Forschungsmethoden (Fach) / 6. Nicht parametrische Verfahren (Lektion)

Verteilungsfreie Verfahren I & II

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• Wann ist es ratsam, nicht parametrische Tests zu verwenden? Parametrische Verfahren: Bei den Testverfahren müssen u.a. folgende Annahmen gemacht werden: Metrisches Skalenniveau in der AV Normalverteilung (der Residuen) Varianzhomogenität Nicht parametrische Verfahren: Parameterfreie Verfahren können auch verwendet werden, wenn: das Skalenniveau nicht metrisch ist (Häufigkeiten, Rangdaten) keine Normalverteilung/keine Varianzhomogenität vorliegen die Stichprobengröße zu klein ist
• Nicht parametrische Verfahren: Vor- und Nachteile Vorteile: Keine Verteilungsvoraussetzungen z.T. bei Unklarheit über Skalenniveau (intervallskaliert oder nicht) anwendbar Besonders geeignet für kleine Stichproben Relativ einfache Formeln Nachteile: Großer Aufwand bei der Berechnung exakter Wahrscheinlichkeiten für große Stichproben Teststärke ist bei Vorliegen der Voraussetzungen immer geringer als die, vergleichbarer parametrischer Tests Weniger multivariate Verfahren
• Wie unterscheiden sich exakte von asymptotischen Signifikanztests? Exakte Signifikanztests: Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses unter Gültigkeit der H0 wird kombinatorisch ermittelt. Auch die Auftretenswahrscheinlichkeiten für alle noch extremeren Ereignisse unter Gültigkeit der H0 werden ermittelt. Die Auftretens-(Punkt-)Wahrscheinlichkeiten werden aufaddiert --> Überschreitungswahrscheinlichkeit Für die wichtigsten Verfahren gibt es auch Tabellen im Bereich kleiner Stichproben. Asymptotische Signifikanztests: Bei einer größeren Stichprobe wird das Berechnen exakter Übertretungswahrscheinlichkeiten schnell sehr aufwendig. Allerdings konvergieren die Verteilungen vieler Prüfgrößen bei wachsendem Stichprobenumfang gegen eine Normalverteilung. So kann man die Übertretungswahrscheinlichkeit approximativ ermitteln --> je größer der Stichprobenumfang, desto besser ist die Annäherung. Die ermittelte empirische Prüfgröße wird mit einer kritischen verglichen --> bei einer größeren empirischen Prüfgröße wird die H0 abgelehnt.
• Wie kann überprüft werden, ob eine beobachtete Häufigkeit dem Erwartungswert einer Population entspricht? Nullhypothese: Die Verteilungen unterscheiden sich nicht. Hypothesentestung: Mittels exaktem Signifikanztest: Binominaltest Mittels asymptotischen Signifikanztest: χ2- Test Zum Beispiel: Verteilen sich die Teilnehmer meiner Stichprobe hinsichtlich ihres Bildungsabschlusses wie die Gesamtbevölkerung? Stammt die Stichprobe von Studierenden aus einer GG mit gleichem Anteil beider Geschlechter? Entspricht die Verteilung der Hautfarbe in meiner Stichprobe der der Gesamtbevölkerung?
• Binominaltest = exakter Test Aus der Population wird eine Stichprobe mit Zurücklegen gezogen (festgelegte Ziehungsanzahl). Je Ziehung 2 mögliche Ergebnisse (dichotom: Treffer/Niete, ja/nein). Gemessen wird die Anzahl der Treffer x. Fragestellung: Stammt die Stichprobe aus der gleichen GG wie in der H0? Wahrscheinlichkeitsverteilung: liefert die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert (f(x)) Verteilungsfunktion F: liefert die Wahrscheinlichkeit für höchstens einen gegebenen Wert x. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit über: Anzahl der Personen innerhalb einer Gruppe [z.B. Anzahl gezogener Männer] Gesamtanzahl der Personen [Anzahl aller Vpn] Trefferwahrscheinlichkeit [z.B. 50/50 Wahrscheinlichkeit --> 0,5] Die Überschreitungswahrscheinlichkeit ist die Summe der Punktwahrscheinlichkeit (d.h. die Ergebnisse für x = 0, 1, 2, etc. werden aufsummiert/kumuliert und ergeben einen p-Wert, der auf 5% oder 1% signifikant sein kann oder nicht) für das beobachtete und alle noch extremeren Ereignisse. Bei einem zweiseitigen Test werden die kumulierten Ergebnisse mal 2 multipliziert.
