Mathematik (Fach) / Lineare Algebra Kapitel 1 (Lektion)

Definitionen und Bemerkungen

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• Menge Gesamtheit von Objekten
• M hat genau n-Elemente M hat n-Elemente, nicht mehr und nicht weniger.
• M hat höchstens n-Elemente M hat nicht mehr als n-Elemente
• M hat mindestens n-Elemente M hat nicht weniger als n-Elemente
• Gleichheitskriterium M = M' => M ⊆ M'  und M' ⊆ M
• Q die Menge der rationalen Zahlen   (also der Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben lassen)
• homogenes Gleichungssystem b1= b2 = .... = bn = 0 jedes lineare GLS besitzt ein homogenes GLS
• quadratische Matrix Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten
• A ∧ B A und B
• A ∨ B A oder B
• ¬A nicht A
• A ⇔ B A ist äquivalent zu B (A⇒B und B⇒A)
• S ∩ T = {x | x ∈ S ∧ x ∈ T}
• S ∪ T = {x | x ∈ S ∨ x ∈ T}
• S/T = {x | x ∈ S ∧ x ∉ T}
• S ∆ T = (S∪T) / (S∩T)
• Potenzmenge (M) = { T| T⊆ M} Menge aller Teilmengen von M
• Sei M={S}. Was ist ∪{S}? ∪{S} = S = ∩{S} Denn: x ∈ ∪{S} ⇔ ∃ T ∈ {S}   x ∈ T               ⇔ x ∈ S               ⇔ ∀ T ∈ {S}   x ∈ T               ⇔ x ∈ ...
• Urpaar Eine Menge P heißt Urpaar, wenn es Mengen A,B gibt, sodass   P= {  Potenzmenge(A) , Potenzmenge' (B) }
• V (φ) (Vorbereich von φ) Sei φ eine Menge von Urpaaren. V (φ) = { x | ∃ P ∈ φ    x=P1}
• N (φ) (Nachbereich von φ) Sei φ eine Menge von Urpaaren. N (φ) = { x | ∃ P ∈ φ     y= P2 }
• Wann heißt φ eine Funktion/Abbildung? Wenn es zu jedem x aus dem V (φ) genau ein y aus dem N (φ) gibt, mit (x;y) ∈ φ "φ ordnet dem Element x das Element y zu"
• y = xφ y ist das Bild von x unter φ
• Ist φ eine Funktion, so heißt 1.) V(φ) ? 2.) ... V(φ) = Definitionsbereich N(φ) = das Bild (die Bildmenge)
• Wann ist φ eine Abbildung? Jede Menge Y mit N(φ) ⊆ Y heißt eine Wertemenge für φ. Hat eine Menge den Definitionsbereich X und ist Y eine Wertemenge, so heißt φ eine Abbildung von X nach Y. φ: X → Y
• φ heißt injektiv.. wenn für alle x, x' ∈ V(φ) gilt: x ≠ x' ⇒ xφ ≠ x'φ oder xφ = x'φ ⇒ x = x'
• φ heißt surjektiv... ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X     xφ= y
• Gleichmächtig X heißt gleichmächtig zu Y, wenn es eine Bijektion von X auf Y  gibt
• disjunkt Zwei Mengen A,B heißen disjunkt, wenn A ∩ B = ∅
• Partition Sei X eine Menge, M ⊆ Potenzmenge(X) M Partiton von X, wenn o) ∅ ∉ M i) ∪M = X ii) je zwei verschiedene Mengen aus M sind disjunkt
• Partition (Definition) Sei M eine beliebige Partition von X φM = { (x;T) | x ∈ X, T ∈ M ∧ x ∈ T }
• Komposition von φ und ψ Seien φ,ψ Mengen von Urpaaren:   φψ = { (x;z) | x ∈ V(φ), z ∈ N(ψ)   ∃ y ∈ N(φ) ∩ V(φ)  (x;y) ∈ φ ∧ (y;z) ∈ ψ}
• V(φψ) { x | x ∈ V(φ), ∃ y ∈ V(ψ)    (x;y) ∈ φ }
• Tupel-Schreibweise (a1, a2, a3) Wichtig: die Reihenfolge
• Mengen-Schreibweise {1,3,4,5} = {3,4,5,1} Reihenfolge der elemente ist nicht so wichtig..
• Elemente von M die objekte selbst, aus denen M besteht
• Teilmenge von M mengen, die man durch Zusammenfassung gewisser elemente von M erhält
• Folgerung für LGS und homogene GS ein lineares gleichungssystem, dass lösbar ist, hat eine eindeutig bestimmte Lösung, genau dann, wenn das zugehörige homogene GLS NUR die Lösung (0,0,....,0) hat. 
• Elementare Zeilenumformung einer Matrix i) Erstezen von ci durch ci+dcj   (d ∈ Q, i ≠ j)       (Addition zweier Zeilen) ii) Ersetzen von cj durch dcj  (d ∈ Q, d ≠ 0)         (Multiplikation einer Zeile) iii) Veränderung ...
• ∀ für alle .... gilt ( ∀ x ∈ N    x ≤ x2 )  
• ∃ es existiert ein ... mit der Eigenschaft ( ∃ x ∈ Q      x2 < x )
• ∩M sei M eine Menge, deren Elemente selbst wieder Mengen sind. es gelte M ≠ ∅ ∩M := { x | ∀ T ∈ M     x ∈ T} (sinnlos für M = ∅ )
• ∪M sei M eine Menge, deren Elemente selbst wieder Mengen sind. es gelte M ≠ ∅ ∪M := { x | ∃ T ∈ M     x ∈ T} (sinnvoll für M = ∅, denn ∪∅=∅ )
• Potenzmenge ' (M) = Potenzmenge(M) ⁄ {∅}
• Für jede Menge X setzen wir id_x idx := { (x;x)  | x ∈ X} (Identität auf X)
• Homomorphiesatz für Mengen Ist φ: X -> Y surjektiv, so ist { (T;y) | T ∈ X/φ , ∀ x ∈ T    xφ = y} = φ- eine Bijektion von X/φ auf Y. insbesondere sind X/φ und Y gleichmächtig.
• Das carterische Produkt von M und N Sind M und N Megen, so setzen wir Y= M ∪ Nund         MxN := { (a;b)  | a ∈ M , b ∈ N } ⊆ Y2
• Relation zwischen X und Y Seien X,Y Mengen.Unter einer Relation zwischen X und Y versteht man eine Teilmenge von XxY.   R:= { (x,y) | x, y ∈ NN , ∃ n ∈ NN    y=x+n }
• Reflexiv ∀ x ∈ X   x R x (Sei R eine Relation auf X)
• Symmetrie ∀ x ∈ X    (xRx' ⇒ x'Rx)

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