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Nichtkooperative Spiele, Auktionen und Experimente (Subject) / 1. Grundlagen der Theorie nichtkooperativer Spiele (Lesson)

Elemente eines Spiels Lösung eines Spiels

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  • Folie 05 Die Elemente eines Spiels ? Die Spielermenge N Der Strategieraum S Der Auszahlungsraum A Die Informationsmenge I Die Rationalitätsannahme
  • Folie 06 Die Elemente eines Spiels: Die Spielermenge N ? Es gibt i = 1, …, n Spieler. Jeder Entscheidende ist ein Spieler. Ein Spieler ist nicht notwendigerweise ein Individuum, sondern kann z. B. auch ein Unternehmen, ein privater Haushalt, ein Staat oder ein Team sein.
  • Folie 07 Die Elemente eines Spiels: Der Strategieraum S ? Jede einem Spieler i mögliche Entscheidung (Handlung, Spielzug) bzw. (in dynamischen Spielen) Entscheidungssequenz (Handlungsabfolge, Zugfolge) ist eine „reine“ Strategie si dieses Spielers. Die Menge aller ihm möglichen Strategien ist seine Strategiemenge Si. Wählt jeder Spieler eine Strategie si, so ergibt sich eine Strategiekombination s = s(s1, …, si,…, sn ). Die Menge aller möglichen Strategiekombinationen s ist der Strategieraum S des Spiels. Im Folgenden wird stets von endlichen, nach oben und unten beschränkten Strategiemengen ausgegangen. Diese können diskret oder stetig sein. Sind bestimmte Strategiemengen Si gegeben, so ist mit diesen auch festgelegt, ob die Entscheidungen (Handlungen, Züge) verschiedener Spieler simultan oder sequentiell erfolgen. Ein Spieler kann auch so genannte „gemischte“ Strategien verfolgen: Hier wählt er zwei oder mehr reine Strategien mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten („randomisiertes“ Verhalten).
  • Folie 09 Die Elemente eines Spiels: Der Auszahlungsraum A ? Wird von den Spielern eine bestimmte Strategiekombination s gespielt, so führt das beim i-ten Spieler zu einer Auszahlung ai und insgesamt über alle Spieler zu der Auszahlungskombination a = (a1,…., ai,…, an ). Den Zusammenhang zwischen den Strategiekombinationen und den Auszahlungen des i-ten Spielers bezeichnet man als seine Auszahlungsfunktion Ai = Ai(s). Die Menge aller möglichen Auszahlungskombinationen a ist der Auszahlungsraum A des Spiels.
  • Folie 10 Die Elemente eines Spiels: Die Informationsmenge I ? Die Informationsmenge I eines Spiels ist die Menge aller spielerspezifischen Informationsmengen Ii. Die Informationsmenge Ii gibt an, was der i-te Spieler alles mit Blick auf•die Spielermenge N,•den Strategieraum S•den Auszahlungsraum A•die anderen Informationsmengen Ii•und die Rationalität der anderen Spielerweiß. Von besonderem Interesse für die Lösung eines Spiels ist die Antwort auf die Frage, was das gemeinsame Wissen aller Spieler bezüglich N, S und A alles umfasst. Dieses common knowledge sind jene Fakten über N, S und A, die jedem Spieler bekannt sind und von denen jeder weiß, dass sie auch allen anderen bekannt sind (…). Kennt ein Spieler die Strategiemengen Si und die Auszahlungsfunktionen Ai aller Spieler, so kann er sich auch alle möglichen Strategiekombinationen s und Auszahlungskombinationen a erschließen und kennt somit auch die Spielermenge N, den kompletten Strategieraum S und den kompletten Auszahlungsraum A des Spiels. Er hat dann „vollständige Information“.
  • Folie 12 Die Elemente eines Spiels: Die Rationalitätsannahme ? Die Rationalitätsannahme ist letztlich entscheidend dafür, wie die Spieler aus ihren Informationsmengen ihre Entscheidungen und Handlungen ableiten. Zentral ist hier das Konzept der Ziel-Mittel-Rationalität: •Es liegt ein klar formuliertes Ziel vor,•die Mittel (Aktionsparameter) zur Zielerreichung sind bekannt•und werden so eingesetzt, dass die Zielgröße optimiert wird. Rationales Entscheiden bedeutet Zweierlei:1. Ziel ist die Optimierung der eigenen Auszahlungsfunktion.2. Es werden zu diesem Zweck „rationale Erwartungen“ hinsichtlich derEntscheidungen der anderen Spieler gebildet:•Grundlage dieser Erwartungsbildung: Auch die anderen Spieler verhalten sich rational im Sinne der Ziel-Mittel-Rationalität.•Außerdem muss die Erwartungsbildung konsistent sein: Das eigene Verhalten darf die Erwartungen über das Verhalten der anderen nicht widerlegen. Wie die rationalen Erwartungen und damit die rationalen Spielzüge konkret aussehen, hängt bei gegebener Spieler-, Strategie- und Auszahlungsmenge wesentlich von der Informationsmenge des Spiels ab.(Rationalität und rationale Erwartungsbildung implizieren keinesfalls die Annahme vollständiger Information! Rationale Erwartungen können sich daher auch ex post als unzutreffend erweisen. Dennoch waren sie ex ante „richtig“.) Im Weiteren analysieren wir nur rationales Entscheiden aller Spieler im Sinne der Optimierung ihrer Auszahlungsfunktion als Zielsetzung und bei Bildung rationaler Erwartungen im obigen Sinne.Außerdem gehen wir stets davon aus, dass alle Spieler wissen, dass auch alle anderen Spieler sich rational verhalten und zudem wissen, dass alle anderen Spieler wissen, dass sie das wissen (…).Die allseitige Rationalität ist also stets common knowledge.
