Mathematik (Fach) / Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (Lektion)

Variation,Permutation etc.

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• Binominalverteilung Formel, Was ist eigentlich das n, p und k? n = Anzahl der Ziehungen p = Wahrscheinlichkeit k = Anzahl der Treffer Berechnung für genau k Treffer mit GTR/CAS: binompdf(n,p,k) Berechnung für höchstens k Treffer mit GTR/CAS: binomcdf(n,p,k) Den Binomialkoeffizienten (n "über" k)ermittelt man mit der nCr-Taste des Taschenrechners oder mit der Formel            n!  / k!⋅(n−k)! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss wieder 1 ergeben. Wichtig: Immer anwendbar beim „Ziehen mit Zurücklegen“. Bei Ziehen ohne Zurücklegen nicht (in diesem Fall ist die Pfadregel hilfreich).
• Binominalverteilung, Daraus ergeben sich folgende Lage- und Streuungsmaße: Erwartungswert: μ = E(X) = n⋅pVarianz: σ2 = V(X) = n⋅p⋅(1−p)Standardabweichung: σ=√σ2
• Typische Binomialrechnungen Eine Stichprobe besteht aus n=100 Schrauben und die Wahrscheinlichkeit einer defekten Schraube liegt bei p=0,1. 1)Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass genau 12 Schrauben defekt sind 2)Gesucht sei Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 12 Schrauben defekt sind 3)Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Schrauben defekt sind 4)Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für ´mehr als 4, aber weniger als 15 defekte Schrauben P(X=12)=(100 "über" 12)⋅0,112⋅0,9100−12 Also alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 12 aufsummieren:P(X≤12)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=12)=F(100;0,1;12) Also alle Wahrscheinlichkeiten von 12 bis 100 aufsummieren oder mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen:  P(X≥12)=1(= Alles) − P(X≤11)   (= 0-11) Also alle Wahrscheinlichkeiten zwischen 5 und 14 aufsummieren oder clever mit Gegenwahrscheinlichkeiten:            P(5≤X≤14) = P(X≤14)−P(X≤4)                Alles bis 14    -  Alles bis 4                                      
• Eine Verteilung p wird als stetige Gleichverteilung bezeichnet, wenn Eine Verteilung p wird als stetige Gleichverteilung bezeichnet, wenn ein "großes" Intervall (A;B) vorliegt und für alle Teilintervalle (a;b) ⊆ (A;B) folgendes gilt: p((a;b)) ist der Längenanteil des Teilintervalls (a;b) an dem "großen" Intervall.   (-> eckige Klammern für Intervalle Stell Dir vor, Du möchtest eine Ausstellung besichtigen und erhältst am Empfang die Information, dass alle dreißig Minuten eine Führung startet. Falls Du nicht weißt, wann die vorherige Führung begonnen hat, besitzen alle Wartezeiten zwischen 0 und dreißig Minuten die gleiche Wahrscheinlichkeit. Deine Zufallsvariable ist die Zeit in Minuten, die bis zum Start der nächsten Führung vergeht; sie ist stetig gleichverteilt im Intervall [0;30].
• Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p heißt stetige Gleichverteilung, falls ein Intervall (A;B) existiert und die folgenden Regeln gelten:  p( (a;b) ) = b-a / B-A, falls A ≤ a ≤ b ≤ B Formal kann man den in (A;B) liegenden Anteil von I als die Durchschnittsmenge (A;B) ∩ I schreiben. D.h. : p(I) = p ((A;B)∩I).