• Chi2- Test = asymptotischer Test bei zwei Stichproben Messen zweier Variablen an derselben Stichprobe aus einer Population. Je Variable mehrere mögliche Beobachtungen (polytom: mehrere Kategorien) Gemessen wird die Anzahl der Treffer je Kombination. Getestet wird, ob die Variablen unabhängig sind (H0). (--> beim χ2- Test immer ungerichtet, wegen 2 im Nenner) Fragestellung: Entstammt die beobachtete Stichprobe mit ihrer Verteilung des Merkmals einer Population mit der hypothetisch angenommenen Verteilung in der H0? χ2- Test ist das asymptotische Äquivalent zum Binomialtest (--> wird bei größeren Stichproben durch das Errechnen der vielen verschiedenen Wahrscheinlichkeiten sehr aufwändig). Mittels der χ2- Verteilung kann ab ca. 10 Personen pro Substichprobe eine ausreichend genaue Überschreitungswahrscheinlichkeit ermittelt werden. Die χ2- Teststatistik summiert quadrierte, standardisierte Abweichungen zwischen k beobachteten und erwarteten Häufigkeiten über die Zellen einer Tabelle (Kontingenztabelle/ kxm Kreuztabelle) auf. Berechnung über: beobachtete Häufigkeit für Subgruppen A und B erwartete Häufigkeit für Subgruppen A und B Die Zahl der Freiheitsgrade ist k-1. Vergleich des empirischen χ2- Wert mit dem kritischen χ2- Wert: H0 wird abgelehnt, wenn χ2emp ≥ χ2krit Bsp: Zusammenhang zwischen Schwimmbeckenpräferenz und Erwerbsstatus
• Multinomialtest = ein exakter Test bei mehr als zwei Stichproben --> statistisches und inhaltliches Äquivalent zum Binomialtest, wenn mehr als zwei Substichproben (k > 2) vorliegen. Fragestellung: Verteilen sich die Teilnehmer einer Stichprobe hinsichtlich eines mehrfach gestuften Merkmals (z.B. Schulabschluss) wie die Gesamtbevölkerung? Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit über: die Anzahl der Personen innerhalb einer Gruppe die Gesamtanzahl der Personen die Wahrscheinlichkeit unter der H0 Aus den Punktwahrscheinlichkeiten kann wieder die Überschreitungswahrscheinlichkeit durch Aufaddieren gebildet werden. --> Die Punktwahrscheinlichkeiten für das Auftreten dieses und noch extremerer Ereignisse werden aufsummiert.Dazu werden für so viele mögliche Ergebnisse die Punktwahrscheinlichkeiten berechnet, bis alle noch extremeren Fälle (kleinere Wahrscheinlichkeiten) abgedeckt sind (unter Konstanthaltung der Randsummen (Bsp. Schultypen: Zahl der Realschüler wird nicht verändert)).
• Chi2- Anpassungstest = asymptotischer Signifikanztest für den Vergleich von mehr als zwei Substichproben mit einer erwarteten Verteilung. Die Teststatistik entspricht der Teststatistik im χ2- Test für 2 Substichproben. (χ2 berechnen --> Dichtefunktion f(χ2, df) --> Verteilungsfunktion F(χ2, df)) Voraussetzungen: Jede Substichprobe sollte mindestens mit 5 Elementen besetzt sein. Wenn weniger als 10 Personen pro Substichprobe: χ2- Anpassungstest anstatt χ2- Test
• Wie kann überprüft werden, ob sich beobachtete Häufigkeiten aus zwei unabhängigen Stichproben unterscheiden? Nullhypothese: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den Stichproben bezüglich des untersuchten Merkmals. Hypothesentestung: mittels exaktem Signifikanztest: Fisher-Yates Test mittels asymptotischen Signifikanztest: Vierfelder-χ²-Test Beispiele: Sind die Probanden der Experimentalgruppe nach einer Strahlentherapie häufiger krebsfrei als die der Kontrollgruppe ohne Therapie? Sind die Menschen, die sich mit einer Psychotherapie behandeln lassen häufiger symptomfrei als die ohne Therapie? Sind Studenten seltener Raucher als Nichtstudenten?
• Fisher-Yates Test = exakter Signifikanztest für 2 Substichproben (Ermittlung, ob sich beobachtete Häufigkeiten aus 2 unabhängigen Stichproben unterscheiden.) Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Auftreten anhand: Zeilensummen (für Subgruppen A und B) Spaltensummen (für ja/+ bzw. nein/- beider Subgruppen) Werte aus 4-Felder-Tafel Die Punktwahrscheinlichkeiten für das Auftreten des beobachteten und noch extremerer Ereignisse in Subgruppe A werden aufsummiert. Dazu werden für so viele mögliche Ergebnisse die Punktwahrscheinlichkeiten berechnet, bis alle noch extremeren Fälle abgedeckt sind (unter Konstanthaltung der Randsummen). --> Ermitteln der Überschreitungswahrscheinlichkeit durch aufsummieren.
• Vierfelder-Chi2- Test = asymptotischer Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale. --> asymptotisches Äquivalent zum Fisher-Yates Test. Teststatistik: allgemeine ?2- Teststatistik Die erwartete Verteilung unter H0 (= der Unabhängigkeit der Merkmale) ergibt sich aus den Randsummen der beobachteten Verteilung. Voraussetzungen: Die Gesamtstichprobe muss aus mind. 20 Elementen bestehen, bei weniger als 60 sollte eine Korrektur vorgenommen werden.
