33209 Statistik I (Subject) / Schließende Statistik 10-12 (Lesson)

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• Die Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt Modelle bereit, die es erlauben, den Verlauf zufallsabhängiger Prozesse abzuschätzen und von Stichproben auf Grundgesamtheiten zu schließen.
• Ein Zufallsvorgang ist ein Prozess, der zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ω (lies: Klein-Omega) führt.   Welches Ergebnis eintritt, ist vorab nicht bekannt.   Die möglichen Ergebnisse Ω (lies: Groß-Omega) heißen Elementarereignisse und werden in einer mit bezeichneten Menge     Ω = {ω : ω ist Elementarereignis}                                                                         (10.1)
• Ergebnismenge Die Menge Ω heißt Ergebnismenge. Sie kann endlich oder auch unendlich viele Elemente enthalten.
• Teilmenge Eine Teilmenge A von Ω heißt Ereignis.
• Elementarereignisse Eine Teilmenge A von Ω heißt Ereignis.   Elementarereignisse sind somit Ereignisse, die nicht weiter zerlegbar sind, also einelementige Teilmengen von Ω darstellen.
• Ist A eine Teilmenge von Ω, abgekürzt A ⊂ Ω (lies: A ist Teilmenge von Ω) und ω das Ergebnis des Zufallsprozesses, so sagt man, dass das Ereignis A eingetreten ist, wenn  ω ein Element von A ist, kurz, wenn  ω ɛ A gilt (lies: ω ist Element von A). 
• Komplementärmenge zu A: Ā Das mit Ā (lies: Komplementärmenge zu A) bezeichnete Komplementärereignis zu A ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn A nicht eintritt. 
• Die Menge Ā umfasst alle Elementarereignisse, die zu Ω, nicht aber zu A gehören. Man schreibt hierfür auch Ā = Ω \ A (lies: Ā ist Differenzmenge von  Ω und A).
• Ein sicheres Ereignis Da auf jeden Fall eines der Elemente der Menge Ω als Ergebnis des Zufallsvorgangs realisiert wird, ist durch Ω ein sicheres Ereignis definiert. 
• Das unmögliche Ereignis Das Komplementärereignis Omega quer, zum sicheren Ereignis Ω ist das unmögliche Ereignis, das durch die leere Menge ∅ ; dargestellt wird. 
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• neue Ereignisse Aus Ereignissen, also Teilmengen einer Ereignismenge Ω, lassen sich durch logische Verknüpfung der sie repräsen-tierenden Mengen neue Ereignisse bilden. So ist durch die Schnittmenge A ∩ B der Ereignisse A und B ein Ereignis definiert, das genau dann eintritt, wenn sowohl A als auch B eintritt. Zwei Ereignisse A und B, deren Schnittmenge die leere Menge  ∅  ist, schließen sich aus. Man spricht auch von disjunkten Ereignissen.     Die Vereinigungsmenge A u B beschreibt ein Ereignis, das dann realisiert wird, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B eintritt. 
• Die Schnittmenge A ∩ B der Ereignisse A und B definiert ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn sowohl A als auch B eintritt.
• Zwei Ereignisse A und B, deren Schnittmenge die leere Menge ∅ ist, schließen sich aus. Man spricht auch von disjunkten Ereignissen.
• disjunkte Ereignisse Zwei Ereignisse A und B, deren Schnittmenge die leere Menge  ∅  ist, schließen sich aus. Man spricht auch von disjunkten Ereignissen.
• Die Vereinigungsmenge A u B beschreibt ein Ereignis, das dann realisiert wird, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B eintritt. 
• Zufallsvorgänge mit unendlicher Ergebnismenge Würde jeder einmal pro Woche Lotto spielen bis das Traumergebnis „Sechs Richtige und Zusatzzahl“ erreicht wird, so könnte die Anzahl der erforderlichen Spiele von 1  bis ∞ variieren, d. h. die Ergebnismenge wäre hier durch die Menge   Ω = {1, 2, 3, …} = N der natürlichen Zahlen gegeben.    Eine Ergebnismenge Ω mit nicht-endlicher Anzahl von Elementen resultiert ebenfalls, wenn man ein Aktienpaket besitzt und dieses so viele Tage halten will, wie der Verkaufswert eine bestimmte Schranke nicht überschritten hat. Die Überschreitung der kritischen Schranke kann hier schon am ersten Tag, nach einiger Zeit oder nie eintreten.    
• Zufallsvorgänge können unter kontrollierten oder nicht-kontrollierten Bedingungen ablaufen. Im erstgenannten Fall spricht man von einem Zufallsexperiment. Die Ziehung der Lottozahlen ist unter gleichbleibenden Bedingungen wiederholbar und daher ein Beispiel für ein kontrolliertes Zufallsexperiment.     Die Durchschnittstemperatur im Monat Juli an einem bestimmten Ort ist hingegen das Ergebnis eines Zufallsprozesses, das unter nicht-kontrollierten Bedingungen zustande kommt.
• Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses die Chance für das Eintreten von Ereignissen A anhand einer Maßzahl P(A) zu bewerten, die nicht von subjektiven Einschätzungen abhängt und im Folgenden als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A angesprochen wird.   P = probability
• Der heute gängige Wahrscheinlichkeitsbegriff der Statistik geht auf den  russischen Mathematiker Andrej Kolmogoroff (1903 - 1987) zurück. 
