Menge
Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einem Ganzen
Element
einzelnes Objekt einer Menge
Teilmenge
A ist die Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B ist
Schnittmenge
die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B sind
Vereinigungsmenge
Menge aller Elemente, die in A ODER in B sind
Differenzmenge
Die Differenzmenge B\A ist die Menge aller Elemente, die in B, aber nicht in A sind
Komplementärmenge
Alle Ereignisse einer Menge, die nicht in A, aber in der Menge enthalten sind
Potenzmenge
die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmenge von A z.B. A=[1,2,3] P(A)=[0;1;2;3;1,2;...]
Mächtigkeit
die Mächtigkeit von A gibt an, wie viele Elemente in A enthalten sind
Zufallsvorgang
führt zu einem von mehreren möglichen, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen
Zufallsexperiment
Zufallsvorgang, der unter kontrollierten Bedingungen abläuft
Ergebnisraum
mögliche Ergebnisse eines Zufallsvorgangs z.B. Münzwurf -> Kopf/Zahl; Würfeln -> 1-6
(Zufalls-)Ereignis
Zusammenfassung mehrerer Ergebnisse eines Zufallsvorgangs
besondere Zufallsereignisse
Elementarereignis: enthält als Element nur ein einziges Ereignis unmögliches Ereignis: leere Menge -> es kann nicht nichts eintreten sicheres Ereignis: Jede Menge ist Teilmenge ihrer selbst -> ein Ereignis muss eintreten disjunkte Ereignisse: zwei Ereignisse, die sich ausschließen
Laplace-Experiment
Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Anzahl K aller möglichen Ergebnisse
Modell mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der möglichen Ergebnisse: K=kn k: Anzahl der möglichen Einzelergebnisse n: Anzahl der Ziehungen
Modell ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
K = k! / (k-n)! k: Anzahl der Ergebnisse n: Anzahl der Wiederholungen Fakultät von 0 ist gleich 1
Permutation
eine Permutation ist eine bestimmte Reihenfolge von Elementen bei k Elementen gibt es genau k! Permutationen
Modell ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
K = k! / (K-n)!*n! k: Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit n: Umfang der Stichprobe auch Binomialkoeffizient genannt (k über n)
Axiome von Kolmogoroff
1: Nichtnegativität: W. sind entweder gleich 0 oder positiv 2: Normiertheit: W. können maximal den Wert 1 annehmen 3: Additivität: falls P(A) und P(B) disjunkt, kann man ihre Wahrscheinlichkeit addieren
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
P(A) liegt immer zwischen 0 und 1 leere Menge hat eine W. von 0 Ist P(A) eine Teilmenge von P(B), dann ist die W. von B größer als von A Komplementärmenge von P(A) = 1 - P(A) Wenn P(A) und P(B) paarweise disjunkt sind, ist ihre W. additiv
bedingte Wahrhscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A, wenn ein Ereignis B bereits eingetreten ist W. der Schnittmenge von A und B / W. von B
stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse der unbedingte Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse entspricht
Bayes-Theorem
ist nötig zur Umrechnung von einer bedingten Wahrscheinlichkeit in deren umgekehrte