  • Folie 42 Eine Klassifikation von Spielen: Kooperative vs. nichtkooperative Spiele ? Ein kooperatives Spiel liegt vor, wenn in den Spielregeln (N, S, A, I, R) – also exogen – festgelegt ist, dass einige oder alle Spieler gegenseitig bindende Vereinbarungen (Verträge) hinsichtlich ihrer Entscheidungen eingehen können. Im obigen Öffentliches-Gut-Spiel gäbe es dann beispielsweise die Strategien „keinen Finanzierungsvertrag abschließen“ mit den beiden Unterstrategien Z und NZ und die Strategie „Finanzierungsvertrag abschließen“. Aus dem obigen Kollusions-Spiel würde ein kooperatives Spiel, wenn die Spielregeln den Abschluss eines einklagbaren Kartellvertrags vorsehen würden. Die Lösung eines kooperativen Spiels besteht im Kern im Finden einer Verhandlungslösung (Vertragsausgestaltung), also beispielsweise wer welchen Finanzierungsbeitrag leistet oder wer in einem Mengenkartell welche Mengen anbietet. Zu einer Kooperation von Spielern kann es auch in einem nicht-kooperativen Spiel kommen – dann aber als endogenes Ergebnis nicht-kooperativen Verhaltens (und nicht als exogene Vorgabe in den Spielregeln). Beispielsweise kann man das obige Kollusions-Spiel so abwandeln, dass es zum Nashgleichgewicht (kooperieren, kooperieren) kommt – eben zu einer Kollusion als einem Kartell ohne Vertrag (abgestimmtes Verhalten). Dazu müsste man das Spiel über mehrere Perioden laufen lassen, sodass das Brechen der Absprache durch einen Spieler von den anderen Spielern in den Folgeperioden sanktioniert werden kann. Ist diese Sanktionsmöglichkeit entsprechend ausgestaltet, kann dies die Kooperationslösung als Nashgleichgewicht des (in den Spielregeln als nicht-kooperativ angelegten) Spiels implementieren.
  • Folie 45 Eine Klassifikation von Spielen: Spiele mit vollständiger Information vs. Spiele mit unvollständiger Information ? Ein Spiel mit vollständiger Information liegt vor, wenn die Spielregeln (N, S, A, I, R) allgemeines Wissen aller Spieler sind. Bei Spielen mit unvollständiger Information kennen Teile der Spieler die Spielermenge und / oder den Strategieraum und / oder den Auszahlungsraum des Spiels nicht vollständig und / oder nur im Sinne einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über mehrere mögliche Ausprägungen der betreffenden N- bzw. S- bzw. A-Teile. Typisches Beispiel: Die Spieler haben vollständige Information über N und S, aber nicht über die Auszahlungsfunktionen Ai(s) der jeweils anderen Spieler und damit über den Auszahlungsraum des Spiels. Das könnte beispielsweise im obigen homogenen duopolistischen Mengenwettbewerb so aussehen, dass beide wissen, dass noch ein Konkurrent da ist, der dasselbe Gut anbietet, und dass beide die gemeinsame Preis-Absatz-Funktion kennen, ihnen aber die genaue Kenntnis der Kostenfunktion des Konkurrenten fehlt. Die Unterscheidung in Spiele mit vollständiger und mit unvollständiger Information stellt auf die Information der Spieler hinsichtlich der Spielregeln (N, S, A, I, R) ab, nicht aber auf ihre Information hinsichtlich der im Rahmen des Spiels (N, S, A, I, R) von den jeweils anderen Spielern gewählten Strategien. So kennt in unseren drei obigen Beispielen infolge der Simultanität der Entscheidungen kein Spieler zum Zeitpunkt seiner Entscheidung die Entscheidung des anderen Spielers (weshalb sie sich ja rationale Erwartungen bilden müssen). Alle drei Beispiele sind aber Spiele mit vollständiger Information, denn es herrscht common knowledge hinsichtlich (N, S, A).