• Wie kann überprüft werden, ob sich beobachtete Häufigkeiten aus zwei unabhängigen Stichproben bezüglich mehr als 2 Merkmalen unterscheiden? Nullhypothese: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den Stichproben bezüglich des untersuchten Merkmals. Hypothesentestung: Mittels exaktem Signifikanztest: Fisher-Yates Test für k x 2 -Felder Mittels asymptotischen Signifikanztest: k x 2 -Felder-χ²-Test Beispiele: Haben die Probanden der Experimentalgruppe nach einer Chemotherapie die gleichen Nebenwirkungen, wie Patienten, die nur eine Strahlenbehandlung bekamen? Haben die Menschen, die sich mit einer Psychotherapie behandeln lassen, die gleichen ICD-Diagnosen wie die ohne Therapie? Sind die Bewohner der verschiedenen Bundesländer gleich häufig Raucher?
• Fisher-Yates Test für k x 2 -Felder = exakter Signifikanztest zur Überprüfung, ob sich beobachtete Häufigkeiten aus 2 unabhängigen Stichproben bzgl. mehr als 2 Merkmalen unterscheiden. Für die Zuordnung der Felder gibt es verschiedene theoretische Varianten: Mehr als 2 Stichproben werden einem dichotomen Merkmal zugeordnet. 2 Stichproben werden den Kategorien eines mehrfach gestuften Merkmales zugeordnet. Eine Stichprobe wird den k x 2 Merkmalskombinationen eines k-fach gestuften und eines dichotomen Merkmals zugeordnet. Für alle Ergebnisse werden Punktwahrscheinlichkeiten berechnet. Die Randsummen werden konstant gehalten. Alle unwahrscheinlicheren Ergebnisse (kleinere p) werden aufaddiert --> Ermitteln der Überschreitungswahrscheinlichkeit
• k x 2 -Felder-Chi2- Test = asymptotisches Äquivalent zum k x 2 -Felder-Fisher-Yates Test. --> zur Überprüfung, ob sich beobachtete Häufigkeiten aus 2 unabhängigen Stichproben bzgl. mehr als 2 Merkmalen unterscheiden. Voraussetzungen: Wechselseitige Unabhängigkeit der Merkmalsträger. Ausschließende und erschöpfende Merkmalskategorien. Nicht zu kleine erwartete Häufigkeiten.
• Wie kann überprüft werden, ob sich ein Merkmal aus zwei abhängigen Stichproben unterscheidet? Nullhypothese: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den Messzeitpunkten und den untersuchten Merkmalen. Hypothesentestung: mittels asymptotischen Signifikanztest: McNemar Test Beispiele: Gelingt es Teilnehmern nach einem Konzentrationstraining häufiger einen cut-off Wert zu überschreiten? Erreichen Teilnehmer eines Stresspräventionsprogramms danach häufiger einen normalen Blutdruck als vorher?
• McNemar Test 2x dieselbe Stichprobe aus einer Population ziehen (zu unterschiedlichen Messzeitpunkten). Je Ziehung 2 mögliche Ergebnisse (dichotom). Gemessen wird die Anzahl der Treffer zu beiden Messzeitpunkten x und y. Getestet wird, ob die Wahrscheinlichkeit eines Treffers zu beiden Messzeitpunken dieselbe ist (H0). Fragestellung: Unterscheidet sich ein Merkmal aus 2 abhängigen Stichproben? Testidee: Durch Zufall würden genauso viele „spontane Remissionen“ eintreten wie „spontane Verschlechterungen“ --> die Wahrscheinlichkeiten für Zelle c und Zelle b unterscheiden sich nicht (Hypothesen ungerichtet wegen 2 im Zähler (?2 immer positiv)). 4-Felder-Tafel und Berechnung von ?2 Voraussetzungen: Alle Beobachtungen können eindeutig einer Zelle zugeordnet werden. Jede Zelle ist mit mindestens 5 Beobachtungen besetzt. Bsp: Partywahrscheinlichkeit von Studenten im 1. und 2. Studienjahr
• Probleme beim Vergleich von unabhängigen Stichproben oder Merkmalen Selten gibt es in der Psychologie nominale Variablen, die relevant sind --> oft nur bei der Stichprobenbeschreibung. Durch nachträgliche Kategorisierung werden die Daten verkürzt und ggf. falsch beschrieben. Wenn innerhalb einer eingipfligen Verteilung ein cut-off gesetzt wird (z.B. BDI > 18 vs. BDI ≤ 18) kann dies zu Fehlinterpretationen im tatsächlichen Sachverhalt führen. --> Analysen für Häufigkeitsdaten sollten nur dann verwendet werden, wenn die Kategorien tatsächlichen Subpopulationen entsprechen (echte nominale Daten).

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