Entscheidungstheorie (Fach) / 10. Entscheidungen bei Risiko und einem Ziel (Lektion)

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  • Entscheidung bei Risiko Ansatz ET versucht, die Präferenz des Entscheiders bezüglich riskanter Alternativen abzubilden möglicher Ansatz: Erwartungwert als Entscheidungskriterium  EW(a)=∑p⋅a → a>b = EW(a)>EW(b) Bernoulli: Menschen weichen systematisch vom EW ab -> Petersburger Spiel Unser intuitives Entscheidungsverhalten stimmt nicht mit dem EW-Kalkül überein Das EW-Kalkül hat offensichtlich Implikationen, die von den meisten Entscheidern nicht als rational angesehen werden  Man benötigt alternative Entscheidungsprinzipien Transformation der Zahlungen durch eine logarithmische Wertfunktion l Bernoulli Subtraktion einer Größe vom EW, die das Risiko der Lotterie wiederspiegelt  Erwartungsnutzentheorie 
  • Erwartungsnutzentheorie wurde von Neumann und Morgenstern 1947 begründet setzt voraus, dass bestimmte Axiome vom Entscheider aktzeptiert werden Nutzenfunktion u ordnet jeder Konsequenz eine reelle Zahl zu, die sowohl die Einstellung zum Wert der Konsequenz als auch das Risikoverhalten abbildet EW von u ist der Erwartungsnutzen EU bildet die Präferenz des Entscheiders ab EU(a)=∑p ⋅ u(a), a>b ⇔ EU(a)>EU(b)
  • Axiomatische Grundlagen der Erwartungsnutzentheorie 3 Axiome bilden die zentralen Bausteine der EU-Theorie (Herstein und Milnor, 1953) 1. vollständige Ordnung für jedes Paar von Lotterien a, b ∈ A gilt: Vollständigkeit:            a>b oder a∼b  Transitivität:                 a>b und b>c folgt a>c 2. Stetigkeit  besagt dass, für jede Lotterie b, die zwischen a und c liegt, immer eine Kombination von a und c gefunden werden kann, die genauso gut wie b ist.  wird zur Ableitung der EU-Theorie benötigt unproblematisch 3. Unabhängigkeit besagt dass sich eine Präferenz zwischen 2 Lotterien a und b nicht ändern darf, wenn a und b mit derselben Lotterie c verknüpft werden strenge Anforderung, die häufig verletzt wird es folgt, dass eine Lotterie oder eine Konsequenz durch eine andere Lotterie substituiert werden kann, wenn der Entscheider zwischen den Lotterien und der Konsequenz indifferent ist  Rationalitätspostultat der Invarianz der Darstellung  hat sich in der präskriptiven ET durchgesetzt wenn es nicht erfüllt wird können alternative Theorien herangezogen werden  ERGEBNIS: es exidtiert eine Nutzenfunktion u, so dass für alle Lotterien a, b gilt : a>b ⇔EU(a)> EU(b) Veranschaulichung im Drei-Ergebnis-Diagramm mit affin und parallelen Indifferenzlinien  Allais-Paradoxon: Menschen entscheiden nicht immer addin und parallel  
  • Sicherheitsäquivalent Das SÄ stellt die sichere Konsequenz dar, bei der der Entscheider indifferent zwischen Lotterie a und SÄ(a) ist -> was muss man ihm geben, damit es ihm egal ist? Vollständigkeitsaxiom folgt, dass der Entscheider zu jeder Lotterie ein SÄ angeben kann Voraussetzung: Stetige Konsequenzmenge Das SÄ lässt sich aus u(x) ableiten: SÄ(a)=u¯"1 (EU(a))
  • Risikoeinstellung beschreibt auf allgemeiner Ebene das Entscheidungsverhalten bei Risiko von Entscheidern Die Risikoeinstellung kann für denselben Entscheider je nach Entscheidungssituation unterschiedlich sein Die Risikoeinstellung muss daher für jede Entscheidungssituation und für jeden Entscheider neu bestimmt werden RP=EW-SÄ Risikoprämie stellt für risikoscheue Entscheider denenigen Betrag dar, auf der er ausgehen vom Erwartungswert zu verzichten bereit ist, um das SÄ mit Sicherheit zu erhalten für monoton steigende u(x) gilt: Gewinn RP>0 risikoscheu SÄ<EW kokav RP<0 risikofreudig SÄ>EW konvex RP=0 risikoneutral SÄ=EW linear für monoton fallende u(x) gilt: Kosten RP>0 risikofreudig SÄ<EW konkav RP<0 risikoscheu SÄ>EW konvex RP=0 risikoneutral SÄ=EW linear