• Man bezeichnet die stetige Gleichverteilung auch als gleichmäßige Verteilung oder als Rechteckverteilung
• Berechnung der Verteilungsfunktion im Falle der Gleichverteilung Bei der Berechnung von V(x) berücksichtigen wir, dass jeder zufällige Wert mindestens gleich A sein muss. Daraus folgt: V(x) = p ( ] - ∝;x ] ) = p([A;x])= x-A / B-A Insegsamt hat V(x) folgende Gestalt:                  0,   falls x < A,                                   V(x) =       x-A / B-A, falls A ≤ x ≤ B                        1, falls x > B         
• Glaichverteile Zufallsvariable Eine Zufallssvariable X heißt stetig geichverteilt, falls sich die Funktionswerte X(e) so verhalten, als kämen sie unmittelbar von einem Zufallsgenerator mit der stetigen Gleichverteilung p˜ auf einem Intervall [A;B]. das bedeutet insbesondere, dass dafür alle a,b ∈ R mit A ≤ a ≤ b ≤ B gilt: p (X≤a)     = p˜ (]-∝;a])  = a-A / B-A p (a≤X≤b) =  p˜ ([a;b])  = b-a / B-A p (X≥b)     = p˜ ([ b; ∞[) = B-b / B-A Ganz allgemein muss für jedes Intervall I gelten: p (X ∈ I) = p˜ (I) wobei p (X ∈ I)  = p ( {e∈E I X(e) ∈ I} ) E=Ergebnismenge
• Für eine stetigverteilte Zufallsvariable gelten folgenden Aussagen: μ=?; σ^2 =?; σ=? μ =A+B / 2 σ2 = (B-A)2 / 12 σ = (B-A) / √12
• allgemeine stetige Verteilungen haben bei einzelnen Punkten die Wahrscheinlichkeit ? und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeiten von ? allgemeine stetige Verteilungen haben bei einzelnen Punkten die Wahrscheinlichkeit 0 und wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeiten von Intervallen
• Definition der Stetigkeit und stückweise stetig Eine reelle Funktion heißt stetig, falls man ihren Graphen in einem Zuge zeichnen kann und nicht mit dem Zeichenstift absetzen muss. Eine reelle Funktion heißt stückweise stetig, falls sie höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt. Vereinfacht ausgedrückt: Man darf beim Zeichnen zwar ab und zu den Stift absetzen, aber bitte nur endlich oft.
• Um stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu definieren, verwenden wir sogenannte Dichtefunktionen f Die Fläche unter diesen Dichtefunktionen werden wir dann als Wahrscheinlichkeiten betrachten
• Eine Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Funktion f: R->R mit folgenden Eigenschaften: f ist stückweise stetig der Graph von f liegt vollständig in der oberen Halbebene des Koordinatensystems (einschließlich der x-Achse). D.h.: f(x)≥0 für alle x≥0 Die Gesamtfläche unter dem Graphen von f beträgt 1. D.h. ∫+∞-∞ f(t)dt = 1
• Als nächstes definieren wir stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen; die Idee dabei ist, dass wir eine Dichtefunktion f haben und jedem Intervall (a;b) den entsprechenden Flächeninhalt unter der Kurve von f zuordnen. Diesen Flächeninhalt stellen wir uns vor als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein alltäglicher Zufallsprozess oder ein entsprechend konstruierter Zufallsgenerator einen Wert zwischen einschließlich a und einschließlich b erzeugt
• Gegeben sei eine Dichtefunktion f; Wir ordnen jedem Intervall [a;b]die Zahl pf([a;b]) zu. Diese Zahl definieren wir als... ... das durch f begrenzte Flächenstück, welches zwischen a und b liegt .Formal ausgedrückt:    pf([a;b])= ∫ba f(t)dt Die Größe pf([a;b]) bezeichnen wir auch als die Wahrscheinlichkeit des Intervalls [a;b] Diejenige Funktion, wleche jedem Intervall [a;b] die Wahrscheinlichkeit pf([a;b]) zuordnet, bezeichnen wir auch als die zu f gehörende stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Auch bei einer stetigen Gleichverteilung auf einem Intervall [A;B] handelt es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Die formale Definition dieser Dichtefunktion lautet: f(x) = 1/ B-A      falls A ≤ x ≤ B              0          sonst. Offensichtlich ist diese Dichtefunktion nicht stetig; an den Stellen A und B muss man den Zeichenstift absetzen. Die Fläche unter dieser Dichtefunktion hat die Gestalt eines Rechtecks. Das ist der Grund, weswegen man die stetige Gleichverteilung auch als Rechteckverteilung bezeichnet.
