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Computerübung (Subject) / angewandte Statistik (Lesson)

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• Test auf Unkorreliertheit Test auf Unabh unter Voraussetzung, dass Variablen bivariat normalverteilt H0: p=0 > Variablen unkorreliert und aufgrund der gemeinsamen NV auch unabh zweiseitig (zB F-Verteilung immer) - H1: p ungleich 0
• Test auf Unkorreliertheit - Vorgehensweise Überprüfen, ob best Korrelation vorliegt > H0: p=p0 Voraussetzung: normalverteilte Variablen W ist asymptotisch normalverteilt; Stichprobenumfang >=25 Interpretation: Test kann zu einem Signifikanzniveau von 5% einen linearen Zshang nachweisen (zB zwischen Körpergröße und Gewicht)
• Korrelationsanalyse für ordinal messbare Merkmale - Spearmans p (?) + Eigenschaften Korrelation (bestehende Abhängigkeiten zw Variablen) erfassbar über Rangstichproben Stichprobenwerte der Größe nach geordnet > Ränge der Variablen bestimmt -1<=p<=+1 p(s)=1 > beide Merkmale besitzen gleiche Rangordnung; p(s) = -1 > gegensätzliche Rangfolge >> weisen auf übereinstimmende bzw gegenläufige Tendenzen in Rangordnungen zw Variablen hin p0=0 : keine Rangkorrelation zw Variablen - sind diese unabh, dann p(s) ~ 0
• Test auf Unabh auf Basis des Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten zum Prüfen auf Unabh der Variablen, ohne Verteilungsvoraussetzungen H0: Variablen sind stochastisch unabh Z = asymptotisch N(0,1)-verteilt; n > 30
• Korrelationsanalyse für ordinal messbare Merkmale - Kendall's T Rangkorrelationskoeffizienten > Kendall als Kenngröße zur Beurteilung der Korrelation zweier Messreihen Rangstichprobe zu Variable X1 der Größe nach ordnen und gleichzeitig Rangstichprobe zur Variablen X2 entsprechend umordnen -1<=T<=+1 >> Test auf Unabh zweier Messreihen durchführbar - Verteilungsvoraussetzungen nicht benötigt viele Transformationen der SP nötig > schwer interpretierbar
• partielle Korrelation vor der Korrelationsanalyse zunächst linearen Einfluss der Drittvariablen auf die zwei Variablen mittels linearer Regression herausrechnen
• partielle Korrelation - Vorgehensweise Regressionskoeffizienten mithilfe Methode der kleinsten Quadrate bestimmt > partieller Korrelationskoeffizient - misst lineare Abh zw X1 und X2 nach Ausschaltung der linearen Einflüsse von Drittvariablen Variablen, deren Einfluss durch lineare Regression eliminiert = Kontrollvariable
• Eigenschaften des partiellen Korrelationskoeffizienten  -1 <= p <=+1 p = 0 bedeutet: Nach Herausrechnen der linearen Einflüsse der Drittvariablen sind die zwei Variablen unkorreliert p ~ +-1 bedeutet: auch nach Ausschaltung linearer Einflüsse von Drittvariablen besteht ein nahezu linearer Zshang > Test auf partielle Unkorreliertheit (Voraussetzung: NV; H0: p=0 - X1 und X2 sind bzgl Drittvariablen partiell unkorreliert; t-verteilt)
• partieller Korrelationskoeffizient - Auswertung empirischer partieller Korrelationskoeffizient besitzt nahezu gleiche Größe - also hat Drittvariable nur einen sehr geringen Einfluss auf Zshang
• Scheinkorrelation Bsp 1 X = X1 + X3 --- Y = X2 + X3 --- Z = X3 > X und Y = pos korreliert (Scheinkorrelation); Korrelation zw X und Y beruht wegen der Unabh von X1 und X2 auf der Wirkung von Z und X3 partielle Korrelation: bei konstant gehaltenem Einfluss von Z sind X und Y partiell unkorreliert > zunächst pos Korrelation erweist sich als Scheinkorrelation
