Exponentielles Wachstum
ist ein Wachstum in welchem die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu). Endwert = Startwert . Basisx f(x) = s.bx oder f(t) = a . qt mit q > 1 als Wachstumsfaktor und q < 1 als Zerfallsfaktor beschrieben.
Stelle eine Funktionsgleichung auf (Exponentielles Wachstum):
- 2oo Fliegen verdoppeln täglich ihre Anzahl
- 200 Fliegen halbieren täglich ihre Anzahl
- 2oo Fliegen vermehren sich täglich um 7%
- 200 Fliegen werden täglich 5% weniger
f(t) = 200 . 2t f(t) = 200 . 0,5t Allgemein: f(t) = a . (1 + p/100)t -> f(t) = 200.(1+7/100)t=200.1,07t Allgemein: f(t) = a . (1 - p/100)t -> f(t) = 200.(1+5/100)t=200.0,95t
e-Funktion, die besondere Exponentialfunktion
Wenn die Basis der Exponentialfunktion die eulersche Zahle e ist, dann sprechen wir von DER Exponentialfunktion. Häufig wird bei Aufgaben zu Wachstums- oder Zerfallsprozessen die Basis e gewählt. Die allgemine Form lautet:
f(t) = a . e+/- k.t mit k = In (1+p/100) als Wachstumskonstante und k = In(1-p/100) als Zerfallskonstante
Exponentialfunktion aufstellen mit 2 Punkten
Häufig sind die Aufgaben bei Wachstumsprozessen so gestellt, dass aus dem Aufgabentext zwei Punkte herausgefunden werden müssen und man aus diesen zwei Punkten eine Exponentialfunktion aufstellen muss. Dazu gucken wir uns direkt mal ein typisches Beispiel an.
Beispiel: Daniel hat einen normalen Hormonspiegel von 6 mg/l. Als er Chantal zum ersten Mal sieht, schnellt der Hormonspiegel innerhalb 3 Minuten auf 9 mg/l hoch. Wie hoch ist der Hormonspiegel nach einer Viertelstunde, wenn man von einer Entwicklung gemäß h(t)=a . e^kt ausgehen kann?
amit folgt für die gesuchte Wachstumsfunktion: h(t)=6 . e0,135 t. Wenn Ihr die Funktion habt, ist der Rest meist einfach. Daniel hat nach 15 Minuten einen Hormonspiegel von h (15) = 6 . e0,135 x15 gleich ungefähr 45,46 (mg/l) Beachtet bitte, dass die Rundungsfehler bei e-Funktionen sehr hoch sind.
Unbegrenzte Wachstumsprozesse bzw. unbegrenzter Zerfall
Wir haben N(t) als den y-Wert, der rauskommt, wenn ich einen Anfangswert N(0) mal den Faktor e^kt habe. k muss dabei größer als Null sein. Dabei ist es egal, ob Wachstum oder Zerfall vorliegt.
Nenne die Formeln für:
- Unbegrenztes Wachstum
- Unbegrenzter Zerfall
Unbegrenztes Wachstum - N(t) = N(0) . e kt - N'(t) = k.N(0) . ekt <=> = k.N(t) Verdopplungszeit: t = In(2)/k Unbegrenzter Zerfall - N(t) = N(0) . e -kt - N'(t) = - k.N(0) . e-kt <=> = - k.N(t) Halbwertzeit : t = In(0,5) / -k
Beispiel zur Halbwertszeit:
In lebenden Organismen beträgt der Anteil des Kohlenstoffisotops C14 etwa ein Billionstel aller Kohlenstoffatome. In abgestorbenen Organismen zerfällt das C14-Isotop exponentiell. Nach 1000 Jahren sind noch ca. 0,886 Billionstel vorhanden. Bestimme die Halbwertszeit von C14.