• Regel, dass gleich lange Intervalle die gleihce wahrscheinlichkeit haben, gilt nur bei Gleichverteilungen, aber nicht im allgemeinen Fall.
• Als nächstes definieren wir pf auch für solche Intervalle, die nach links hin unendlich sind, d.h. für Intervalle der Form ]-∞;a] und ]-∞;a[. Die so definierten Zahlenwerte können wir interpretieren als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetig verteilte Zufallszahl höchstens einen vorgegebenen Wert a annimmt bzw. kleiner ist als ein vorgegebener Wert a. Die exakte Definition basiert auf derjenigen Fläche unter der Dichtefunkt, die links von a liegt
• Sei a∈R. Dann definieren wir den Wert pf(]-∞;a]) folgendermaßen: pf(]-∞;a]) = ∫a-∞ f(t)dt Selbstverständlich können wir pf auch für solche Intervalle, die nach rechts hin unendlich sind, d.h. für Intervalle der Form [b;∞[ und ]b;∞[. Die so definierten Zahlenwerte können wir interpretieren als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetig verteilte Zufallszahl mindestens einen vorgegebenen Wert b annimmt bzw. größer ist als ein vorgegebener Wert b. Die exakte Definition basiert auf derjenigen Fläche unter der Dichtefunktion, die rechts von b liegt.
• Bei der Binomialverteilung konzentrieren sich die Werte um den Erwartungswert μ. Deshalb untersucht man häufig symmetrische Umgebungen um den Erwartungswert. Den Radius dieser Umgebungen gibt man meist als Vielfaches der Standardabweichung σ an. So ist z.B. die 2σ-Umgebung des Erwartungswerts das Intervall [μ−2σ;μ+2σ].
• Wir sehen, dass die Berechnung der obigen Wahrscheinlichkeit sehr umständlich ist. Aus diesem Grund wurden für die am häufigsten verwendeten σ-Umgebungen sogenannte σ-Regeln eingeführt, die die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten näherungsweise bestimmen. Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X∼B(n,p) werden in der σ-Umgebung gute Werte erzielt, falls die Laplace-Bedingung σ>3 erfüllt ist. Wahrscheinlichkeit in σ-Umgebung, falls σ>3: P(μ −         σ ≤X≤ μ + σ)        = 0,68 P(μ −  1,64σ ≤X≤ μ + 1,64σ) = 0,90 P(μ −  1,96σ ≤X≤ μ + 1,96σ) = 0,95 P(μ −      2σ ≤X≤ μ + 2σ)       = 0,955 P(μ − 2,58σ ≤X≤ μ + 2,58σ)  = 0,99 P(μ − 3σ      ≤X≤ μ + 3σ)       = 0,997
• Eine Zufallsvariable X heißt hypergeometrischverteilt, kurz X∼H(n,N,M) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X=k)= (M "über" k)⋅(N−M "über"n−k)                               (N "über" n) N: GrundgesamtheitM: Elemente, die die Eigenschaft A besitzenN−M: Elemente, die die Eigenschaft A nicht besitzenn: Zufällige Entnahme ohne ZurücklegenWichtig: IMMER anwendbar beim „Ziehen ohne Zurücklegen“
• Hypergeometrische Verteilung -> Erwartungswert udn Varianz Erwartungswert: μ=E(X)= n⋅M/N Varianz: σ2=V(X)=  n⋅M/N⋅ (1−M/N) ⋅ N−n / N−1
• Beispiel Früchtekisten Eine Lieferung von 80 Kisten, die mit Früchten gefüllt sind, enthalte 40 Kisten mit verdorbenen Früchten. Da eine vollständige Prüfung der Lieferung zu aufwendig ist, haben Abnehmer und Lieferant vereinbart, dass eine Zufallsstichprobe (ohne Zurücklegen) von 10 Kisten der Lieferung entnommen und geprüft wird, um die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Früchten zu bestimmen. 1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für 10 verdorbene Kisten unter der Zufallsstichprobe X∼H(10;80,40) mit k=10. 2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 verdorbene Kisten unter der Zufallsstichprobe X∼H(10;80,40) mit k≥1. 