durch ? wird die Steigung der Tangente bestimmt.
mtang = f' (xo)
Formel der Steigung der Normalen
mnorm = - 1 / mtang = 1 / f ' (xo)
(Symetrie)
GERADE Exponenten bedeuten?
achsensymetrisch zur y-Achse
(Symmetrie)
UNGERADE Exponenten bedeuten?
punktsymetrisch zum Ursprung
Formel: Punktsymmetrie zum Ursprung
f (-x) = - f(x)
Formel: Achsensymetrie zur x-Achse
f(-x) = f(x)
Komplementärmenge
Ist A eine Teilmenge von B, dann heißt die Menge aller Elemente,die zu B, aber nicht zu A gehören, auch Komplement von A bzgl. B
Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B,wenn jedes Element von A auch zur Menge B gehört.
Differenzmenge
Verhältnis zur Differenzmenge Das Komplement (die Komplementärmenge) ist ein Spezialfall der Differenzmenge:Wenn A Teilmenge von B ist, wirddie Differenzmenge B∖A auch Komplement von A bzgl. B genannt
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge A∪B ist die Menge aller Elemente,die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören:
Schnittmenge
Die Schnittmenge A∩B ist die Menge aller Elemente,die sowohl zu A als auch zu B gehören
(In (...) ) ^... = ... / ... x (...)^... Ableitung In'
(In(etwas))' = 1 / etwas x (etwas)'
Potenzregel: xm / xn = ?
xm / xn = x m-n
Potenzgesetze
1. xm x xn =
2. xn x yn =
3. (xn)m =
4. x^-n =
5. x n/m =
1. am x an = am+n2. an x yn = (a x y)n3. (an)m = anxm4. a-n = 1/an5. a n/m = mWurzel an
Bedingungen
schnittstelle mit x-Achse
Hoch/Tiefpunkt
Wendepunkt
Schnittstellen mit der x-Achse: f(x) = 0 Hoch/Tiefpunkt: f' (x) = 0 Wendepunkt: f''(x)=0
Der höchste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion wird auch...genannt und dessen Form heißt?
Scheitelpunkt S Form y=a.(x-d)2+e S (d I e )
Vorgehen um eine Umkehrfunktion zu bilden? (nicht jede Funktion hat eine entsprechende Umkehrfunktion)
1) Funktion als y=f(x) umschreiben und schrittweise nach x lösen 2) Variablen c und y tauschen 3) Umkehrfunktion f-1(x) oder f(x) aufschreiben (über dem letzten f(x) ein Strich)
Spezielle Ableitung f ' (x) ?
e^x
a^x
In(x)
sin(x)
cos(x)
Wurzel x = x^1/2
1/x= x^-1
f(x) f ' (x) ex ex ax ax.In(a) In(x) 1/x sin(x) cos(x) cos(x) -sin(x) Wurzelx = x1/2 1/(2Wurzelx) 1/x = x-1 -x-2 = -1/x2
Ableitungsregel
Ketten:
Quotienten:
Produkt:
Kettenregel: (a (b(x)) )' = a' . (b(x)) . b'(x) Produktregel: (a.b)' = a' . b + a . b' Quotientenregel: (a/b)' = (a' . b - a . b') / b2
Allgemeine Wurzelfunktion (mit n als Wurzelexponenten)
Eigenschaften?
einzige Nullstelle bei x=0 je größer n , desto flacher verläuft der Graph ab x =1
Funktionsgleihcung quadratische Funktion und Normalparabel
y = ax2 + bx + x y = x2
Gauß-Verfahren
-> um die Nullen zu berechnen, darf man Zeilen
5
vertauschen mit einer Zahl multiplizieren durch eine Zahl dividieren addieren subtrahieren
Additionsverfahren, Vorgehen:
1)
2)
3)
1) Entscheide, welche Unbekannte du eleminieren willst 2) Überlege, was du tun musst, damit die Unbekannte wegfällt 3) Berechne die Unbekannte
Gleichsetzungsverfahren, Vorgehen?