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• Scheinkorrelation Bsp 2 X = X1 + X3 --- Y = X2 - X3 --- Z = X3 Abh zw X und Y bestehen, aber durch gegenläufiges Einwirken von X3 auf X und Y gestört partielle Korrelation zeigt, dass Unkorreliertheit auf gegensätzlich wirkenden Einfluss von Z zurückführbar bei Ausschaltung dieses Einflusses besteht sogar lineare Abh
• lineare Regression Untersuchung von Zshängen, Ursache-Wirkungs-Beziehungen zw einer oder mehreren unabh und einer abh Variablen >> Ziel: Vorhersageeiner Variablen aus einer anderen Variablen AV = Kriterium, vorherzusagende Variable; UV = Prädiktoren Vermutung der linearen Abh Dach𝒚i = b0+b1*xi > Regressionskoeffizienten, b0 = Schnittpunkt mit der y-Achse, 𝒃𝟏 = Steigung der Gerade deskriptives Analysewerkzeug durch Bestimmung der Regressionsgeraden und Darst in einem Streudiagramm induktives Analysewerkzeug, da man durch statistische Tests genauere Aussagen über Grundgesamtheit erhält, speziell Infos über Zshänge zw Variablen
• einfache lineare Regression Beschreibung der Abh einer Variablen Y von X durch eine Regressionsgerade Regressionskoeffizient gewählt, sodass Summe der quadrierten Abw zw den tatäschlich beobachteten Werten und den aus der Regression geschätzten Werten (Residuen) = minimal Regressionsgerade zur Vorhersage des Wertes der abh Variablen Y, wenn der Prädiktor X den Wert x annimmt
• einfache lineare Regression - Auswertung erste beiden Tabellen Modellübersicht + ANOVA > Angaben zur Regression allgemein Modellübersicht: R ist nicht Korrelation; R^2 - Determinationskoeffizient, 10% der Varianz können durch die Regression aufgeklärt werden; Standardfehler: bei der Vorhersage der Wohnungsgröße aus dem Einkommen liegen wir im Mittel um 19 m^2 daneben ANOVA: Quadratsumme der Regression - Punkte auf Gerade; QS der nicht standardisierten Residuen - nicht auf Gerade liegende Punkte; sig. > Prüft, ob alle Prädiktoren zusammen signifikante Vorhersagekraft haben, ob in Population generalisierbar: H0: keine signifikante Varianzaufklärung H1: signifikante Varianzaufklärung
• Bestimmtheitsmaß = Gütekriterium für die lineare Regression (eig Determinationskoeffizient?); R^2 [0, 1] = Anteil der durch die Regression erklärten Variation an der gesamten Variation der AV zB 75% der Schwankung des Körpergewichts lässt sich auf den linearen Zshang zw Körpergröße und Körpergewicht und die Variation des Körpergewichts erklären - restliche 25 % der Schwankung haben andere Ursache R^2=1 - alle Werte liegen auf Regressionsgeraden =0 - Regressionsgleichung kann keinerlei Schwankung der AV erklären - Schwankung entsteht zu 100% aufgrund der Schwankung der Residuen
• Güte der Regression R^2 ~ 0 >> geringe Güre der Regression, da mit Hilfe der Regressionsgeraden keine gute Prognose für AV getroffen
• statistische Tests für die Regressionskoeffizienten = untersuchen, ob die Regressionskoeffizienten signifikant von Null verschieden + entsprechende Prädiktorvariable tatsächlich einen Erklärungbeitrag zur Regression liefert >> standardisierte Regressionskoeffizienten - skalenunabh interpretierbar Varianzanalyse und lineare Regression - starke Ähnlichkeiten, da als lineares Modell betrachtbar H0: ß1 = 0 (kein linearer Zshang zw X und Y) H1: ß1 ungleich 0 (zweiseitig) >> durchgeführt für den Regressionskoeffizienten
• multivariate lineare Regression und korrigiertes Bestimmtheitsmaß mehrere Prädiktoren R^2 steigt, selbst wenn zusätzliche AVs keinen Beitrag zur Regression liefern > korrigiertes Bestimmtheitsmaß korrigiert diesen Effekt