3) Bestimme den Erwartungswert und die Varianz. Grundlegend muss man herausfinden um welche Verteilung es sich handelt. In der Aufgabenstellung steht, dass die Zufallsstichproben „ohne Zurücklegen“ durchgeführt wird und daraus folgt, dass es sich um die Hypergeometrische Verteilung handeln muss. X∼H(n,N,M) Jetzt muss man die Parameter n, N, M identifizieren, die man zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für die Hypergeometrische Verteilung benötigt. n: „Wie oft wird gezogen?“ Hier werden 10 Kisten entnommen, daraus folgt n=10. N: Grundgesamtheit, hier N=80. M: Diese Elemente haben eine gewisse Eigenschaft, hier 40 verdorbene Kiste, hier M=40. Folgende Aufgaben sollen bearbeitet werden: 1) Es gilt P(X=10)= (40 "über" 10)⋅(80−40 "über" 10−10)               (80 "über" 10)                                     =0,000512 2) Es gilt P(X≥1)=1−P(X<1)=1−P(X=0) = 1−   (40 "über" 0)⋅ (80−40 "über" 10−0)                                  (80 "über" 10) =1−0,000512 =0,999485 3) E(X)= 10 ⋅  40/80 = 5 V(X)=10⋅ 40/80⋅(1– 40/80)⋅ 80−10 /80 −1 =2,22
• Sei b Element von R. Dann definieren wir den Wert pf ([b;∞[) folgendermaßen: pf ([b;∞[) = ∫∞b f(t)dt Wie bereits erwähnt stellen wir uns den so definierten Zahlenwert pf ([b;∞[) vor als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein entsprechender Zufallsgenerator mindestend einen Zahlenwert b anzeigt. Aus diesem Grund verwenden wir auch die Kurzschreibweise pf (≥b). pf( ]b;∞[)= pf ([b;∞[), Kurzschreibweise pf(>b). Diesen Wert interpretieren wir als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zufallsgenerator einen Wert größer als b liefert.
• Gegeben sei eine Dichtefunktion f. Dann definieren wir die Verteilungsfunktion Vf derart, dass der Wert Vf(x) immer die Wahrscheinlichkeit für ein Zufallsergebnis≤x darstellt. Formal ausgedrückt: Vf(x) = pf (]-∞;x]) Das bedeutet zugleich: Vf(x) = ∫x-∞ f(t)dt  und Vf(x) = pf (≤x)
• Ganz allgemein hat die Verteilungsfunktion den Vorteil, dass ... man ihr die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Intervalls ausrechnen kann
• Erzeugung der Wahrscheinlichkeit pf ([a;b]) als Differenzfläche pf ([a;b]) = Vf(b) - Vf(a) für alle a≤b
• stetig verteilte Zufallsvariable, Definition Eine stetig verteilte Zufallsvariable X ist eine Funktion, deren Funktionswerte X(e) sich so verhalten, als kämen sie unmittelbar von einem Zufallsgenerator mit einer stetigen Verteilung. D.h. insbesondere, dass es eine Dichtefunktion f und damit eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung pf gibt mit der folgenden Eingeschaft: für alle a,b ∈ R mit a<b gilt: p (a≤X≤b) = pf([a;b])= ∫baf(t)dt Generell muss für jedes Intervall I gelten: p(X∈I)= pf(I) Wie bereits erwähnt, werden wir uns (fast) ausschließlich mit ganz einfachen Zufallsvariablen beschäftigen. Dabei handelt es sich vorwiegend um die Identitär, d.h. X(e)=e. Eine gewisse Rolle spielen allerdings auch die linearen Zufallsvariablen, d.h. Y(e)=α.e+β. Diese Zufallsvariablen treten unter anderem bei Messungen auf, und zwar dann, wenn man die Messlatte verschiebt oder die Maßeinheite verändert. Dabei handelt es sich einerseits um die Zufallsvariable Y1(e)=e-1 und andererseits um Y2(e)=1000 . e
• Sei f eine Dichtefunktion, und sei pf die zugehörige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sei außerdem X eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung pf. Seien außerdem α,β ∈ R mit α≠0. Wir betrachten die Funktion Y(e)=α.X(e)+β. Dann ist... auch Y eine stetig verteilte Zufallsvariable mit einer Dichtefunktion g und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung pg; dabei unterscheidet sich normalerweise pg von der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung pf.
• Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable. Dann definieren wir ihren Erwartungswert E(X) in folgender Weise: E(X)=μ= ∫∞-∞ t . f(t) dt
• Gegeben sei die Zufallsgröße X. Wir nehmen an, dass X auf [A;B] gelichverteilt sei. Dann gilt: E(X)=μ= A+B / 2
• Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable. Dann definieren wir ihre Varianz Var(X)=δ^2 sowie die Standardabweichung s(X)=δ in folgender Weise: Var(X)=δ2= ∫∞-∞  (t-μ)2  . f(t) dt s(X)=σ= √Var(X) = √∫∞-∞ (t-μ)2 . f(t)dt
• Gege. sei die Zufallsgröße X. Wir enhmen an, dass X auf [A;B] gleichverteilt sei. Dann gilt: Var(X) = σ2= (B-A)2 / 12
• Geg. seien die Zufallsvariablen X und Y. Dabei gelte Y=α.X+β, wobei α ungleich 0 und β zwei reelle Zahlen sind. Dann geten die folgendene Regeln: E(Y)= E(α.X+β)= α.E(X)+β Var(Y)= Var(α.X+β)=α2 . Var(X) s(Y)= s(α.X+β)= I α I . s(X) Ebenso wie im diskreten Falle beruht auch hier das Auftreten des Absolutbetrages auf der allgemienen Gleichung IαI= √α2 . Mit ihrer Hilfe kann man nämlich folgende Umformung herleiten: s(Y)=√Var(Y) = √α2.Var(X)=√α2.√Var(X)=IαI.s(X)
• Was ist eig. eine Normalverteilung? Eine Normalverteilung ist eine wahrscheinlichkeitsverteilung, die oftmals dann vorliegt, wenn sich die Zufallszahlen mit großer Wahrscheinlichkeit in der Nähe eines bestimmten Mittelwertes befinden. D.h. zugleich, dass eine starke Abweichung von diesem Mittelwert eher unwhrschienlich ist In vielen Fällen stellt sich dieser Mittelwert automatisch ein wie etwa bei einer Durchschnittstemperatur. In vielen Fällen ist dieser Mittelwert zugleich auch ein Sollwert, von dem möglichst nicht zu stark abgewichen werden sollte; ein typisches Beispiel ist derjenige Messwert, welcher bei einer fehlerfreien Messung entstehen muss Wir können mit Hilfe von Normalverteilungen näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten von binominalverteilten Zufallsvariablen berechnen Spezialfall-> Standard-Normalverteilung
• Wir definieren "phi" als die folgende Dichtefunktion: "phi" (x) = 1/√2π  . e - x^2/2 der Graph dieser Funktion wird auch häufig als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet.
• Sei "phi" die definierte Dichtefunktion, dann bezeichnen wir die zugehörige Wahrschienlichkeitsverteilung p_"Phi" als Standard-Normalverteilung. D.h., dass für alle a,b ∈R mit a<b folgendes gilt: p"phi" =([a;b])= ∫ba "phi" (t) dt Häufig findet man auch andere Bezeichnungen wie z.B. normierte Gaußverteilung
• Stetige Zufallsvariablen und diskrete, vollständig charakterisieren Diskrete Zufallsvariablen sind dadurch gekennzeichnet, dass man die Anzahl ihrer Ausprägungen abzählen kann. Das Zufallsverhalten einer diskreten Zufallsvariablen X mit k Ausprägungen xi mit i=1,2,…,k und den Eintrittswahrscheinlichkeiten pi=P(X=xi) lässt sich vollständig durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) oder die Verteilungsfunktion F(x) charakterisieren. Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Trägermenge, also die Menge der möglichen Realisationen, ein Intervall. Das Verhalten einer stetigen Zufallsvariablen X lässt sich wie im diskreten Fall durch die Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x) vollständig charakterisieren.
