Mathematik (Fach) / Analysis Integralrechnung (Lektion)
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Stammfunktion, Aufleiten etc.
Diese Lektion wurde von JamesCohn erstellt.
- Integralrechnung Das Integral ist ein Oberbegriff ... Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ...
- Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von ? und ... Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammktionen und wird deshalb auch Aufleiten genannt
- Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion ermittelt ... Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion f(x) = xn , n Element von N ermittelt sich allgemein über: F(x) = (1) / ( n + 1) xn+1 Beim Aufleiten muss der Exponent um 1 erhöht und in ...
- Schreibe die Stammfunktionen folgender Funktionen ... f(x) F(x) 1 x 10 ...
- Beispiele zu typischen Stammfunktionen in der Integralrechnung ... 1. f(x) = 1 -> F(x) = x2. f(x) = 3x2+x -> F(x) = x3+ 1/2 x23. f(x) = 3x5 -2x2 +1 -> F(x)= ...
- e-Funktion, bilde die Stammfunktion - e^x - e^2x - ... - ex F(x)= ex- e2x F(x) = 1/2 e2x- e3x F(x)=1/3 e3x- e4-2x ...
- Unbestimmtes Integral Als unbestimmtes Integral bezeichnet ... "Summe" f(x) dx = F(x) + C Dabei ist "Summe" das Integrationszeichen und f(x) der Integrand. Die Variable x heißt Integrationsvariable und C ist die Integrationskonstante.
- Bestimmtes Integral Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt ...
- HS der Integralrechnung "Summe" b f(x) dx = ( F(x) )b = ( F(b) - F(a) ) a a
- Bestimme folgende Integrale: a) "Summe" von 0 bis ... a) "Summe" von 0 bis 2 x2 + 2x -3b) "Summe" von -1 bis 1 x3c) "Summe" von 0 bis 1 exd) "Summe" von -1 bis 2 e2x + x a) "Summe" von 0 bis 2 x2 + 2x -3 dx = (1/3x3 + x2 - 3x) von 0 bis 2 = 2/3b) "Summe" ...
- Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse ... Vorgehen: Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu erhalten. Ist die Fläche stets oberhalb der x-Achse kannst du ganz normal das Integral berechnen. Merke: Wenn die Funktion im zu berechnendem ...
- Berechnung der Fläche, die von zwei sich schneidenden ... Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und f(x) "größer gleich" g(x) für alle x in [a; b],dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird A ...
- Flächeninhalt zwischen 2 Graphen Zu beachten: Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab dem Schnittpunkt aus der oberen Funktion die untere. Man würde nun einen negativen Flächeninhalt herausbekommen, also müssen Betragsstriche gesetzt ...
- Partielle Integration Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie ist quasi das ...
- Partielle Integration Vorgehen und Formel Formel: "Summe" von a bis b u(x) . v'(x) dx = (u(x).v(x)) von a bis b - "Summe" von a bis b u'(x) . v(x) dx Allgemeines Vorgehen: Überlegung: Die Ableitung welchen ...
- TIPP, Partielle Integration Tipp: Wenn die Aufgabe nicht lösbar ist mit der Wahl von u und v‘, sollte man diese gegeneinander austauschen und erneut probieren. Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren. ...
- Bestimme eine Stammfunktion von der Funktion f mit ... a) f(x) = 2xex -> ex (2x-2)b) f(x) = (x-2)e2x -> (1/2 x - 5/2)e2xc) f(x) = 5xe3x+2 -> (5/3x - 5/9)e3x+2d) f(x) = 1 . In(x) -> xIn(x)-x
- Integration durch Substitution Kommen wir zur Integration durch Substitution. Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Und genau das tun wir hier um eine Integration durchzuführen. Durch ...
- Integration durch Substitution Vorgehen In Anlehnung an die Kettenregel kann über Integration per Substitution gesagt werden, dass sie immer dort angewendet wird, wo ein Faktor im Integranden die Ableitung eines anderen Teils des Integranden ...
- Sonderfälle der Substitution Lineare Substitution: "Summe" von a bis b f(mx+n)dx = 1/m (F(mx+n)) von a bis b Logarithmische Integration: "Summe" a bis b g'(x)/g(x) dx = (In I g(x)) von a bis b
- Mittelwertsatz der Integralrechnung Häufig ist eine Funktion gegeben, die den Wasserstand angibt oder die Geschwindigkeit des Wasserzuflusses! Wenn dann zum Beispiel nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten ...
