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K-Räume

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  • K-Magma sei K ein kommutiativer, unitärer Ring, ein K-Magma ist ein Urpaar ((V;⋄);*) bei dem (V;⋄) ein Magma und * eine Verknüpfung zwischen K und V ist
  • K-Raum ist ein K-Magma ((V;+);⋄) bei dem (V;+) eine abelsche gruppe ist und folgende Bedingungen erfüllt sind: i) ∀ c ∈ K   ∀ v ∈ V                               cv ...
  • Vektorraum Ein k-Raum heißt Vektorraum (über K) wenn K ein Körper ist
  • Vektor Element der Trägermenge eines Vektorraums
  • Skalare Elemente von K
  • K-Teilraum Sei K ein komm., unitärer Ring, ((V;+);⋄) ein K-Magma, T⊆V T heißt K-Teilraum von ((V;+);⋄), wenn ((T;+);⋄) ein K-Raum ist   Kurz: T≤KV
  • Teilraumkriterium Sei K ein komm., unitärer Ring, ((V;+);⋄) ein K-Raum, T⊆V Es sind äquivalent: i) T≤KV ii) T≠ ∅    T ist abgeschlossen bez +, ∀ c ∈ K  ∀ v ∈ T     cv ∈ T
  • K-Erzeugnis von S Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum, S⊆V <S>K := ∩ { U | U≤KV   ,    S⊆U }
  • K-Erzeugendensystem von V <S>K=V,
  • V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge S⊆V existiert mit V=<S>K
  • K-Linearkombinationen Die Elemente von <S>K
  • K-Linear abhängig Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum, S ⊆ V S ist k-linear abhängig, wenn es ein k ∈ NN und paarweise verschiedene Elemente v1,....,vk ∈ S und Skalare c1,....,ck ∈ K/{0K} gibt mit: c1v1+.....+ckvk  ...
  • K-linear unabhängig für alle k ∈ NN und für alle paarweise verschiedenen v1,...,vk ∈ S und für alle c1,...ck ∈ K gilt: c1v1+....+ckvk = 0v   ⇒  c1=....=ck=0K
  • K-Basis(menge) Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum. Eine K-Basis von V ist ein K-linear unabhängiges Erzeugendensystem von V
  • K-Basistupel Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum. Ein K-Basistupel von V ist ein Tupel (v1,...,vn) über V mit paarweise verschiedenen vi , sodass {v1,...,vn} eine K-Basis von V ist (nur endlich erzeugte ...
  • maximale K-linear unabhängige Teilmenge S eine K-Basis von V (d.h., S ist K-lin. unabhängig und S ⊂ T ⊆ V ⇒ T ist K-lin. abhängig)
  • minimales K-Erzeugendensystem S eine K-Basis von V (d.h., <S>K=V und ∀ T ⊂ S    <T>K ≠ V)
  • Basiskennzeichnung Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, S ⊆ Ves sind äquivalent: i) S ist eine max. K-lin. unabh. Teilmenge von Vii) S ist ein min. K-Erzeugendensystem von Viii) S ist eine K-Basis von V
  • Dimension Sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Die Mächtigkeit einer (und damit jeder beliebigen) K-Basis von V heißt die Dimension von V dimK V
  • Rechtsrestklasse Sei (G;⋄) eine Gruppe und U eine Untergruppe von (G;⋄). Für alle x ∈ G heißt U⋄x die Rechtsrestklasse von x nach U (U⋄x := U⋄{x} = {u⋄x | u ∈ U} )
  • Menge aller Rechtsrestklassen nach U G/U := { T  | T ⊆ G    ∃ x ∈ G    T=U⋄x}
  • U heißt ein Normalteiler von G wenn U die Eigenschaft ∀ x ∈ G    U⋄x = x⋄U  , ∀ u ∃ u'           u⋄x = x⋄u'                                      ∀ u' ∃ u          ...
  • Ist K ein Körper und dim_K V endlich, so gilt: dimK V/U = dimKV - dimK U