• Stetige Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn sich ihre Verteilungsfunktion als Integral einer Funktion: f(x):ℝ→[0,1) schreiben lässt: F(x)=P(X≤x)= ∫x−∞ f(t) dt  ,∀x∈ℝ Wer sich nun wundert, warum wir auf einmal f(t) statt f(x) schreiben: Weil wir das x schon für die Verteilungsfunktion F verwenden, müssen wir uns bei der Dichte kurzfristig einen neuen Buchstaben überlegen.
• Die Funktion f(x) heißt ? und vermittelt einen visuellen Eindruck der Verteilung. Die Funktion f(x) heißt Dichtefunktion und vermittelt einen visuellen Eindruck der Verteilung.
• Merke: f(x)≠P(X=x) und F(x)= Merke: f(x)≠P(X=x) und F(x)=P(X≤x)
• Dichten sind keine ?, aber vielmehr gibt die Fläche unter der Dichtefunktion die ? an: Integralrechnung! Dichten sind keine Wahrscheinlichkeiten, aber vielmehr gibt die Fläche unter der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit an: Integralrechnung!
• Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet, wenn sie Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt.
• Der Wertebereich ist meistens ein Intervall ... Der Wertebereich ist meistens ein Intervall aller reellen Zahlen oder die Menge aller reellen Zahlen selbst.
• Bei einer stetigen Zufallsvariablen ist P(X=x)=0, da es als unmöglich angesehen wird, ...?. Man betrachtet bei einer stetigen Zufallsvariablen nur Wahrscheinlichkeiten der Art P(X≤x), welche durch die Verteilungsfunktion charakterisiert wird. Bei einer stetigen Zufallsvariablen ist P(X=x)=0, da es als unmöglich angesehen wird, genau einen bestimmten Wert x zu „treffen“. Man betrachtet bei einer stetigen Zufallsvariablen nur Wahrscheinlichkeiten der Art P(X≤x), welche durch die Verteilungsfunktion charakterisiert wird, siehe Gl. (1).
• Die Dichtefunktion f und die Verteilungsfunktion F enthalten ?. Der Unterschied besteht lediglich ? Die Dichtefunktion f und die Verteilungsfunktion F enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.
• Es gelten folgende Eigenschaften für die Dichtefunktion: Nichtnegativität: f(x)>0  ∀x∈ℝ Normiertheit: ∫∞−∞ f(x) dx=1, das entspricht der Fläche unter der Funktion! Merke: Es wird immer ein Intervall betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit für exakt einen Wert ist immer gleich Null!
• Verteilungsparameter stetiger Zufallsvariablen Verteilungsparameter sind Größen, die bestimmte Aspekte einer Verteilung charakterisieren, wie zum Beispiel Lage, Streuung oder Schiefe einer Verteilung. Wichtige Parameter sind: (Erwartungswert) Erwartungswert (Lageparameter): Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung und beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Ist die Zufallsvariable X stetig, so ist die Verteilung durch die Dichte f(x) bestimmt. Die Randwerte von −∞ bis ∞ bedeuten, dass über den gesamten definierten Bereich integriert wird. Der Erwartungswert wird auch oft als μ bezeichnet. μ=E(X)=  ∫∞−∞ x⋅f(x) dx
• Verteilungsparameter stetiger Zufallsvariablen Verteilungsparameter sind Größen, die bestimmte Aspekte einer Verteilung charakterisieren, wie zum Beispiel Lage, Streuung oder Schiefe einer Verteilung. Wichtige Parameter sind: (Varianz) Varianz (Streuungsparameter): Varianz beschreibt die Streuung einer ZV. Die Varianz von der stetigen ZV X ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung von ihrem Erwartungswert: σ2=V(X)=∫∞−∞ (xj−μ)2⋅f(x) dx Der Verschiebungssatz σ2=∫∞−∞ x2f(x) dx–μ2 erleichtert meist die Berechnung der Varianz.

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