univariate Deskriptivstatistik

Für die Darstellung sind Balken gut geeignet Histogramm, bei kontinuierlicher Variable(Balken berühren sich) Balkendiagramm, bei nominalen Variablen(Balken berühren sich nicht) Modus(Modalwert)->häufigste Ausprägung(Kategorie) einer Variable (metrische und nominale Skalen)

Ist der Anteil von Ereignis A (z.B. Affäre liegt vor) in allen Stufen der Variable B (z.B. Kinder) gleich->kein Zusammenhang Je unterschiedlicher die Anteile in den Stufen, desto größer der Zusammenhang

sucht typischen Vertreter gibt Lage der "mitte" in Reihe von Werten(Verteilung) an->zentrale Tendenz arithmetisches Mittel: Mittelwert oder Durchschnitt-> Punkt- statt Balkendiagramme Summe der Abweichungen vom Mittelwert=0 Median: mittlerer Wert einer Verteilung Quantile verallgemeinern den Median häufiges Quantil 25%-Quartil(Q1)-Q2(50%) und Q3(75%) Differenz von Q1 zu Q3 Interquartilsabstand

  „Abweichungsketten“ als Maß für Streuung – Abweichungen vom Mittelwert Ø  tatsächlich beobachteter Wert – Mittelwert; 1 – 2,6 = -1,6 MAA: mittlere Absolutabweichung; MAA = 1/n Ø  1,6+0,6+0,4+0,4+1,4=4,4 ; 4,4/5 = 0,88 Summe der quadrierten Abweichungen Varianz: (s² oder Var) eines Vektors: Mittelwert der quadrierten Abweichungen zwischen dem Mittelwert und den gemessenen Werten  Var(x) = Ø (x – µ) ² Standardabweichung (sd oder s): Quadratwurzel der Varianz = s = √s² (Quadratwurzel der Varianz) zeigt auf, wie repräsentativ/aussagekräftig der Mittelwert einer Stichprobe ist

  „Abweichungsstecken“ als Maß für Streuung – Abweichungen vom Mittelwert Ø  tatsächlich beobachteter Wert – Mittelwert; 1 – 2,6 = -1,6 MAA: mittlere Absolutabweichung; MAA = 1/n Ø  1,6+0,6+0,4+0,4+1,4=4,4 ; 4,4/5 = 0,88 Summe der quadrierten Abweichungen Varianz: (s² oder Var) eines Vektors: Mittelwert der quadrierten Abweichungen zwischen dem Mittelwert und den gemessenen Werten  Var(x) = Ø (x – µ) ² Standardabweichung (sd oder s): Quadratwurzel der Varianz = s = √s² (Quadratwurzel der Varianz) zeigt auf, wie repräsentativ/aussagekräftig der Mittelwert einer Stichprobe ist

Interquartilabstand: Maß für die Streuung (Q3-Q1) Mittelwert zweier Variablen kann gleich sein, auch wenn eine sehr unterschiedliche Streuung vorhanden ist Extremwerte haben keinen Einfluss auf IQR (da außerhalb der Quartile) Boxplot zur Darstellung von Lage- und Streuungsmaßen verwendet robuste Statistiken (Median, IQR) stellt eine Verteilung prägnant dar Ø  zentrale Tendenz (Median) Ø  Streuung (IQR) Ø  Extrembereiche (Antennen) im Verhältnis zur Streuung Ø  Ausreißer eignet sich besonders, wenn mehrere Verteilungen verglichen werden sollen Überlappung: Unterschiede zwischen den Gruppen veranschaulichen Ø  Größe des Unterschieds hängt nicht nur vom Mittelwertsunterschied (x1-x2) ab, sondern auch von der Streuung Ø  Verhältnis der Mittelwertsunterschiede zur Streuung: „Cohen´s d“  

Histogramm: geeignet für Häufigkeitsverteilung einer kontinuierlichen Variablen Dichtediagramm: relative Häufigkeit pro Wertebereich (Dichte)

linkssteil bzw. rechtsschief: Daten sind mehr im linken Teil der Verteilung - Median < Mittelwert rechtssteil bzw. linksschief: Daten sind mehr im rechten Teil der Verteilung – Median > Mittelwert

·         steilgipflige Verteilung (Werte verteilen sich um den Mittelwert) ·         flachgipflige Verteilung (Werten verteilen sich weit um den Mittelwert in die Ränder hinaus)

·         Daten verteilen sich symmetrisch um das Zentrum aller Werte ·         Mittelwert = Median = Modus ·         durch zwei Größen komplett determiniert (Mittelwert und Standardabweichung) ·         viele verschiedene Normalverteilungen, die sich nur im Mittelwert und/oder Standardabweichung unterscheiden à viele normalverteilte Größen (IQ, Körpergröße und -gewicht)

