Entscheidungstheorie (Fach) / 6. Entscheidungen bei Sicherheit und einem Ziel (Lektion)

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• Ordniale, Nicht-messbare Wertfunktion Stellt mathematische Abbildungen der Präferenz dar Definition: Eine Wertfunktion v ist eine Funktion, die den Alternativen a und b eine reelle Zahl derart zuördnet, dass der Wert von a genau dann größer als der Wert von b ist, falls der Entscheider a gegenüber b präferiert Repräsentiert aber die Ordnung der Alternativen Sagt nichts über die Stärke der Präferenz zwischen Alternativen aus 
• Messbare Wertfunktion Präferenz bezüglich der Übergänge zwischen Alternativen muss angegeben werden können Transitivität und Vollständigkeit müssen vorliegen Definition: Eine Messbare Wertfunktion v muss zusätzlich zu den Erfordernissen einer nicht-messbare Wertfunktion die Eigenschaft haben, dass der Übergang von a nach b genau dann besser als der Übergan von c nach d ist, wenn die Differenz der Werte von b und a größer als die Differenz der Werte von d und c ist. 
• Transformation von Wertfunktionen Die Wertfunktion ist nicht eindeutig Sei v eine Wertfuntion und m eine streng monoton wachsende Funktion, dass ist     v*(x) = m (v(x)) wieder eine Wertfunktion v*=m(v)=2v bzw. v** und m*(v* m(v)=a*v+b mit a>0
• Ermittlung von Wertfunktionen Aus der Wertfunktion kann die Präferenz des Entscheiders bezüglich Alternativen direkt abgeleitet werden Ermittlung erfolgt durch Befragung des Entscheiders Konsistenzprüfung erforderlich  Wertfunktion wird in der Regel in einem Diagramm dargestellt
• Vorgehensweise bei der Ermittlung der Wertfunktion bei stetigen Attributen Nur einige Punkte der Wertfunktion direkt bestimmen Restliche Attributsausprägungen können ermittelt werden durch  lineare Interpolation zwischen den ermittelten Punkten statistische Verfahren, die eine Kurve ungefähr an die direkt ermittelten Punkte anpassen (häufig: logarithmische, quadratische oder Exponentialfunktion) Monoton wachsende Exponentialfunktionen: v(x)= (1-exp(-(x-Untergrenze)/p) // 1-exp(-(Obergrenze-Untergrenze)/p))  Rho positiv = steigend  Monoton fallene Exponentialfunktionen: v(x)= (1-exp(-(Obergrenze-x)/p) // 1-exp(-(Obergrenze-Untergrenze)/p))  Rho positiv = fallend Beide Vorgehensweisen sind leicht EDV-technisch umsetzbar 
• Voraussetzungen zur Ermittlung von Wertfunktionen Attributsausprägung kontinuierlich skaliert ist Wertfunktion monoton steigend ist (für monoton fallende Wertfunktion analog anwendbar)
• Direct Rating Methode einfachste und schwächste Methode zur Bestimmung von Wertfunktionen Vorgehensweise:  Beste und schlechteste Zielausprägung festlegen x¯ und x+ wertmäßige Rangfolge der Alternativen festlegen x+>200>80> x¯ Direkte Bewertung auf Skala  Normierung auf (0,1) v(x) Skizze Konsistenzprüfung: Ein Entscheider ist konsistent, wenn man bei einer anderen Methode zur Ermittlung der Wertfunktion zum gleichen Ergebnis gelangt, bzw. sein Ergebnis beim Direct-Rating überprüft und wieder zum gleichen Ergebnis gelangt Weiteres Verfahren Prüfen anhand der Rangordnung der Direct Rating Methode
