Mathematik (Subject) / Analysis Integralrechnung (Lesson)

Stammfunktion, Aufleiten etc.

This lesson was created by JamesCohn.

Learn lesson

back  |  next 1 / 1

• Integralrechnung Das Integral ist ein Oberbegriff für ?. Die Berechnung von Integralen heißt ?. Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.
• Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von ? und wird deshalb auch Aufleiten genannt. Wie schon beim Ableiten gibt es auch hier eine Summenregel (= Eine Summe wird „summandenweise“ aufgeleitet) und eine Faktorregel (= Ein konstanter Faktor bleibt beim Aufleiten erhalten). Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammktionen und wird deshalb auch Aufleiten genannt                 
• Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion ermittelt sich ALLGEMEINEN über: Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion f(x) = xn    , n Element von N ermittelt sich allgemein über:  F(x) =     (1) / ( n + 1)     xn+1 Beim Aufleiten muss der Exponent um 1 erhöht und in den Nenner des Bruchs geschrieben werden!
• Schreibe die Stammfunktionen folgender Funktionen auf: 1 ; 10 ; x ; 10x ; x^2 ; 5x^7 ; 3x^4 -2x^3 +4     f(x)                                        F(x) 1                                            x 10                                      10x x                                       1/2  x2 10x                                 10/2  x2 x2                                          1/3  x3 5x7                                          5/8 x8 3x4 -2x3 +4                       3/5 x5 - 2/4 x4 +4x Wie bereits erwähnt gibt es bei der Integralrechnung auch eine Summenregel, die besagt, dass jeder Summand einzeln integriert wird. Zum Beispiel ist F(x)=x2+3x eine Stammfunktion von f(x)=2x+3.
• Beispiele zu typischen Stammfunktionen in der Integralrechnung Bilde eine Stammfunktion der gegebenen Funktionen: 1. f(x) = 1 2. f(x) = 3x^2 +x 3. f(x) = 3x^5 - 2x^2 +1 4. f(x)= 3e^x 5. f(x) = 5e^5x+2 6. f(x)= 2e^2x + 2 1. f(x) = 1                            -> F(x) = x2. f(x) = 3x2+x                       -> F(x) = x3+ 1/2 x23. f(x) = 3x5 -2x2 +1             -> F(x)= 1/2 x6 - 2/3 x3 + x4. f(x)= 3ex                                -> F(x) = 3ex5. f(x) = 5e5x+2                          -> F(x) = e5x+26. f(x)= 2e2x + 2                   -> F(x)= e2x + x2
• e-Funktion, bilde die Stammfunktion - e^x - e^2x - e^3x - e^4-2x - 20e^10x - 3e^5-2x - e^x^2, e^x^3 - 2x . e^2x - 2x . e^x^2 - ex                           F(x)= ex- e2x                            F(x) = 1/2 e2x- e3x                            F(x)=1/3 e3x- e4-2x                         F(x)=-1/2 e4-2x- 20e10x                     F(x)= 2e10x- 3e5-2x                   F(x)= 3/-2 e5-2x- ex^2, ex^3                Geht nicht!- 2x . e2x                    Partielle Integration- 2x . ex^2                  Substitution
• Unbestimmtes Integral Als unbestimmtes Integral bezeichnet man, wie oben bereits angedeutet, die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+C einer Funktion f(x). Die Schreibweise für unbestimmte Integrale lautet: "Summe" f(x) dx = F(x) + C Dabei ist "Summe" das Integrationszeichen und f(x) der Integrand. Die Variable x heißt Integrationsvariable und C ist die Integrationskonstante.
• Bestimmtes Integral Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt – sind. Im Gegensatz zum unbestimmten Integral lässt sich ein bestimmtes Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung lösen!