- Rotationskörper in der Integralrechnung Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, z.B. Kugel, Kreiskegel oder Zylinder, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse ...
- Volumenformel mit Integral für Rotationskörper: um die x-Achse: V= Pi . "Summe" von a bis b (f(x))2x um die y-Achse: V = Pi . "Summe" von f(a) bis f(b) (f-1(x))2x
- Integralfunktion Das Integral aus einer festen unteren Grenze a und einer variablen oberen Grenze x nennt sich Integralfunktion "Summe" von a bis x f(t) dt = F(x) - F(a) wobei F Stammfunktion von f ist.
- Uneigentliches Integral Es kann vorkommen, dass eine Grenze bestimmt ist (also vorgegeben, hier a) und eine Grenze unendlich ∞ ist. Wir sprechen dann von einem uneigentlichen Integral. ∫a∞ f(x) x Um den Flächeninhalt ...
- Bogenlänge bei Funktionen Die Bestimmung der Bogenlänge benötigt man häufig bei der Bearbeitung vieler technischer (insbesondere bautechnischer) Probleme, z.B. die Berechnung der Länge eines Parabelbogens, der Kettenlinie, ...
- Merke √x = √x = x1/2
- bilde die Stammfunktion e^x ex
- bilde die Stammfunktion 2e^x 2ex
- bilde die Stammfunktion 4x + 2e^x 4/2 x2 + 2ex
- bilde die Stammfunktion e^3x+4 (alles oben) 1/3 e3x+4
- bilde die Stammfunktion ex^2, ex^3 geht nicht
- bilde die Stammfunktion 20. e ^4x-8 Partielle Integration
- Bilde die Stammfunktion f(x) = 3√x - 2√x+3 1) Umschreiben: 3x1/2 - 2 (x+3)1/2 2) Integrieren: F(x) = 2x3/2 - 4/3(x+3)3/2
- "Allgemeine Regel" zum 'Aufleiten' -> Hochzahl +1 -> durch neue Hochzahl teilen -> hinten + k oder c Tipp: Stammfunktion abgeleitet ergibt ursprüngliche Funktion!
- Bilde die Stammfunktion: f(x) = 2/3x^2 f(x) = 2/3x2 = 2/3 x-2 F(x)= 2/3 1/(-1) x-2+1 F(x) = - 2/3 x-1 + k
- Bilde die Stammfunktion f(x) = 1/x F(x)= InIxI + k
- Bilde die Stammfunktion f(x) = 5. √x f(x) = 5 . √x= 5 . x0,5 = 5x0,5 F(x)= 1/1,5 5x0,5+1 =2/3 5x1,5 F(x)= 10/3 x1,5 + k
- Male den 'Kreislauf' Sinus und Kosinus "Aufleiten" ... Siehe Analysis S.65
- Was bedeutet "konvergent"? Eine Folge kann in der Mathematik die Eigenschaft haben, sich mit wachsendem Index immer mehr einer bestimmten Zahl anzunähern. Diese Zahl nennt man Grenzwert oder Limes der Folge. Besitzt eine Folge ...
- Partielle Integration Partielle Integration löst keine Integrale, Partielle Integration vereinfacht Integrale-> in der Hoffnung, dass dieses neu entstandene Integral einfacher zu lösen ist als das alte P.I. ist ein Werkzeug, ...
- Partielle Integration Typ1:Polynom) ∫ x . e^x dx ... Du wählst die Formel, bei der das Polynom abgeleitet wird Bei Logarithmus mal Polynom-> mache es so das der Logarithmus abgeleitet wird, und das Polynom integriert wird
- Partielle Integration; Typ 2:Ableiten) ∫In(x) dx ... Grundprinzip: Wenn wir die Funktion nicht integrieren können, leiten wir sie ab-> wir haben kein Produkt sodass wir irgendeine Formel benutzen können wir denken uns eine . 1 dazu und werden einfach ...
- Partielle Integration Typ3:Umstellen) ∫sin(x) . ... Wir können das Integral selbst nicht berechnen aber durch ein oder zweimal Partielle Integration schaffen wir's der wieder so aussieht wie unser ursprünglciher Term und dann können wir das Ganze durch ...
- Eselsbrücke, wann benutze bzw. brauche ich meistens ... fast immer dann benutzen, wenn der Integrand ein Produkt ist und es höchstens lineare Verkettungen gibt bei krasseren Verkettungen wie ∫x.e-2x dx -> brauchst du Substitution