1)
2)
3)
4)
1) Auflösen beider Gleichungen nach der gleichen Variablen 2) Gleichsetzen der anderen Seite der Gleichung 3) Auflösen der so entstandenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen 4) Einsetzen der Lösung in einer der umgeformten Gleichung aus 1. mit abschließender Berechnung der Variablen
Einsetzungsverfahren, Vorgehen
1) 2) 3) 4)
1) Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen 2) Diesen Term in die andere Gleichung einsetzen 3) Auflösen der so entstandenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen 4) Einsetzen der Lösung in die Gleichung, die im 1.Schritt berechnet wurde mit anschließender Berechnung der Variablen
Zur Beurteilung der Krümmung verwendet man häufig die zweite Ableitung. Es gilt....
f'' (x) > 0 -> f(x) ist links gekrümmt bzw. konvex (Grube) f'' (x) < 0 -> f(x) ist rechts gekrümmt bzw. konkav (Brücke)
Wann ist etwas
- monoton wachsend/steigend - monoton fallend ?
- streng monoton wachsend/fallend?
f'(x) größer gleich 0 -> f(x) ist monoton wachsend/steigend f'(x) kleiner gleich 0 -> f(x) ist monoton fallend f' (x) größer 0 -> f(x) ist streng monoton wachsend/steigend f'(x) kleiner 0 -> f(x) ist streng monoton fallend
Wendepunkte:
Notwendige bedingung ?
Hinreichende Bedingung?
Vorgehen?
Wendepunkte Notwendige Bedingung: f '' (x) = 0 ->erhalten potentielle Wendestelle die wir mit xw bezeichnen Hinreichende Bedingung: f '' (x) = 0 und f '''(xW) ungleich 0 Für f ''' (x) kann folgendes rauskommen: f ''' (xW) kleiner 0 Links-rechts-Wendestelle f ''' (xW) größer 0 Rechts-links-Wendestelle 3. y-Werte der Wendestelle: xW-Werte in f(x) einsetzen -> W (xW I f(xW) )
Funktionen auf Extremstellen hin untersuchen Vorgehen?
Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen -> erhalten potentielle Extremstellen Zweite Ableitung bilden und Extremstellen einsetzen f '' (x) kleiner 0 -> HP f '' (x) größer 0 -> TP 3. y-Werte des Hoch-und Tiefpunktes berechnen indem du die Extremstellen in die Ausgangsfunktion einsetzt, das Ergebnis liefert den y-Wert HP (xIy) TP (xIy)
EXTREMwertprobleme
Vorgehen?
Hauptbedingung aufstellen: Was soll maximal/minimal werden? Rand- bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text! Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptbedingung einsetzen -> Zielfunktion Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen Alle fehlenden Werte bestimmen. (Randwerte beachten!)
Extremwertprobleme/ Optimierungsprobleme:
Gegeben sei die Funktion f(x) im ersten Quadranten. Welche Koordinaten muss der Punkt P besitzen, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist?
Siehe Heft S. 55 Lösung : P(3I3)
Extremwertaufgaben:
1) Fläche - Seitenlänge begrenzt
gegeben: Rechteck, max. Fläche nur 400m Zaun
HB: A(a,b) = a.b NB: U(a,b)=2.(a+b)=400 b = 200 - a in HB ZF: A(a)= -a2+200a
Extremwertaufgaben:
3) Dose - Material begrenzt
max. Volumen nur 300cm^2 Material
HB: V(r,h) = Pi.r2.h NB: = O (r,h) = 2.Pi.r (r+h) = 300 h = (300)/(2.Pi.r) -r in HB ZB: V(r) = 150.r - Pi.r3
Wachstumsprozesse
Berechnungen zum Wachstum bzw. Wachstumsprozessen bescäftigen sich mit der Entwicklung von einem Bestand. Eine wichtige Idee dabei ist, dass die Änderung des Bestands (alos Zunahme und Abnahme) die Ableitung des Bestands ist.