• Methode gleicher Wertdifferenzen Anspruchsvoller als Direct-Rating Methode Vorgehensweise: Bestimmung der schlechtesten Ausprägung x¯ mit v(x¯)=0 Punkte Normintervall (x¯→a1) =v(a1) 1 Punkt Festlegung der weiteren Ausprägungsintervalle, die für den Entscheider die gleichen Wertunterschiede haben (-10→-8)∼(-8→-5)∼.... Analog bis x+  Erhöhung des Gesamtintervalls mit v(a)=1 Punkt Normierung auf (0,1) durch Teilen der gegebenen Punktzahl durch Punkte von x+ Skizze Konsistenzprüfung Anhand Grafik erkennbar  Frage nach der subjektiven Mitte von x- und x+
• Halbierungsmethode Anspruchsvoler als Direct-Rating Methode Vorgehensweise Festlegung von x˜ und x+  Bestimmung des wertmäßigen Mittelpunkts zwischen x˜ und x+ = x0,5 Bestimmung der Quantile x0,25, x0,5 und x 0,75 frei gewählt Skizze Konsistenzprüfung - Frage nach der subjektiven Mitte bei einem unbekannten Intervall - z.B. x0,25 und x0,75 = x0,5 Vergleich mit der Direct Rating Methode "echte Alternativen können auf Skizze abgelesen werden"
• Inkonsistenzen Grund: Entscheider haben ein beschränktes Urteilsvermögen  Methoden falsch angewendet werden Lösung Wertfunktion mit verschiedenen Methoden ermitteln Konfrontation des Entscheiders und Korrektur
• Nicht-monotone Wertfunktionen Worauf deutet eine nichtmonotone Einzelwertfunktion hin? Ergebnis ungenügender Zielstrukturierung. Die Wertfunktion ist nicht monoton steigend. Am Scheitelpunkt der Funktion haben wir unser Ziel erreicht.  Es verbergen sich mehrere Zieldimensionen hinter dem Ziel Lösung: Aufspaltung der Ziele in monotone Unterziele Wertfunktion durch Aufteilung des Intervalls vor und nach dem lokalen Maximum. Für jeden Teilbereich eine bekannte Methode verwenden
• Unvollständige Information und Dominantests Auf Basis der vorhandenen Information eine Klasse von möglichen Wertfunktionen V(I) Dominanz untersucht werden a dominiert b wenn gilt: v(a) > v(b) für alle v € V(x)
• Vorteile und Nachteile von Direct Rating + gut anwendbar bei nominal bzw. ordinal skalierten Variablen + einfachste Methode - bei großer Alternativenmenge sehr aufwendig - Fehleranfällig - Schwächste Methode zur Bestimmung einer Wertfunktion
• Vorteile der Halbierungsmethode +gut geeignet für Variablen mit Intervallskalierung +nicht jede Ausprägung muss bewertet werden, weil wir immer nur die Frage nach der subjektiven Mitte stellen +Intervallgrenzen werden automatisch berücksichtigt -problematisch für nominal-bzw. ordinalskalierte Variablen -Verzerrung bei Beginn der Befragung ziehen sich durch das gesmte Verfahren, d.h. wenn man die wertmäßige Mitte zu Beginn falsch wähltm zieht sich der Fehler durch die gesamte Bewertung 
• Konsistenzprüfung Ein Entscheider ist konsistent, wenn man bei einer anderen Methode zur Ermittung der Wertfunktion zum gleichen Ergebnis gelangt bzw, sein Ergebnis beim Direct Rating überprüft und wieder zum gleichen Ergebnis gelangt Stimmt die Rangfolge mit der Bewertung überein? Frage nach der subjektiven Mitte bei unbekanntem Intervall Andere Methode - Vergleich durch Zeichnung 
• Vorteile der Methode gleicher Wertdifferenzen +gibt Hilfestellung durch gleiche Wertübergänge +gut geeignet für intervallskalierte Variablen -Normierungsprobleme, wenn die obere Intervallgrenze nicht getroffen wird -Probleme bei nominal und ordinalskalierten Variablen 
• Existenz von Wertfunktionen Ist die Präferenz eine vollständige, transitive Ordnung (und A ist abzählbar), so exisitiert immer eine Wertfunktion

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