Mathematik (Subject) / Lineare Algebra Kapitel 3 (Lesson)
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K-Räume
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- K-Magma sei K ein kommutiativer, unitärer Ring, ein K-Magma ist ein Urpaar ((V;⋄);*) bei dem (V;⋄) ein Magma und * eine Verknüpfung zwischen K und V ist
- K-Raum ist ein K-Magma ((V;+);⋄) bei dem (V;+) eine abelsche gruppe ist und folgende Bedingungen erfüllt sind: i) ∀ c ∈ K ∀ v ∈ V cv ∈ Vii) ∀ c,c' ∈ K ∀ v ∈ V (c+c')v = cv + c'viii) ∀ c,c' ∈ K ∀ v ∈ V (cc')v = c(c'v)iv) ∀ c ∈ K ∀ v,v' ∈ V c(v+v') = cv + cv'v) ∀ v ∈ V 1K v = v
- Vektorraum Ein k-Raum heißt Vektorraum (über K) wenn K ein Körper ist
- Vektor Element der Trägermenge eines Vektorraums
- Skalare Elemente von K
- K-Teilraum Sei K ein komm., unitärer Ring, ((V;+);⋄) ein K-Magma, T⊆V T heißt K-Teilraum von ((V;+);⋄), wenn ((T;+);⋄) ein K-Raum ist Kurz: T≤KV
- Teilraumkriterium Sei K ein komm., unitärer Ring, ((V;+);⋄) ein K-Raum, T⊆V Es sind äquivalent: i) T≤KV ii) T≠ ∅ T ist abgeschlossen bez +, ∀ c ∈ K ∀ v ∈ T cv ∈ T
- K-Erzeugnis von S Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum, S⊆V <S>K := ∩ { U | U≤KV , S⊆U }
- K-Erzeugendensystem von V <S>K=V,
- V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge S⊆V existiert mit V=<S>K
- K-Linearkombinationen Die Elemente von <S>K
- K-Linear abhängig Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum, S ⊆ V S ist k-linear abhängig, wenn es ein k ∈ NN und paarweise verschiedene Elemente v1,....,vk ∈ S und Skalare c1,....,ck ∈ K/{0K} gibt mit: c1v1+.....+ckvk = 0v
- K-linear unabhängig für alle k ∈ NN und für alle paarweise verschiedenen v1,...,vk ∈ S und für alle c1,...ck ∈ K gilt: c1v1+....+ckvk = 0v ⇒ c1=....=ck=0K
- K-Basis(menge) Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum. Eine K-Basis von V ist ein K-linear unabhängiges Erzeugendensystem von V
- K-Basistupel Sei K ein komm., unitärer Ring, V ein K-Raum. Ein K-Basistupel von V ist ein Tupel (v1,...,vn) über V mit paarweise verschiedenen vi , sodass {v1,...,vn} eine K-Basis von V ist (nur endlich erzeugte K-Räume können ein K-Basistupel besitzen)
- maximale K-linear unabhängige Teilmenge S eine K-Basis von V (d.h., S ist K-lin. unabhängig und S ⊂ T ⊆ V ⇒ T ist K-lin. abhängig)
-
- minimales K-Erzeugendensystem S eine K-Basis von V (d.h., <S>K=V und ∀ T ⊂ S <T>K ≠ V)
- Basiskennzeichnung Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, S ⊆ Ves sind äquivalent: i) S ist eine max. K-lin. unabh. Teilmenge von Vii) S ist ein min. K-Erzeugendensystem von Viii) S ist eine K-Basis von V
- Dimension Sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Die Mächtigkeit einer (und damit jeder beliebigen) K-Basis von V heißt die Dimension von V dimK V
- Rechtsrestklasse Sei (G;⋄) eine Gruppe und U eine Untergruppe von (G;⋄). Für alle x ∈ G heißt U⋄x die Rechtsrestklasse von x nach U (U⋄x := U⋄{x} = {u⋄x | u ∈ U} )
- Menge aller Rechtsrestklassen nach U G/U := { T | T ⊆ G ∃ x ∈ G T=U⋄x}
- U heißt ein Normalteiler von G wenn U die Eigenschaft ∀ x ∈ G U⋄x = x⋄U , ∀ u ∃ u' u⋄x = x⋄u' ∀ u' ∃ u u'⋄x = x⋄u
- Ist K ein Körper und dim_K V endlich, so gilt: dimK V/U = dimKV - dimK U