Mathematik (Fach) / Analytische Geometrie (Lektion)
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LGS, Gerade, Vektoren etc.
Diese Lektion wurde von JamesCohn erstellt.
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- Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum ... Zu einem beliebigen Punkt im dreidimensionalem Raum (x1|x2|x3) bzw. (x|y|z), z.B. P( 6 | 7 | 4 ), gelangt man, indem man vom Nullpunkt des Koordinatensystems 6 Einheiten in x-Richtung, 7 Einheiten in ...
- In 2D gilt: Alle Punkte auf der y-Achse haben den ... Alle Punkte auf der y-Achse haben den x-Wert 0! Py(0|y) Alle Punkte auf der x-Achse haben den y-Wert 0! Px(x|0)
- In 3D gilt: Alle Punkte in der x1x2-Ebene haben den ... Alle Punkte in der x1x2-Ebene haben den x3-Wert 0! P(x1|x2|0) Alle Punkte in der x2x3-Ebene haben den x1-Wert 0! P(0|x2|x3) Alle Punkte in der x1x3-Ebene haben den x2-Wert 0! P(x1|0|x3)
- Vom Punkt zum Vektor Ein Vektor beschreibt eine ... AB Pfeil drüber = b1-a1 b2-a2 b3-a3 (Klammer um das Ganze) Grafisch wird der Vektor durch einen ...
- Unterschied Ortvektor und Richtungsvektor Ist O(0|0) der Koordinatenursprung und P(5|2) ein Punkt, so heißt der Vektor OP (Pfeil d.) = p(Pfeil d.) = 5-0 ...
- Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie ...? ... Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleich lang sind und die gleiche Richtung haben. Im dreidimensionalem Raum werden Orts- und Richtungsvektoren genau wie im zwei-dimensionalen aufgestellt. ...
- Vektoren der Länge 1 heißen ? oder ? Vektoren. Hat ... Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren oder normierte Vektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.
- Länge eines Vektors bestimmen, Formel(n) a = I a I = √a12 + a22 + a32 (über IaI ist ein -> Wurzel durchgehend) oder a = I a I = √a . a ...
- Definition Skalar In Naturwissenschaft und Technik wird vieles zum Beispiel mit Länge, Masse, Arbeit, Energie, Zeit, Temperatur und Potential gemessen. Diese Größen können auf einer Skala dargestellt werden und heißen ...
- Definition Vektor Darüberhinaus gibt es Größen, die zu ihrer eindeutigen Bestimmung zusätzlich noch eine Richtung benötigen. Diese werden vektorielle Größen oder Vektoren genannt. Zum Beispiel sind Geschwindigkeit ...
- Zwei betragsgleiche Vektoren mit entgegengesetzter ... Zwei betragsgleiche Vektoren mit entgegengesetzter Richtung heißen Gegenvektoren. Wenn man diese addiert, erhält man als Summe einen Vektor, dessen Anfangspunkt mit seinem Zielpunkt zusammenfällt. ...
- Parameterform einer Geraden Die Gleichung einer Geraden g durch die Punkte A und B mit den Ortsvektoren a -> und b-> lautet: g: vec{x} = vec{a} + t . vec{u} t ∈ R wobei vec{u} = vec{b} - vec{a} der Richtungsvektor zwischen ...
- Punktprobe Gerade Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erfüllt der Punkt die Gleichung, d.h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt ...
- Spurpunkte von Gerade in Koordinatenebene Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Da es im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenebenen gibt (E23, E13 und E12), lassen sich drei Spurpunkte ...
- Vorgehensweise zur Berechnung von Spurpunkten Si: i-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugehörigen Parameter t berechnen t in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten Anders gesagt: ...
- Wichtig: Bei Geschwindigkeitsaufgaben muss beachtet ... Wichtig: Bei Geschwindigkeitsaufgaben muss beachtet werden, dass der Parameter (hier t) für die Zeit benutzt wird und bei beiden Gleichungen gleich ist.
- Geschwindigkeitsaufgaben Aufpassen: Der Richtungsvektor beschreibt die zurückgelegte Strecke in einer Zeiteinheit. Zudem muss an die Umrechnung der Einheiten gedacht werden. Geschwindigkeiten werden normalerweise in [km/h] angegeben. ...
- Einheitsvektor bestimmen 1) Betrag / Länge des Vektors bestimmen 2) in die Formel einsetzen und ausrechen: V->E = 1 / Iv->I . v -> Iv->I = das was du in 2 ausgerechnet hasst
- Spatprodukt Das Spatprodukt (a→ x b→) . c ist eine Kombination aus Skalarprodukt und Vektorprodukt mit 3 Vektoren. Es gibt das Volumen des von den 3 Vektorene aufgespannten Parallelopipeds (Spats) an.
- Ein anderer Name für "Vektorprodukt" ist? Kreuzprodukt
- Linear abhängig Eine beliebige Anzahl von Vektoren ist linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der aderen Vektoren dargestellt werden kann.
- linear unabhängig Ist keine Linearkombination möglich, so sind die Vektoren linear unabhängig voneinander.
- Ob Vektoren linear abhängig sind, lässt sich durch ... r . a→+ s . b→ = 0→ bzw. r . a→ + s . b→ + t . c→ = 0→ Wenn es für diese Linearkombination eine Lösung (r I s)T bzw. (r I s I t)T ≠ 0 gibt, sind die Vektoren linear abhängig. Für ...
- Zwei Vektoren a-> und b->, die linear abhängig sind, ... Zwei Vektoren a-> und b->, die linear abhängig sind, verlaufen parallel zueinander. Die Vektoren sind kollinear.