• Skalenniveaus Nominalskala > Messung Gleichheit oder Un~ von Ausprägungen, kein Mittelwert etc; zB Essverhalten Ordinalskala > zus Messung von größer/kleiner-Relationen, Median mgl; zB Platzierungen im Sport Intervallskala > zus Gleichheit oder Un~ von Differenzen, Mittelwert mgl, Nullpunkt variabel; zB Temperatur in °C Verhältnisskala > zus Gleichheit oder Un~ von Verhältnissen; zB Temperatur in °K Absolutskala > natürliche Maßeinheiten mit natürlichem Nullpunkt; Häufigkeiten
• Streudiagramm zwei metrisch skalierte Variablen auf x- und y-Achse
• statistische Kennwerte Lagemaße: beschreiben typische Werte (z.B. Durchschnitt) Streuungsmaße: beschreiben Variation in den Daten (z.B. Spanne zwischen größtem und kleinstem Wert)
• Def Modus - Median - Mittelwert - Spannweite - Varianz - Standardabw Modus: häufigster Wert Median: Wert, unter dem 50% der Daten liegen Mittelwert: Durchschnitt Spannweiter: Differenz des größten und des kleinsten Werts Varianz: Maß für die Größe der Abweichung vom Mittelwert Standardabw: Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals rund um dessen Mittelwert; durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt
• Explorative Datenanalyse Erkennung von Musternoder untypischen Werten in den Daten 2 wichtige Diagramme in der EDA: Boxplots – Stamm-Blatt-Diagramme
• Boxplot Erklärung der einzelnen Bestandteile Median: Wert, unter dem 50% der Daten liegen Oberes Quartil (Q75): Wert, unter dem 75% der Daten liegen Unteres Quartil (Q25): Wert, unter dem 25% der Daten liegen Interquartilsabstand(IQR): Differenz von Q75 und Q25 Innere Zäune: Linien im Abstand von 1,5 x IQR von den Quartilen, Werte außerhalb gelten als Ausreißer Whiskers: markieren die Werte, die den Zäunen am nächsten liegen (innerhalb) Ausreißer: stark abweichende Werte, erfordern weitere Betrachtung (untypisches Verhalten, Fehler im Datensatz…)
• Inferenzstatistik Zieht Schlüsse über die Population, basierend auf Stichprobendaten– Schätzung von Populationsparametern aus Stichprobenkennwerten– Konfidenzintervalle – Signifikanztests
• Kennzeichnung von Populationsparametern mit griechischen Buchstaben Stichproben-Mittelwert 𝒙 > µ Stichproben-Standardabweichung s > σ Stichproben-Varianz s² > σ² Kennzeichnung von geschätzten Parametern mit „Dach“
• Hypothesen und Fehler beim Signifikanztest Nullhypothese(H0): Es liegt kein Effekt vor Alternativhypothese(H1): Es liegt ein Effekt vor Fehler 1. Art (α-Fehler): Nullhypothese stimmt, wird aber abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): Alternativhypothese stimmt, wird aber abgelehnt Oftmals entspricht H1 der Forschungsfrage– Diese soll kritisch geprüft und nicht leichtfertig angenommen werden– H1 wird nur angenommen, wenn Daten deutlich gegen die H0 sprechen
• Beispiel Gerichtsprozess - Signifikanztest H0: Herr X hat keinen Mord begangen, ist also unschuldig Falls Herr X unschuldig ist, wie wahrscheinlich ist es dann, all diese Indizien zu finden? > höchst unwahrscheinlich  > Ablehnung der Ausgangshypothese > schuldig
• Signifikanzschwelle α Die Signifikanzschwelle αist eine festgelegte Obergrenze für den α -Fehler, nach Konvention oft 0.05 bzw. 5% p-Wert ≤ α gilt als signifikant/statistisch bedeutsam auf dem jeweiligen Signifikanzniveau Interpretation: Nullhypothese wird verworfen oder beibehalten
• KI der Differenz Mittelwert = 2196,96 € – Testwert = 3069 € > Differenz = -872,041 H0: µ = µ0 > falls H0 gilt, sollte die Differenz 0 sein Der Wert 0 wird vom Konfidenzintervall der Differenz nicht überdeckt (95% unten = -1162,28 – 95% oben = -581,80 ) > entspricht signifikanten Test
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• KI für Mittelwert Überdeckt den gefundenen Mittelwert zB 95% unten = 1906,72 – 95% oben = 2487,20 H0: µ = µ0 = 3069 € – Der Wert aus der Nullhypothese (3069 €) wird vom Intervall nicht überdeckt > entspricht signifikanten Test