• HS der Integralrechnung "Summe" b  f(x) dx = ( F(x) )b   = ( F(b) - F(a) )                 a                        a
• Bestimme folgende Integrale: a) "Summe" von 0 bis 2 x^2 + 2x -3 b) "Summe" von -1 bis 1 x^3 c) "Summe" von 0 bis 1 e^x d) "Summe" von -1 bis 2 e^2x + x a) "Summe" von 0 bis 2 x2 + 2x -3b) "Summe" von -1 bis 1 x3c) "Summe" von 0 bis 1 exd) "Summe" von -1 bis 2 e2x + x a) "Summe" von 0 bis 2 x2 + 2x -3 dx = (1/3x3 + x2 - 3x) von 0 bis 2 = 2/3b) "Summe" von -1 bis 1 x3 dx = (1/4x4) von -1 bis 1 = 0c) "Summe" von 0 bis 1 ex dx  = (ex) von 0 bis 1 = e-1d) "Summe" von -1 bis 2 e2x + x dx = (1/2 e2x + 1/2x2) von 2 bis -1 "gleich ungefähr" 28,73
• Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse mit Hilfe der Integralrechnung Vorgehen: Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu erhalten. Ist die Fläche stets oberhalb der x-Achse kannst du ganz normal das Integral berechnen. Merke: Wenn die Funktion im zu berechnendem Intervall einen Vorzeichenwechsel hat, ist ein Teil der Fläche unterhalb der x-Achse und eine Fläche oberhalb x-Achse. Die Fläche unterhalb der x-Achse muss dann im Betrag genommen werden.
• Berechnung der Fläche, die von zwei sich schneidenden Graphen eingeschlossen ist Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und f(x) "größer gleich" g(x) für alle x in [a; b],dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird A = "Summe" von a nach b (f(x) - g(x))dx =                  (F(x) - G(x))von a bis b = (F(b) - G(b)) - (F(a) - G(a)).
• Flächeninhalt zwischen 2 Graphen Zu beachten: Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab dem Schnittpunkt aus der oberen Funktion die untere. Man würde nun einen negativen Flächeninhalt herausbekommen, also müssen Betragsstriche gesetzt werden. Vorgehen: Schnittstellen finden Teilintegrale aufstellen und Betragsstriche setzen.
• Partielle Integration Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten. Die partielle Integration wird stets bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet, wobei von einem Faktor die Stammfunktion bekannt ist (v'(x)) und man die Hoffnung hat, dass durch die Ableitung des anderen Faktors (u(x)) das Integral einfacher wird. Warum heißt es eigentlich partielle Integration? Weil ein Teil des Ingetrals (u(x) . v(x)) von a bis b gelöst wird und der andere Teil noch ein Integral "Summe" von a bis b u'(x) . v(x) beinhaltet. Die Schwierigkeit ist es zu entscheiden, welcher Teil u(x) ist und welcher v'(x). Unter Umständen kann es nämlich sein, dass das Integral bei falscher Wahl nicht zu lösen ist. Die Frage die wir uns stellen müssen: Die Ableitung welches Faktors vereinfacht das Integral?
• Partielle Integration Vorgehen und Formel Formel: "Summe" von a bis b u(x) . v'(x) dx = (u(x).v(x)) von a bis b -                  "Summe" von a bis b u'(x) . v(x) dx Allgemeines Vorgehen: Überlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Danach u(x) und v'(x) festlegen. Ableitung u'(x) bestimmen. Stammfunktion v(x) bestimmen. Ergebnisse in Formel einsetzen.
• TIPP, Partielle Integration Tipp: Wenn die Aufgabe nicht lösbar ist mit der Wahl von u und v‘, sollte man diese gegeneinander austauschen und erneut probieren. Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren. Generell werden Potenzen xn oder Umkehrfunktionen wie ln(x) oder arcsin(x) durch Ableiten einfacher und Funktionen wie ex oder sin(x) durch Integrieren nicht komplizierter.