- Drei Vektoren a->,b-> und c->, die linear abhängig ... Drei Vektoren a->,b-> und c->, die linear abhängig sind, liegen in einer Ebene. Die Vektoren sind komplanar.
- Man kann den einen Vektor als Vielfaches des anderen ... Linear ABHÄNGIG
- Linearkombination Unter einer Linearkombination von Vektoren versteht man eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Als Ergebnis erhält man wieder einen ...
- Parameterdarstellung einer Ebene Die allgemeine Gleichung einer Ebene E mit dem Stützvektor (auch Ortsvektor/Pin) p→ und den Richtungsvektoren (auch Spannvektoren) u→ und v→ lautet: E: x→= p→ + r . u→+ s . v→ ...
- Normalenvektor einer Ebene Der Normalenvektor n→=(n1 n2 n3)T verläuft immer senkrecht (orthogonal) zur Ebene. Also senkrecht sowohl zum einen Richtungsvektor als auch zum anderen Richtungsvektor!
- Drei Möglichkeiten, wie man den Normalenvektor bestimmen ... Skalarprodukt: (I) Normalenvektor (n1,n2,n3)T mal den ersten Richtungsvektor und Null setzen (II) Normalenvektor (n1,n2,n3)T mal den zweiten Richtungsvektor und Null setzen Wir erhalten ein lineares ...
- Spurpunkte mit Koordinatenachsen Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte. Um möglichst einfach eine Aussage über Spurpunkte treffen zu können, ...
- Koordinatenform E: n1 . x1 + n2 . x2 + n3 . x3 = d
- Parameterform E: x→ = p→ + r . u→ + s . v→
- Normalenform E: (x→ - p→) . n = 0
- Achsenabschnittsform E: x1 / d/n1 + x2 / d/n2 + x3 / d/n3 = 1
- Hessesche Normalenform E:(x→ - p→).n0=0 E: ( n1x1 + n2x2 + n3x3-d ) / I n→o I = 0
- Wenn das Skalarprodukt = 0 ist...? dann sind die beiden Vektoren aus dem man das Skalarprodukt gebildet hat orthogonal, sprich senkrecht zueinander
- Wozu soll ich mit dem Kreuz/Vektorprodukt? Hasst du zwie Vektoren gegeben kannst du mit dme Kreuzprodukt einen dritten Vektor raus finden der zu den beiden Anfangsvektoren senkrecht steht
- Jede Gerade lässt sich im R^3 durch eine Gleichung ... g: x→ = ( a1a2 a3 )T + t (u1 u2 u3)T mit t ∈ R
- (Lagebeziehungen) Besondere Lagen ergeben sich, wenn ... a1 = a2 = a3 = 0 eine Ursprungsgerade u2 = u3 = 0 eine Parallele zur x1-Achse u1=0 eine Parallele zur x2x3-Ebene u1=u2=1, u3=0 eine Parallele zu einer der Winkelhalbierenden zwischen der x1-Achse und ...
- Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung der Form ... E: x→ = (p1,p2,p3)T+r . (u1,u2,u3)T + s . (v1,v2,v3)T
- Lagebeziehungen Eine Ebene mit - p1=p2=p3= 0 geht ... p1=p2=p3=0 geht durch den Ursprung u3= v3=0 ist parallel zur x1x2-Ebene u1=u2 = 0 ist parallel zur x3-Achse Wenn die Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, erkennt man die besondere Lage einer Ebene ...
- Für die Lage einer Gerade g und einer Ebene E sind ... g und E schneiden sich, g und E sind echt parallel, g liegt in E. Sonderfall: Die Gerade g schneidet die Ebene E orthogonal. Dies ist der Fall, wenn ein Normalenvektor von E ein Vielfaches eines Richtungsvektors ...
- Lagebeziehung ermitteln, Vorgehen: Gerade liegt in ... Vorgehen: 1. Parameterform der Gerade umschreiben.2. x1, x2 und x3 in Koordinatenform der Ebene einsetzen.3. Nach Parameter der Gerade umstellen.4. Ergebnis interpretieren.
- Gerade & Ebene Lösungsmöglichkeiten eindeutige Lösung und wissen somit, dass die Gerade die Ebene im Punkt S(?|?|?) schneidet. wahre Aussage z.B. 0=0,4=4,3=3-> g liegt in E Falsche Aussage z.B. 0=4,1=2,-3=1 -> g und E sind parallel
- Lagebeziehung ermitteln,Vorgehen Gerade und Ebene ... Vorgehen: Parameterformen gleichsetzen. LGS aufstellen und lösen. Alternativ: In Matrixschreibweise aufschreiben und in Stufenform bringen. Ergebnis interpretieren.
- Lagebeziehungen Ebene – Ebene Für die gegenseitige ... Sie schneiden sich (Schnittgerade). Sie sind echt parallel. Sie sind identisch
- Sonderfall Lagebeziehung Ebene-Ebene Sonderfall Die Ebenen sind orthogonal. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der Normalenvektoren Null ist.
- Untersuchungen von Lagebeziehungen bei verschiedenen ... Sind beide Gleichungen in Koordinatenform gegeben, fasst man beide als ein LGS mit 3 Variablen auf Sind beide Gleichungen in Parameterform gegeben, setzt man die rechten Seiten gleich und erhält ein ...
- Lagebeziehung, Ebene-Ebene Lösungsmöglichkeiten Schnittgerade Ebenen sind identisch-> wahre Aussage Ebenen sind parallel-> falsche Aussage