Lineares Wachstum
Das lineare Wachstum ist sehr, sehr einfach. Es handelt sich hierbei um einen Bestand mit einer gleichmäßigen Entwicklung! Es kommt also in jeder Zeitspanne immer die gleiche Menge dazu (oder geht weg). Das lineare Wachstum wird durch eine Gerade beschrieben, der Ansatz lautet so: y = m . x + b oder auch B(t)= m . t + b
Lineares Wachstum:
In einem Tümpel der anfangs 200m^3 dreckiges, stinkendes Wasser enthält, fleißen täglich 4m^3 sauberes, kristallklares Wasser dazu
Frage: Wieviel Wasser enthält der See nach 50 Tagen?
Lineares Wachstum wird einfach durch unsere bekannte Geradengleichung beschrieben. Da Wachstumsprozesse meist von der Zeit t abhängen, seht ihr oft auch B(t)= m.t + b. Hier hängt der Bestand B von der Zeit t ab. b bezeichnet hierbei den Betsand zum Zeitpunkt 0, m die Zunhame pro Zeiteinheit t (Tage). Unser Beispiel können wir also wie folgt beschreiben B(t) = 4 . t + 200 (m3) Um herauszufinden, wieviel Wasser nach 50 Tagen enthalten ist, setzen wir t =50 in die obige Gleichung ein und erhalten: B(50)=4.50+200=400(m3) Antwort: Nach 50 Tagen sind 400m3 in dem Tümpel.
Lineares Wachstum:
In einem Tümpel der anfangs 200m^3 dreckiges, stinkendes Wasser enthält, fleißen täglich 4m^3 sauberes, kristallklares Wasser dazu.
Frage: Wann enthält der See 1000m^3 Wasser?
Lösungsweg 1- Überlegen: Zu Beginn waren schon 200m3 im Tümpel, also sind 1000-200=800m3 hinzugekommen. Da 4m3 täglich hinzufließen, brauche ich 800/4 = 200 Tage, damit 1000m3 im Tümpel sind. Lösungsweg 2-Gleichung verwenden: Der Bestand B soll 100m3 sein. Also setzen wir die 1000 in die Geradegleichung ein und stellen nach der Unbekannten t um. Es folgt: 1000 = 4 . t + 200 -> t = 200 (Tage)
Lineares Wachstum:
In einem Tümpel der anfangs 200m^3 dreckiges, stinkendes Wasser enthält, fleißen täglich 4m^3 sauberes, kristallklares Wasser dazu.
3) Wann ist nur noch 1% des Wassers dreckig?
An dieser Stelle denken wir einmal nach und schauen uns den Aufgabentext an. Es fließt nur sauberes Wasser hinzu. Das einzig dreckige Wasser in dem Tümpel ist der Anfangsbestand. Demnach sind die gesuchten 1% die anfänglichen 200m3.Mit Hilfe des Dreisatz können wir herausfinden, dass 100% also 20.000m3 sien müssen. Jetzt stellt sich die Frage, wann 20.000m3 im Tümpel sind. Wir verwenden hier den zweiten Lösungsweg und erhalten: 20.000 = 4 . t + 200 -> t = 4.950 (Tage)
Hinweise, wann man den Wendepunkt berechnen soll sind, wenn...
nach der stärksten Zunahme vom Graph nach der stärksten Abnahme vom Graph gefragt ist.
Wenn f(x) schon die Geschwindigkeit angibt und nach der stärksten Zunahmegeschwindigkeit gefragt wird, dann benötigt man den ?. Wenn f(x) die Höhe beschreibt und nach der stärksten Zunahme gefragt wird, benötigt man den ?