  • Folie 48 Eine Klassifikation von Spielen: Statische Spiele vs. dynamische Spiele ? Ein statisches Spiel liegt vor, wenn die Spieler ihre Entscheidungen unabhängig von den Entscheidungen der jeweils anderen, also allein auf der Basis der Spielregeln und ohne Berücksichtigung eventuell vorangegangener Spielzüge anderer Spieler treffen. Das ist offensichtlich der Fall, wenn alle Entscheidungen zeitlich simultan getroffen werden – wie in unseren drei obigen Beispielen. Denn dann gibt es keine vorangehenden Spielzüge. Das ist aber auch dann der Fall, wenn zwar Spielzüge zeitlich vorangehen, diese aber von den anderen nicht beobachtbar sind. Ein Spiel mit einer zeitlichen aber nicht beobachtbaren Zugabfolge hat dieselbe Normalform wie das entsprechende Spiel mit zeitlich simultanen Zügen und gilt daher als statisches Spiel. Ein dynamisches Spiel liegt vor, sobald mindestens ein Spieler einen Spielzug mindestens eines anderen Spielers beobachten kann bevor er selbst einen Spielzug durchführt. Sind in einem dynamischen Spiel alle jeweils vorangehenden Spielzüge für alle beobachtbar, so liegt perfekte Information vor. Sobald mindestens ein Spielzug nicht beobachtbar ist, spricht man von imperfekter Information. Einfaches Beispiel für ein dynamisches Spiel mit perfekter Information: Statt der in unserem Mengenwettbewerbsbeispiel angenommenen zeitlich simultanen Entscheidung beider Spieler legt nun erst Spieler 1 (verbindlich und irreversibel) seine Menge fest und anschließend unter Kenntnis dieser Menge x1 der Spieler 2 seine Menge x2. Die Lösung (das Nashgleichgewicht) dieses dynamischen Spiels (des sequentiellen Mengenwettbewerbs) ist u. U. eine andere als jene im statischen Spiel (im simultanen Mengenwettbewerb). Die Nashgleichgewichte eines dynamischen Spiels und des zugehörigen statischen Spiels können aber auch identisch sein.
  • Folie 55 Eine Klassifikation von Spielen: Einmalige vs. wiederholte Spiele ? Ein wiederholtes Spiel ist ein dynamisches Spiel, bei dem ein so genanntes „Basisspiel“ im Zeitverlauf an sich unverändert wiederholt wird. Dabei kann das Basisspiel ein statisches oder ein dynamisches Spiel sein. Die Strategiewahlen der Spieler können im wiederholten Spiel anders ausfallen als im zugrundeliegenden Basisspiel,•weil die Spieler ab der ersten Wiederholung des Basisspiels auf eine Vorgeschichte zurückblicken bzw.•weil anders als in einem statischen Spiel (in dem es keine Zukunft gibt) eine bestimmte Strategiewahl in der Gegenwart Auswirkungen auf das Handeln der Spieler in der Zukunft hat. Ein Beispiel ist das Gefangenendilemma, z. B. in der Form unseres Kollusions-Spiels. Dieses hat sowohl in der statischen Version als auch in der dynamischen Version des Vorabschnitts ein eindeutiges Nashgleichgewicht: Die Absprache wird gebrochen. Das kann sich ändern, wenn das Spiel (egal ob in der statischen oder der dynamischen Version des Vorabschnitts) nicht nur einmalig, sondern wiederholt gespielt wird. Ein Spieler, der erwägt, die Absprache zu brechen, kann sich ausrechnen, dass er dann (falls der andere sich daran hält) in der aktuellen Periode einen höheren Gewinn macht als bei Einhalten der Absprache (400 statt 350). Dies hat jetzt aber einen Preis: Der andere Spieler wird sich in Zukunft eventuell auch nicht mehr an die Absprache halten, sodass statt des möglichen Kollusionsgewinns (350) in allen zukünftigen Perioden nur noch der geringere Konkurrenzgewinn (250) erreicht werden kann. Schließt das einmalige Brechen der Absprache eine Kollusion für alle Zukunft aus, wird sich das meist nicht rechnen. Dadurch kann Kollusion zum Nashgleichgewicht werden. Ein zweiter wichtiger Unterschied zwischen einem wiederholten Spiel und einem einmaligen statischen oder einmaligen dynamischen Spiel ist die Möglichkeit zur Informationsgewinnung. Liegt im Basisspiel unvollständige Information vor, so kann das bei Wiederholung zu einem Lernen der Spieler aus den beobachteten Handlungen der Vorperioden führen. Der Grad der Informationsunvollständigkeit (z. B. hinsichtlich der Auszahlungsfunktionen der jeweils anderen Spieler) wird durch die wiederholte Interaktion abgebaut.
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