• Abhängige vs. unabhängige Stichproben Unabhängige Stichproben: Elemente der Stichproben hängen nicht miteinander zusammen Abhängige Stichproben: Elemente der Stichproben hängen inhaltlich miteinander zusammen Beispiel: – Messwiederholung (gleiche Personen, verschiedene Zeiten) – Ehepartner (gleiche Umwelt) – Eineiige Zwillinge (gleiche Gene)
• Überprüfung auf NV und Varianzhomogenität die zu testende Variable sollte normalverteilt sein (in jeder der beiden Stichproben) > K-S-Test, Verweis auf Zentralen Grenzwertsatz  Varianzhomogenität kann mittels Levene-Test geprüft werden: – H0: Varianzen sind gleich – H1: Varianzen sind nicht gleich > wenn keine Varianzhomogenität vorliegt, dann Welch-Test
• t-Test für 2 Stichproben (unabhängig) - Hypothesen für zwei-, rechts-, linksseitig Hypothesen (zweiseitig) – H0: Mittelwert1 = Mittelwert2 (µ1 = µ2) – H1: Mittelwert1 ≠ Mittelwert2 (µ1 ≠ µ2) Hypothesen (rechtsseitig) – H0: Mittelwert1 ≤ Mittelwert2 (µ1 ≤ µ2) – H1: Mittelwert1 > Mittelwert2 (µ1 > µ2) Hypothesen (linksseitig): – H0: Mittelwert1 ≥ Mittelwert2 (µ1 ≥ µ2) – H1: Mittelwert1 < Mittelwert2 (µ1 < µ2)
• t-Test für abhängige Stichproben Mittelwerttest, parametrisch, basiert auf t-Verteilung  2 empirische Stichproben, zum Vgl zweier abh Stichproben verwendet H0: Differenz der Mittelwerte ist null (µ1 − µ2 = 0) – H1: Differenz der Mittelwerte ist nicht null (µ1 − µ2 ≠ 0) > zweiseitig Erfordert intervallskalierte Variablen sowie Normalverteilung der Differenz der beiden Stichproben
• t-Test für 2 Stichproben (abhängig) Hypothesen zwei-, rechts- linksseitig Hypothesen (zweiseitig) – H0: Differenz der Mittelwerte ist 0 (µ1 − µ2 = 0) – H1: Differenz der Mittelwerte ist ungleich 0 (µ1 − µ2 ≠ 0) Hypothesen (rechtsseitig) – H0: μ1 − μ2 ≤ 0 – H1: μ1 − μ2 > 0 >> Beispiel: bessere motorische Fähigkeiten vor Alkoholkonsum? Hypothesen (linksseitig): – H0: μ1 − μ2 ≥ 0 – H1: μ1 − μ2 < 0>> Beispiel: Verbesserung der psychischen Gesundheit nach Psychotherapie?
• ANOVA > kleiner F-Wert ANOVA prüft Hypothesen über Mittelwerte und nutzt dazu Varianzen Wenn die H0 stimmt, sind die Mittelwerte in jeder Gruppe gleich > wenig Varianz zwischen den Gruppen > kleiner Wert im Zähler > kleiner F-Wert Mittelwerte Verschieden > viel Varianz zw Gruppen > größerer F-Wert nur ein Mittelwert unterscheidet sich vom Rest > Varianz zw Gruppen groß > größerer F-Wert
• Post-Hoc-Tests - für Varianzanalyse Nach sign ANOVA ist nur bekannt, dass es zwischen Gruppen einen Mittelwertsunterschied gibt– Nicht bekannt ist, zwischen welchen Gruppen Unterschiede bestehen > Post-Hoc-Tests
• Berechnungsweisen nonparametrischer Tests in SPSS Asymptotisch: Standard, geringer Rechenaufwand, benötigt größere Stichprobe Exakt: langsam und mit hohem Rechenaufwand, aber für jede Stichprobengröße möglich
• kurzer Überblick nonparametr Tests Normalverteilungstests: – Kolmogorov-Smirnov-Test mit Korrektur nach Lilliefors – Shapiro-Wilk-Test (für N<50) Test auf Binomialverteilung Alternativtests für t-Test und ANOVA (Homogenitätstests): – Mann-Whitney-U-Test >> t-Test für unabhängige Stichproben – Wilcoxon-Test >> t-Test für abhängige Stichproben – Kruskal-Wallis-H-Test oder Chi^2-Homogenitätstest >> einfaktorielle ANOVA - Friedman-Test >> einfaktorielle ANOVA für Messwdh
• Chi²-Tests Anpassungstest: Folgt eine empirische Verteilung einer theoretischen Verteilung? Unabhängigkeitstest: Sind 2 Variablen voneinander unabhängig? Homogenitätstest: Liegen in 2+ Gruppen homogene Verteilungen vor?