  • Risikoeinstellungsmaß von Arrow und Pratt exaktes Maß zur Quantifizierung der Risikoeinstellung absolutes Arrow-Pratsches RE-Maß: absolut, weil es nicht zu den Konsequenzen der Lotterie in Relation gesetzt wird Relatives Arrow-Prattsches RE-Maß: r*(x)⋅x = — (u''(x)) / u'(x)) ⋅ x = proportionale Risikoeinstellung es gilt: für monoton steigende u(x) gilt: Gewinn r(x)>0 risikoscheu r(x)<0 risikofreudig r(x)=0 risikoneutral für monoton fallende u(x) gilt: Kosten r(x)>0 risikofreudig r(x)<0 risikoscheu r(x)=0 risikoneutral
  • Arrow-Prattsches Risikomaß in der Finanztheorie r(x) und r'(x) um das Risikoverhalten von Anlegern zu charakterisieren Man geht davon aus, dass der Grenznutzen des Geldes positiv ist der Grenznutzen mit steigenden Geldbeträgen abnimmt fallende absolute Risikoaversion vorliegt konstante relative Risikoaversion vorliegt Je größer die Varianz, desto größer die Risikoprämie
  • Absolute Risikoaversion nach Arrow-Pratt Absolute Risikoaversion: Lotterie a = (100,0,5;0,0,5) und b = (1100,0,5,1000,0,5) Entscheider gibt zu Lotterie a ein SÄ von 40 an Dann soll er zu Lotterie b sein SÄ angeben bei  SÄ(b)>1040 fallende absolute Risikoaversion SÄ(b)<1040 steigende absolute Risikoaversion SÄ(b)=1040 konstante absolute Risikoaversion
  • Relative Diskoaversion nach Arrow-Pratt Relative Risikoaversion = Anleger kann Vermögen in eine sichere und eine riskante Anlage investieren fallende relative Risikoaversion: Anleger investiert bei steigendem Vermögen mehr in riskante Anlage steigende relative Risikoaversion: Anleger investiert bei steigendem Vermögen weniger in riskante Anlage konstante absolute Risikoaversion:Aufteilung unabhängig von Höhe des investierten Vermögens
  • Risikoeinstellung einiger wichtiger Nutzenfunktionen exponentielle Nutzenfunktion u(x)=a+ße¯ª°. konstante absolute und steigende relative RA quadratische Nutzenfunktion u(x)=yx²+ßx+a steigende absolute und steigende relative RA ungeeignet  logarithmische Nutzenfunktion u(x)=a+ßlog(x) abnehmende absolute und konstante relative RA 1.exp= ka und sr 2. quadr. = sa und sr 3. log= aa und kr
  • BRL - Basis-Referenz-Lotterie Nutzenfunktion wird durch die Beurteilung einfacher, riskanter Alternativen ermittelt Grundlage der meisten Verfahren ist die BRL und deren SÄ BRL ∑ p, 1-p   ∼ SÄ* es gilt : EU(BRL)=p*u(x+) + (1-p)*u(x-) = u(SÄ*) und da u(x+)=1 und u(x-)=0 kann man dies vereinfachen zu:  EU(BRL) = p = u(SÄ*) 
  • Bestimmung der Nutzenfunktion l Basis-Referenz-Lotterie (BRL)  Methoden zur Ermittlung von u(x) unterscheiden sich dadurch, ob gefragt wird nach  p,  x+ bzw. x-   SÄ*   über EU(BRL) = p = u(SÄ*) erhält man Stützpunkte von u(x)  im Folgenden werden 3 Methoden erläutert: 1. Mittelwert-Kettungs-Methode 2. Fraktilmethode 3. MethodevariablerWahrscheinlichkeit 
  • Mittelwert-Kettungs-Methode erinnert stark an die Halbierungsmethode der Wertfunktion Vorgehensweise: Entscheider wird nach SÄ(x-,0,5,x+,0,5) gefragt angegebener Wert entspricht  x0,5 mit u(x0,5)=0,5 dann wird nach SÄ(x-, 0,5; x0,5 , 0,5) und SÄ(x0,5 , 0,5; x+, 0,5) gefragt  Antworten entsprechen x0,25 und x0,75 mit u(x0,25)=0,25 und u(x0,75)=0,75 Konsistenzprüfung, z.B. ist SÄ(x0,25,0,5,x0,75,0,5)=x0,5? Skizze