t = In(0,5) / -0,000121 gleich ungefähr 5.728 Jahre
Beschränkte Wachstumsprozesse und beschränkte Abnahme
Grundsätzlich unterscheidet man zwischen beschränktem Wachstum und beschränkter Abnahme. Ganz allgemein gilt:
f (t) = S +/- c . e -kt , mit k > 0, s Element R und t
Beschränktes Wachstum/Abnahme
Beispiel für beschränktes Wachstum: Ihr holt ein Glas Milch aus dem Kühlschrank und stellt es in euer Zimmer. Wir haben eine Zunahme der Temperatur, die beschränkt ist auf die Raumtemperatur. Beispiel für beschränkte Abahme: Ihr erhitzt ein Glas Milch und stellt es in euer Zimmer. Wir haben eine Abnahme der Temperatur, die beschränkt ist auf die Raumtemperatur. Charakteristisch für beschränktes Wachstum oder beschränkte Abnahme ist, dass die Steigung mit steigender Zeit abnimmt. Unterschied zu logistischem Wachstum!
Logistische Wachstumsprozesse unterschied beschränktes Wachstum
Ähnlich wie beim beschränkten Wachstum erkennt ihr, wenn man nach rechts schaut, die Steigung des Graphen immer weiter abnimmt bis sie 0 ist und sich einem Grenzwert asymptotisch annähert. Anders als beim beschränkten Wachstum ist es aber so, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn zunimmt, bevor sie abnimmt. In der Abbildung seht ihr eine Beispiel, wie ein logistisches Wachstum graphisch aussehen könnte.
Allgmein gilt für logistisches Wachstum folgende Gleichung:
f(t) = (a . S) / (a + (S-a) . e-Sk') wobei a = f(0), 0 < a < S , k > 0 und S > 0 a = y-Achsenabschnitt S = die Stelle an der der Wert der Schranke sich langsam einpendelt
Größerer Wachstums-/Zerfallszeitraum
Wenn ein größerer Zeitraum als täglich, stündlich, minütlich vorgegeben ist, z.B. alle 4 Tage werden 200g um 20% mehr, habt ihr zwei Möglichkeiten, die Exponentialfunktion aufzustellen:
Möglichkeit 1: Richtigen Wachstumsfaktor ausrechnen! f(x) = 200.qx 240 (-> 200+20%) = 200 . q4 I :200 1,2 = q4 I 4.Wurzel ziehen q = die vierte Wurzel aus 1,2 -> f(x) = 200. (die vierte Wurzel aus 1,2)x 2. Möglichkeit 2: Exponenten anpassen! f(x) = 200 . (1,2)1/4 x Anmer.: 1,2 -> 1 + 0,2/100 = 200 . (1,21/4)x = 200 . (vierte Wurzel aus 1,2)x
Grenzverhalten (limes) – Kurvendiskussion
"Ich schaue nach links/rechts" - hohe negative/positive Zahl.....
lim x-> - Unendlich „ich schaue links“ – hohe negative Zahl für x einsetzen = „Wo kommt der Graph her?“ lim x -> + Unendlich „ich schaue rechts“ – hohe positive Zahl für x einsetzen = „Wo geht der Graph hin?“
Grenzwertverhalten
Verhalten für x -> +/- Unendlich
- Wenn n gerade und a >/< 0 ist
- Wenn n ungerade und a >/< 0 ist
Schauen wir uns einmal folgende Funktion an: f(x)= a . xn. Zur Beurteilung des Verhaltens betrachtet man immer die höchste Potenz n von x und ihren Koeffizienten a: Wenn n gerade und a>0 ist, so strebt f(x) -> +∞ für x -> +/- ∞ Wenn n gerade und a<0 ist, so strebt f(x) -> -∞ für x -> +/- ∞ Wenn n ungerade und a>0 ist, so strebt f(x) -> +∞ für x -> + ∞ und f(x) -> -∞ für x -> - ∞ Wenn n ungerade und a<0 ist, so strebt f(x) -> - ∞ für x -> +∞ und f(x) -> + ∞ für x -> - ∞
e-Funktion, Grenzwertverhalten
Für x -> + ∞ strebt e^x ->
Für x -> - ∞ strebt e^x ->
Darüber hinaus gilt für n "ist gleich größer gleich" 1 :
Für x-> + ∞ strebt x^n . e^x ->
Für x -> -∞ strebt x^n . e^x ->
Exponentialfunktionen und ihre Graphen werden auf dieselbe weise untersucht wie ganzrationale Funktionen. Nur das Verhalten einer Exponentialfunktion für x -> +∞ und für x -> - ∞ wird durch andere Regeln beherrscht. Für x -> + ∞ strebt ex -> +∞ Für x -> - ∞ strebt ex -> 0, d.h. die x-Achse ist die Asymptote des Graphen von f mit f(x) = ex. Darüber hinaus gilt für n "ist gleich größer gleich" 1 : Für x-> + ∞ strebt xn . ex -> +∞ Für x -> -∞ strebt xn . ex -> 0, d.h. die x-Achse ist die Asymptote des Graphen von f mit f(x) = xn.ex.