• Bestimme eine Stammfunktion von der Funktion f mit Hilfe der partiellen Integration. a) f(x) = 2xex b) f(x) = (x-2)e2x c) f(x) = 5xe^3x+2 d) f(x) = 1 . In(x) a) f(x) = 2xex -> ex (2x-2)b) f(x) = (x-2)e2x  -> (1/2 x - 5/2)e2xc) f(x) = 5xe3x+2   -> (5/3x - 5/9)e3x+2d) f(x) = 1 . In(x)   -> xIn(x)-x
• Integration durch Substitution Kommen wir zur Integration durch Substitution. Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Und genau das tun wir hier um eine Integration durchzuführen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacheres Integral zurückzuführen. Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. "Summe" von a bis b f(u(x)) . u'(x) dx = "Summe" von u(a) bis u(b)  f(u) du
• Integration durch Substitution Vorgehen In Anlehnung an die Kettenregel kann über Integration per Substitution gesagt werden, dass sie immer dort angewendet wird, wo ein Faktor im Integranden die Ableitung eines anderen Teils des Integranden ist; im Prinzip immer dort, wo man auch die Kettenregel anwenden würde. Ist die Ableitung ein konstanter Faktor, so kann dieser aus dem Integral faktorisiert werden. Allgemeines Vorgehen: Den zu substituierenden Term bestimmen, ableiten und nach dx umstellen. Substitution durchführen. Integral lösen. Rücksubstitution durchführen.
• Sonderfälle der Substitution Lineare Substitution: "Summe" von a bis b  f(mx+n)dx = 1/m (F(mx+n)) von a bis b Logarithmische Integration: "Summe" a bis b g'(x)/g(x) dx = (In I g(x)) von a bis b
• Mittelwertsatz der Integralrechnung Häufig ist eine Funktion gegeben, die den Wasserstand angibt oder die Geschwindigkeit des Wasserzuflusses! Wenn dann zum Beispiel nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten Zeitraum gefragt ist, bedient man sich oft am Mittelwertsatz der Integralrechnung: 1/b-a "Summe" von a bis b  f(x)dx = 1/b-a (F(x)) von a bis b = 1/b-a (F(b)-F(a)) Der Mittelwertsatz gibt im allgemeinen den Durchschnitt aller y-Werte an (achtet darauf, was die Funktion im Sachzusammenhang angibt).
• Rotationskörper in der Integralrechnung Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, z.B. Kugel, Kreiskegel oder Zylinder, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Um Oberfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve. Man unterscheidet dabei den Rotationskörper um die x-Achse und der y-Achse.
• Volumenformel mit Integral für Rotationskörper: um die x-Achse: V= Pi . "Summe" von a bis b (f(x))2x um die y-Achse: V = Pi . "Summe" von f(a) bis f(b) (f-1(x))2x
• Integralfunktion Das Integral aus einer festen unteren Grenze a und einer variablen oberen Grenze x nennt sich Integralfunktion "Summe" von a bis x f(t) dt = F(x) - F(a) wobei F Stammfunktion von f ist.
• Uneigentliches Integral Es kann vorkommen, dass eine Grenze bestimmt ist (also vorgegeben, hier a) und eine Grenze unendlich ∞ ist. Wir sprechen dann von einem uneigentlichen Integral. ∫a∞  f(x) x Um den Flächeninhalt zu bestimmen, arbeitet man wieder mit dem Grenzwertsatz lim. Im Unendlichen konvergiert die Funktion gegen einen Wert und wir können den Flächeninhalt bestimmen.