Wenn f(x) schon die Geschwindigkeit angibt und nach der stärksten Zunahmegeschwindigkeit gefragt wird, dann benötigt man den Hochpunkt Wenn f(x) die Höhe beschreibt und nach der stärksten Zunahme gefragt wird, benötigt man den Wendepunkt
Trassierungsaufgaben
Trassierungsaufgaben verlangen von uns, Funktionsgraphen knickfrei (glatter Übergang) zu verbinden. Aus der Information knickfrei ziehen wir, dass die Steigung der Funktionen an den Punkten P1 und P2 gleich sind. Weitere Begriffe, die im Zusammenhang mit Trassierung fallen, sind ohne krümmungsruck und krümmungsruckfrei. Das bedeutet lediglich, dass die Krümmung am Übergangspunkt identisch sein soll.
Trassierungsaufgaben, Vorgehen?
5
Aufgabenstellung sorgfältig lesen- Welchen Grad soll die zu erstellende Funktion haben? Treten nur die Begriffe ohne Sprung und ohne Knick/knickfrei auf hat die gesuchte Funktion meist den Grad 3. -> f(x)=ax3+bx2+cx+d Tritt zusätzlich der Begriff ohne krümmungsruck auf hat die gesuchte Funktion den Grad 5. -> f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f 2. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung f(x) sowie der 1. und, wenn krümungsruckfrei verlangt wird 2.Ableitung 3. Bedingungen aufstellen: ohne Sprung: g(x1)=f(x1) und h(x2) = f(x2) ohne Knick: g'(x1) = f'(x1) und h'(x2) = f'(x2) ohne Krümmungsruck: g''(x1) = f''(x1) und h''(x2) = f''(x2) 4. Alle Infomationen in mathematische Gleichung übersetzen, LGS aufstellen und lösen. 5. Funktionsgleichung aufschreiben
Trassierungsaufgaben, erkläre
- sprungfrei
- knickfrei
- krümmungsfrei
Sprungfrei: keine Lücken, gehen durchselbe Punkte -> Funktion muss durch die zwei Übergangspunkte P1 und P2 gehen Knickfrei: keine "Knicks", Steigung in Verbindungspunkten muss gleich sein! -> Steigungen müssen in diesen Punkten gleich sein! Krümmungsfrei (merke i-was mit 2Ableitung): denke an Kurve Auto -> auch die 2.Ableitungen müssen in diesen Punkten identisch sein!
Extrempunkte-Kurvendiskussion
Vorgehen
3
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 -> wir erhalten potentielle Extremstellen xE! Hinreichende Bedingung: f'(xE)= 0 und f''(xE) ungleich 0 Für f''(xE) kann folgendes rauskommen: f''(xE) < 0 Hochpunkt (HP) f''(xE) = Sattelpunkt (SP) muss zudem f'''(xE) ungleich 0 sein! f''(xE) > 0 Tiefpunkt (TP) 3. y-Wert der Extremstelle: xE-Wert in f(x) einsetzen -> E(xEIf(xE)) Achtung es muss zwischen lokalen und globalen (oder absoluten) Extremstellen unterschieden werden! Stickwort: Randwerte!
Rezept zum Bestimmen von globalen Hoch- oder Tiefpunkten unter Berücksichtigung der Randextrema
Bestimme die normalen Extrempunkte auf die übliche Weise Bestimme die Funktionswerte an den Funktionsrändern, indem Du die Intervallgrenzen in die Funktion einsetzt Entscheide, ob eine normale Extremstelle, oder doch ein Randwert der geforderte höchste oder tiefste Punkt ist
Randwerte bei Wendepunkt?
Anders als bei Randwerten HP/TP wird jetzt in f'(x) eingesetzt -> die Stelle vom WP in f'(x) einsetzen und in f'(x) vorher nachher (sprich linker/rechter Rand) Frage: Wo ändert sich der Graph am stärksten?
abc-Formel / Mitternachtsformel
-> quadratische Gleichung lässt sich direkt lösen ohne umformen
x1,2 = (-b +/- Wurzel aus (b2 -4ac)) / (2a)