Sekante, was ist das?
Die Sekante schneidet eine Funktion f(x) in zwei Punkten. Im Sachzusammenhang gesehen beschreibt die Steigung der Sekante die durchschnittliche Änderung in einem Bereich, der durch die Schnittpunkte P1 und P2 der Geraden mit der Funktion gegeben ist.
Sekantengleichung aufstellen, Vorgehen?
Vorgehen Allgemeine Geradengleichung: y=mx+b – Wir suchen also m und b! Für m: Steigung durch zwei Punkte m= {f(x2)-f(x1)} / {x2-x1} Für b: m und einen der beiden Punkte in allgemeine Geradengleichung einsetzen. In der Regel ist eine Funktion und zwei Punkte gegeben
Definitionsbereich, welche x-Werte darf ich überhaupt in die Funktion einsetzen?!
Nenne die 3 Warnschilder bei der Bestimmung von dem max. D
1 / etwas verlang etwas 'ungleich' 0 Wurzel aus etwas verlangt etwas 'größer gleich' 0 In(etwas) verlangt etwas > 0 Beachte: Der D kann sich beim Ableiten ändern!
Nenne die Regel zur Ableitung der In-Funktion und löse
f(x) = In(5x^2-3x) f'(x)=?
Wird die Ableitung der In Funkeion verlnagt, müssen wir zunächst wissen, dass die Ableitung von f(x) = In(x) -> f'(x) = 1/x ist. Steht statt dem x etwas anderes da, muss die Kettenregel verwendet werden. "Regel" für die Ableitung von In-Funktionen: (In(etwas))' = (1/etwas) . (etwas)' f(x) = In(5x2-3x) -> f'(x) = (1 / 5x2-3x) . (5x2-3x)' = (1 / 5x2-3x) . (10x-3) Bruch norm. nicht in Klammern nur zur Aueinanderhaltung hier
Wie leite ich eine e-Funktion ab?
und leite f(x) = e^5x mal ab :)
Eine e-Funktion wird folgendermaßen abgeleitet: Ihr verwendet „offiziell“ die Kettenregel, aber es geht eigentlich um einiges einfacher. Wir betrachten dafür die Funktion f(x) = e5x welche wir nach x ableiten wollen. Dafür schreiben wir einfach den Term mit der e-Funktion nochmal hin und multiplizieren das Ding mit dem abgeleiteten Exponenten. Der Exponent ist hier 5x und abgeleitet wäre das einfach 5. Dann folgt für die Ableitung-> f'(x) = e5x . 5 "Regel" für die Ableitung von e-Funktion: (eetwas)' = eetwas . (etwas)'
Bilde die erste Ableitung von f(x)= ( x^2 - 2 ) . e^-2x
Falls eine e-Funktion mit anderen Funktionen multipliziert wird, müssen wir die bereits bekannte Produktregel anwenden. f(x)= ( x2 - 2 ) . e-2x mit u(x) = x2 -2 ; u'(x)= 2x und v(x) = e-2x ; v'(x) = -2e-2x Somit ergibt sich für die erste Ableitung: f'(x) = 2xe-2x + (x2-2) . (-2e-2x)
Berechne den Schnittpunkt der Funktion mit der y und x-Achse
f(x) = 2x^2 - 4x -16
Schnittpunkt mit y-Achse : Sy(0I-16) Schnittpunkt mit x-Achse: x1 = -2 und x2 = 4
Wenn ihr ein vorgegebenes Intervall habt sollten die Arlamglocken immer leuten "Achtung Randwerte"
Wann ist etwas am tiefsten/höchsten?