• Bogenlänge bei Funktionen Die Bestimmung der Bogenlänge benötigt man häufig bei der Bearbeitung vieler technischer (insbesondere bautechnischer) Probleme, z.B. die Berechnung der Länge eines Parabelbogens, der Kettenlinie, einer Schleife oder eines Brückenbogens genannt. Wir betrachten den Graph der Funktion f(x) im Intervall (a;b). Die Berechnung der Länge s des Kurvenbogens erfolgt mit der Formel: s = ∫ba  √1+(f'(x))2 dx   (die Wurzel geht bis 2)
• Merke √x = √x = x1/2
• bilde die Stammfunktion e^x ex
• bilde die Stammfunktion 2e^x 2ex
• bilde die Stammfunktion 4x + 2e^x 4/2 x2 + 2ex
• bilde die Stammfunktion e^3x+4 (alles oben) 1/3 e3x+4
• bilde die Stammfunktion ex^2, ex^3 geht nicht
• bilde die Stammfunktion 20. e ^4x-8 Partielle Integration
• Bilde die Stammfunktion f(x) = 3√x - 2√x+3 1) Umschreiben: 3x1/2 - 2 (x+3)1/2 2) Integrieren: F(x) = 2x3/2 - 4/3(x+3)3/2
• "Allgemeine Regel" zum 'Aufleiten' -> Hochzahl +1 -> durch neue Hochzahl teilen -> hinten + k oder c Tipp: Stammfunktion abgeleitet ergibt ursprüngliche Funktion!
• Bilde die Stammfunktion: f(x) = 2/3x^2 f(x) = 2/3x2  = 2/3 x-2 F(x)= 2/3  1/(-1)  x-2+1 F(x) = - 2/3  x-1  + k
• Bilde die Stammfunktion f(x) = 1/x F(x)= InIxI + k
• Bilde die Stammfunktion f(x) = 5. √x f(x) = 5 . √x= 5 . x0,5 = 5x0,5 F(x)= 1/1,5  5x0,5+1 =2/3 5x1,5 F(x)= 10/3 x1,5 + k
• Male den 'Kreislauf' Sinus und Kosinus "Aufleiten" und "Ableiten" auf Siehe Analysis S.65
• Was bedeutet "konvergent"? Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge. Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so wird sie konvergent, andernfalls divergent genannt.
• Partielle Integration Partielle Integration löst keine Integrale, Partielle Integration vereinfacht Integrale-> in der Hoffnung, dass dieses neu entstandene Integral einfacher zu lösen ist als das alte P.I. ist ein Werkzeug, du kannst sie immer anwenden, wenn du meinst sie könnte nützlich sein du musst die vorliegende Gleichung dann umformen nach einen der beiden Möglichkeiten: ∫ u . v' = u . v - ∫ u' . v ∫ u' . v = u . v - ∫ u' . v musst dir immer die Frage stellen welchen Term du Ableiten und welchen du Integrieren möchtest-> welcher Term wird einfacher, wenn man ihn ableitet oder integriert
• Partielle Integration Typ1:Polynom) ∫ x . e^x dx ->x = (2x+3) oder (x^3+2x+1); e^x könnte auch sin(x) o. cos(x) sein Welchen Term würdest du Ableiten und welchen aufleiten?  Du wählst die Formel, bei der das Polynom abgeleitet wird Bei Logarithmus mal Polynom-> mache es so das der Logarithmus abgeleitet wird, und das Polynom integriert wird
• Partielle Integration; Typ 2:Ableiten) ∫In(x) dx ∫arctan(x) dx Grundprinzip: Wenn wir die Funktion nicht integrieren können, leiten wir sie ab-> wir haben kein Produkt sodass wir irgendeine Formel benutzen können wir denken uns eine . 1 dazu und werden einfach im folgendne die Zahl 1 Integrieren und den Term den wir nicht Integrieren können, leiten wir ab -> ∫1.arctan(x) dx
• Partielle Integration Typ3:Umstellen) ∫sin(x) . cos(x) dx; ∫sin(x) . e^x Wir können das Integral selbst nicht berechnen aber durch ein oder zweimal Partielle Integration schaffen wir's der wieder so aussieht wie unser ursprünglciher Term und dann können wir das Ganze durch Umstellen lösen -> drehen uns im Kreis
• Eselsbrücke, wann benutze bzw. brauche ich meistens Partielle Integration? fast immer dann benutzen, wenn der Integrand ein Produkt ist und es höchstens lineare Verkettungen gibt bei krasseren Verkettungen wie ∫x.e-2x dx -> brauchst du Substitution

back  |  next 1 / 1