• Prüfung auf NV - für jeden Test versch Einfacher t-Test > Testvariable auf NV prüfen Doppelter t-Test (unabhängig) > Testvariable auf NV in beiden Gruppen prüfen Doppelter t-Test (abhängig) > Differenz der beiden Testvariablen berechnen und auf NV prüfen Einfaktorielle ANOVA > Testvariable auf NV in allen untersuchten Gruppen prüfen
• Normalverteilungsdiagramme: Grafische Prüfung auf Normalverteilung– Q-Q-Plot: kumulierte empirische Quantile gegen kumulierte Quantile der NV– P-P-Plot: kumulierte empirische Wahrscheinlichkeiten gegen kumulierte Wahrscheinlichkeiten der NV– Ist die Variable normalverteilt, liegen die Punkte im Diagramm auf einer Linie
• U-Test Alternative zum t-Test für unabhängige Stichproben: Bei fehlender Normalverteilung der AV – Bei ordinalskalierter AV Hypothesen: – H0: Die Variable hat in beiden Grundgesamtheiten die gleiche Verteilung – H1: Die Verteilung der Variable unterscheidet sich zwischen den beiden Grundgesamtheiten Berechnung erfolgt über Ränge ➢Wenn Frauen kleiner sind als Männer, sollten sie niedrigere Ränge bei der Körpergröße haben
• Wilcoxon-Test Alternative zum t-Test für abhängige Stichproben: Bei fehlender Normalverteilung der Differenz der Variablen – Bei ordinalskalierten AVs Berechnung erfolgt über Ränge für Differenzen H0: Der Median der Differenz der beiden Messungen ist 0 – H1: Der Median der Differenz der beiden Messungen ist ungleich 0
• Kruskal-Wallis-H-Test Alternative zur einfaktoriellen ANOVA: Bei fehlender Normalverteilung der Variablen – Bei ordinalskalierter AV Berechnung erfolgt über Ränge H0: Die Variable hat in allen Grundgesamtheiten die gleiche Verteilung – H1: Die Verteilung der Variable unterscheidet sich zwischen den Grundgesamtheiten
• Binomialtest - Anpassung des p-Werts zu testender Anteil >> Test in SPSS >> Fragestellung >> Anpassung Testanteil = 0,5       >> Zweiseitig     >> Zweiseitig        >> Keine AnpassungTestanteil ≠ 0,5       >> Einseitig        >> Zweiseitig        >> p-Wert verdoppelnTestanteil = 0,5       >> Zweiseitig      >> Einseitig          >> p-Wert halbierenTestanteil ≠ 0,5       >> Einseitig        >> Einseitig           >>Keine Anpassung
• Rangkorrelationen Zusammenhangsmaße, basierend auf Rängen und damit bereits bei ordinalen Variablen anwendbar• Variieren von -1 bis +1, ähnlich wie r• Benötigen keine Normalverteilung für Durchführung des Signifikanztests Bei min. ordinalen Variablen und monotonen Zusammenhängen gilt: keine signifikante Korrelation > Unabhängigkeit
• Partialkorrelation Zusammenhang zweier Variablen kann durch Zusammenhang mit Drittvariable zustande kommen• Mittels Partialkorrelation wird der Einfluss einer Variable auf den Zusammenhang zweier Variablen bereinigt• rxy.z ist der Zusammenhang von X und Y ohne den Einfluss von Z lineare Zusammenhänge und metrisches Skalenniveau vorausgesetzt• Für Prüfung der Signifikanz ist wieder eine Normalverteilung der Variablen nötig
• Bsp für versch Ergebnisse - Partialkorrelation Korrelation verringert sich auf 0, sobald man die Drittvariable kontrolliert (Scheinkorrelation)– Ein Zusammenhang wurde durch die Drittvariable verdeckt, nach Kontrolle findet man eine signifikante Korrelation– Die Kontrolle der Drittvariable hat überhaupt keinen Einfluss auf einen Zusammenhang

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