Wann ändert sich etwas am stärksten?
Wann am tiefest/höchsten? Bei Hoch und Tiefpunkt die Ränder (a;b) in die Ausgangsfunktion einsetzten und mit dem y-Wert des HP/TP vergleichen und anschließßend schauen was höher/tiefer ist Wann ändert sich etwas am stärksten?(nicht wann nimmt etwas am meisten ab oder zu sondern wann haben wir die stärkste Änderung?)------> Keyword: Wendepunkt. Brauchen wir nur den x-Wert; Wir setzten nun die Ränder (a,b) und den x-Wert in f'(x) ein! Mit Betragsstrich!!!! Letztlich werdne die Beträge, positiven Werte verglichen
LGS Additionsverfahren
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Additionsverfahren Vorzeichen vor y unterschiedlich? Ja:) Nein :( -> Erste Gleichung mal -1 nehmen Ziel : Vor beiden y soll die gleiche Zahl stehen, "mit welcher Zahl mal nehmen ?" (Trick: Größere Zahl durch kleinere Zahl teilen, Ergebnis ist die Zahl mit der du multiplizieren musst) Mit der Zahl malnehmen Gleichungen addieren, Ziel: y soll sich rauskürzen. Nur noch eine Variable! Gleichung mit einer Variable lösen! Ziel: x herausfinden y herausfinden, daür x in eine der Ausgangsgleichungen einsetzenund nach y auflösen Lösungsüberprüfung
LGS lösen, Einsetzungsverfahren
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Eine Gleichung nach einer Variablen umformen; Ziel: "x= iwas bzw. y=iwas" Einsetzen: Ergebnis von 1 in die andere Gleichung einsetzen und nach Variable lösen; Ziel: Erste Variable lösen Übrige Variable lösen: Ergebnis von Schritt 2 in Ergebnis von Schritt 1 einsetzen
LGS lösen Gleichsetzungsverfahren
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Erste Gleichung nach einer Variablen auflösen, Ziel "x=iwas bzw. y=iwas" Zweite Gleichung nach derselben Variablen auflösen, Wichtig: Dieselbe Variable wie in Schritt 1 !!! Gleichsetzen;Ziel:zweite Variable herausfinden-> Ergebnis von Schritt 1 und 2 gleichsetzen Lösung einsetzen; Ziel übrige Variable lösen-> Erste Lösung in Schritt 1oder 2 einsetzen
Abstand von zwei Punkten
Eine allgemeine Formel, die den Abstand von zwei Punkten berechnet, lautet: d = √(x1-x2)2 + (y1-y2)2 (Wurzel durchgehend) Beispiel: Berechne den Abstand der Punkte P1(1I2); Q(3I10) d = √(1-3)2 + (2-10)2 (Wurzel durchgehend) d = 8,25 (LE)
Senkrechter Abstand
Für den senkrechten Abstand zweier Funktionen bildet man die Differenzenfunktion d(x)=g(x)-f(x). Den Abstand muss man häufig bei Extremwertaufgaben oder bei der Fläche zwischen 2 Graphen bestimmen. Dabei beschreibt d(x) die Zielfunktion, die die Differenz der beiden Funktionen f und g, also den senkrechten Abstand angibt. Diese Funktion muss auf Extremstellen untersucht werden. Wenn ein Hochpunkt rauskommt ist der senkrechte Abstand maximal und wenn ein Tiefpunkt rauskommt ist der senkrechte Abstand minimal.
Winkel zwischen einer Geraden und x-Achse
Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) gemessene Winkel α, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Der Tangens des Steigungswinkels einer Geraden ist für α ungleich 90 gleich ihrer Steigung m: tan(α) = m
Winkel zwischen zwei Geraden
Der Schnittwinkel α zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen mit den Steigungen m1 bzw. m2 berechnet sich mittels tan(α) = I m1 - m2 / 1 + m1m2 I Stehen die Geraden senkrecht zueinander, gilt: m1 . m2 = - 1 Achtung bei kurvigem Verlauf zweier Funktionen: dann erst Steigungen an gefragter Stelle bestimmen und diese dann multiplizieren!