·         kennt man Mittelwert und Standardabweichung einer normalverteilten Variablen, kann man jeden Punkt auf dieser Verteilung bestimmen ·         Standardnormalverteilung: Mittelwert = 0 ; sd = 1 Ø  z(xi) = xi – µ / sd (x)

·         kennt man Mittelwert und Standardabweichung einer normalverteilten Variablen, kann man jeden Punkt auf dieser Verteilung bestimmen ·         Standardnormalverteilung: Mittelwert = 0 ; sd = 1 Ø  z(xi) = xi – µ / sd (x) ·         Wahrscheinlichkeiten und Quantile bestimmen mit R (pnorm) ·         Histogramm à Boxplot (qplot/ggplot2)

,,Standard-Statistiken“ Voraussetzungen: ab Intervallskala, Normalverteilung sollte hinreichend vorliegen typisches Lagemaß/Streuung: arithmetisches Mittel, Standardabweichung typisches Diagramm: Punktdiagramm für Mittelwerte ,,robuste Statistiken" Voraussetzungen: ab Ordinalskala, unimodale Verteilungen, starke Abweichungen von der Normalverteilung sind erlaubt  typisches Lagemaß/Streuung:Median, IQR typisches Diagramm: Boxplot

starker vs. schwacher Zusammenhang (Korrelation) Ø  stark: schmale Ellipse Ø  schwach: Torte (Kreis oder Quadrat) positiver vs. negativer Zusammenhang Ø  positiv: Ellipse steigt (hoch-hoch und niedrig—niedrig) Ø  negativ: Ellipse sinkt (hoch-niedrig und niedrig-hoch)   Streudiagramm: Zusammenhang zweier metrischer Variablen Glättungslinie: „rollender Mittelwert“ für jeden x-Wert Regressionsgerade: linearer Trend des Zusammenhangs von x und y Facettierung: Diagramm wird nach Gruppen in mehrere Teil-Diagramme unterteilt

Mittelwerts-Rechtecke als Maß für den Zusammenhang Ø  Stärke des (linearen) Zusammenhangs zweier metrischer Variablen eine Zahl zuweisen Summe der Fläche ist ein Maß für den Zusammenhang Teilen durch n liefert das durchschnittliche Rechteck durchschnittliches Rechteck: Kovarianz ist im Gegensatz zur Summe unabhängig von der Anzahl der Werte Kovarianz ist ein Maß, das unabhängig von der Anzahl der Elemente ist (Durchschnitt)

o   Fläche des durchschnittlichen Rechtecks o   das durchschnittliche Produkt der Abweichungen von x-quer und y-quer (Durchschnitt) o   hat keinen minimalen oder maximalen Wert

für jeden Punkt im Streudiagramm berechnet man die Abstände zu den Mittelwerten der Variable x und y für jeden Punkt kann man die Fläche eines Rechtecks berechnen als Produkt der Abweichung des x-Wertes bzw. y-Wertes vom Mittelwert von x bzw. y Summe der Rechtecke / Anzahl der Rechtecke = durchschnittliches Rechteck (Kovarianz)  

Problem, dass die Kovarianz schwer interpretierbar ist Wertebereich reicht von -1 (perfekte negative lineare Korrelation) bis +1; 0 = kein Zusammenhang Korrelation: beide Variablen werden z-transformiert r = +/- 0.1 = schwach, +/- 0.3 = mittel, +/- 0.5 = stark

Problem, dass die Kovarianz schwer interpretierbar ist Wertebereich reicht von -1 (perfekte negative lineare Korrelation) bis +1; 0 = kein Zusammenhang Korrelation: beide Variablen werden z-transformiert r = +/- 0.1 = schwach, +/- 0.3 = mittel, +/- 0.5 = stark gegenüber Maßunterschieden in den untersuchten Merkmalen unempfindlich - ø (zx * zy)

bei r= O gleichen sich die Rechtecke aus (Korrelation ist gleich 0) Ø  Korrelation misst NUR die Stärke des linearen Zusammenhangs Ø  Streudiagramme verdeutlichen Korrelationen (in R mit qplot) Ø  wird der Wertebereich verringert, so verringert sich zumeist auch die Höhe der Kovarianz und damit auch die Korrelation   perfekte Korrelation bei r = +/- 1; Steigung kann beliebig sein auch bei z-transformierten Werten Werte einer Stichprobe werden standardisiert zi = xi – x-quer / sd   zi ... z-transformierte Stichprobenwerte xi ... Originalwerte der Stichprobe  x-quer ... Mittelwert der Stichprobe sd ... Standardabweichung der Stichprobe   Lieblingsfehler: wenn zwei Variablen korrelieren, heißt das nicht unbedingt, dass es einen ursächlichen kausalen Zusammenhang gibt! Korrelation ist eine notwendige, aber keine ausreichende Bedingung für Kausalzusammenhang