,-3=1 -> g und E sind parallel
• Lagebeziehung ermitteln,Vorgehen Gerade und Ebene liegen in Parameterform vor Vorgehen: Parameterformen gleichsetzen. LGS aufstellen und lösen. Alternativ: In Matrixschreibweise aufschreiben und in Stufenform bringen. Ergebnis interpretieren.
• Lagebeziehungen Ebene – Ebene Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen sind 3 Fälle möglich: Sie schneiden sich (Schnittgerade). Sie sind echt parallel. Sie sind identisch
• Sonderfall Lagebeziehung Ebene-Ebene Sonderfall Die Ebenen sind orthogonal. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren Null ist.
• Untersuchungen von Lagebeziehungen bei verschiedenen Formen der Ebenengleichung - beide Gleichungen in Koordinatenform - beide Gleichungen in Parameterform - eine Gleichung in Parameterform eine in Koordinatenform Sind beide Gleichungen in Koordinatenform gegeben, fasst man beide als ein LGS mit 3 Variablen auf Sind beide Gleichungen in Parameterform gegeben, setzt man die rechten Seiten gleich und erhält ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Variablen. Ist eine Gleichung in Koordinaten- und eine in Parameterform gegeben, setzt man x1,x2 und x3 aus der Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und erhält eine Gleichung mit den beiden Parametern.
• Lagebeziehung, Ebene-Ebene Lösungsmöglichkeiten Schnittgerade Ebenen sind identisch-> wahre Aussage Ebenen sind parallel-> falsche Aussage

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