  • Fraktilmethode Konsequenzen der BRL bleiben konstant, Wahrscheinlichkeiten werden geändert Es wird nach SÄ für p=0,8 0,6 0,4 und 0,2 gefragt Antwort für p = 0,8 entspricht x0,8 mit u(x0,8) = 0,8 , analog 0,6 und 0,4 Konsistenzprüfung: ist SÄ(x0,4, 0,5; x0,8, 0,5)=x0,6?  Skizze
  • Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Konsequenzen der BRL und SÄ werden vorgegeben Entscheider muss p so festlegen, dass gilt BRL∼SÄ darauf folgt: p=u(SÄ) als SÄ werden möglichst äquidistante Werte zwischen x+ und x- gewählt, d.h. Stützstellen  Konsistenzpr+fung  Skizze Beispiel: Nutzenfunktion für Gewinn
  • Vor- und Nachteile der Mittelwert-Kettungsmethode benutzt nur 50-50-Lotterien, die für Entscheider sehr eingängig sind  beliebiger Grad an Präzision durch weitere Halbierungen  einfache Möglichkeit der Konsistenzprüfung  - systematische Verzerrungen, da fehlerhaft Antworten fortgeführt werden
  • Vor- und Nachteile der Fraktilmethode Konsequenzen der Lotterie bleiben während der Befragung konstant  eine systematische Verzerrungen, da fehlerhafte Antworten nicht fortgeführt werden  - benutzt nur nicht 50-50- Lotterien, so dass relativ hohe Anforderungen an die Informationsverarbeitungs- kapazität des Entscheiders gestellt werden 
  • Vor- und Nachteile der Methode variabler Wahrscheinlichkeiten gut anwendbar, wenn die Konsequenzen auf nichtkontinuierlichen Skalen definiert sind keine systematische Verzerrungen, da fehlerhafte Antworten nicht fortgeführt werden - benutzt nur nicht 50-50- Lotterien, so dass relativ hohe Anforderungen an die Informationsverarbeitungs- kapazität des Entscheiders gestellt werden 
  • Bestimmung der Nutzerfunktion anhand der Risikoeinstellung konstante absolute Risikoaversion es gilt u(xmax)=a und u(xmin)=0 Aus (xmin, p; xmax, 1-p) ~ 0,5·(xmin + xmax)  wenn u(x) bestimmt worden ist, lassen sich Alternativen auf dieser Grundlage ordnen  lässt sich die optimale Alternative ermitteln Berechnung der optimalen Alternative hängt von der gewählten Darstellungsform ab, einstufig oder mehrstufig bei einstufigen Entscheidungen und endlicher Anzahl von Konsequenzen gilt: EU(a)=∑p*u(a) Entscheidungsmatrix mit in Nutzen bewerteten Konsequenzen, Nach Erwartungsnutzen entscheiden bei mehrstufigen Entscheidungen wird häufig die Darstellung in einem Entscheidungsbaum gewählt zunächst:BewertungderKonsequenzenmitu(x) und Roll-back  häufig hat man es mit unendlicher Konsequenzenmenge bzw. mit stetigen Verteilungen zu tun  Bsp.: Kapitalmarkttheorie setzt normalverteilte und damit stetige Rendite einer Aktie voraus  bei stetiger Verteilung gilt: Eu(a) = ∫u(x)P′(x)dx ---> P ́(x) = Dichtefunktion der  Verteilung der Konsequenzen von Alternative a Berechnung von Eu(a) ist insb. bei stückweiser linearer und bei exponentieller Nutzenfunktion relativ einfach Erwartungswert-Varianz-Regel Eu(a)=u(EW(a)-1/2·c·Var(a)) 
  • Zusammenhang zwischen Wert- und Nutzenfunktion Risiko- und Wertvorstellungen sind im Nutzenkalkül untrennbar miteinander verwoben   Folge: „risikoscheu“ bedeutet nicht notwendigerweise, dass der Entscheider das „Risiko scheut“   Grund für konkaven Verlauf von u(x) kann sein  konkaver Verlauf der Wertfunktion, d.h. abnehmender Grenzwert von steigenden sicheren Werten  „echte“scheu vor Risikosituationen,d.h.intrinsische Risikoscheu  wenn Wertfunktion(v) über Nutzenfunktion(u) : intrinsisch risikofreudig wenn Nutzenfunktion (u) über Wertfunktion (v) : intrinsisch risikoscheu

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