• Der Wahrscheinlichkeitsbegriff der Statistik Die Bewertung der Chance für das Eintreten eines Ereignisses (Teilmenge der Ergebnismenge Ω einschließlich des unmöglichen Ereignisses ∅ und des sicheren Ereignisses Ω) erfolgt anhand einer Funktion P, die jedem Ereignis A eine als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnete Zahl P(A) zuordnet, welche folgenden Bedingungen genügt:   K1: P(A) ≥ 0 (Nicht-Negativitätsbedingung) K2: P(Ω) = 1 (Normierung) K3: P(A u B) = P(A)+P(B) falls A ∩ B =∅ (Additivität bei disjunkten Ereignissen).   Das dritte Axiom ist hier für den Fall formuliert, dass die Ereignismenge Ω nur endlich viele Elemente enthält. Bei Zufallsvorgängen mit nicht-endlicher Ergebnismenge ist K3 etwas allgemeiner zu fassen und schließt hier auch den Fall der Vereinigung abzählbar unendlich vieler und paarweise disjunkter Ereignisse ein    
• Einige elementare Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Aus dem Axiomensystem von Kolmogoroff lassen sich einige elementare Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten ableiten. Unter Heranziehung der  Venn-Diagramme (aus Abbildung 10.1) verifiziert man die Gleichungen   P(Ā) = 1 - P(A)                                                                                               (10.2) P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)                                                                (10.3) P(A \ B) = P(A) - P(A ∩ B).                                                                           (10.4)    
• Das Axiomensystem von Kolmogoroff liefert noch keinen Ansatzpunkt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse. Um Wahrscheinlichkeiten quantifizieren zu können, benötigt man Zusatzinformationen über den jeweiligen Zufallsvorgang. Eine solche Zusatzinformation kann z. B. Bedingungen für darin bestehen, dass man weiß, dass die Ergebnismenge die nachstehenden Laplace-Experimente Bedingungen erfüllt:   L1: Die Ergebnismenge ist endlich, also Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. L2: Die Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse sind alle gleich groß. 
• Um Wahrscheinlichkeiten quantifizieren zu können, benötigt man über den jeweiligen Zufallsvorgang. Eine solche Zusatzinformation kann z. B. Bedingungen für darin bestehen, dass man weiß, dass die Ergebnismenge die nachstehenden Laplace-Experimente Bedingungen erfüllt:   L1: Die Ergebnismenge ist endlich, also Ω = {ω1, ω2, … , ωn}.   L2: Die Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse sind alle gleich groß.
• Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse.   
• Wahrscheinlichkeiten als Grenzwert relativer Häufigkeiten Ein anderer Ansatz (als nach Laplace) zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(A) für ein Ereignis A beinhaltet – unter der Voraussetzung der beliebigen Wiederholbarkeit eines Zufallsexperiments unter konstanten Bedingungen – die Bestimmung von P(A) als Grenzwert der relativen Häufigkeit für das Eintreten von A. 
• Kombinatorik Um die Wahrscheinlichkeit P(A) von Ereignissen A bei Laplace-Experimenten nach (10.5) zu berechnen, muss man zunächst die dort im Nenner auftretende Anzahl aller Elementarereignisse bestimmen – die Anzahl im Zähler ergibt sich dann aus weiteren logischen Überlegungen.     Hierzu kann man sich der Methoden der Kombinatorik bedienen. 
• Methoden der Kombinatorik Diese repräsentiert ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Ermittlung der Anzahl von Möglichkeiten bei der Anordnung und Auswahl von Objekten befasst.
• Stichprobenmodelle: das Urnenmodell Ein anschauliches Modell, das in der Kombinatorik zur Herleitung zentraler Ergebnisse für Zufallsvorgänge mit endlicher Ergebnismenge eingesetzt wird, ist das Urnenmodell. Man stelle sich ein Gefäß (Urne) mit N durchnummerierten Kugeln vor, von denen n zufällig ausgewählt werden.   Die Auswahl der Kugeln ist als Ziehung einer Zufallsstichprobe des Umfangs n aus einer Grundgesamtheit mit N Elementen zu interpretieren.     Wenn jede denkbare Stichprobe des Umfangs n mit gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert wird, liegt eine einfache Zufallsstichprobe vor. 
• Stichprobenmodelle: das Urnenmodell - mit zurücklegen - ohne zurücklegen Wie viele Möglichkeiten der Auswahl der n Elemente es gibt, hängt davon ab, ob jedes Element der Stichprobe einzeln gezogen und nach der Ziehung wieder zurückgelegt wird oder ob ohne Zurücklegen ausgewählt wird.   Mit zurücklegen Im ersten Fall spricht man vom Urnenmodell mit - Ziehen mit und Zurücklegen oder von einer Stichprobenziehung mit Zurücklegen.   ohne Zurücklegen Der zweite Fall charakterisiert das Urnenmodell ohne Zurücklegen bzw. eine Stichprobenziehung ohne Zurücklegen.   Ein n-facher Münzwurf lässt sich z. B. als eine Stichprobenziehung mit Zurücklegen interpretieren. Dazu muss man sich eine Urne mit zwei Kugeln vorstellen (je eine mit der Aufschrift „Zahl“ und „Kopf“), aus der n-mal jeweils eine Kugel gezogen und vor der nächsten Ziehung zurückgelegt wird. Die Ausgangssituation ist also bei der Entnahme eines jeden Elements der Stichprobe unverändert – stets befinden sich zwei Kugeln in der Urne.   Ein Beispiel für eine Stichprobenziehung ohne Zurücklegen ist die Ziehung der Lottozahlen. Hier ist es ausgeschlossen, dass eine Zahl wiederholt gezogen wird. Beim Urnenmodell ohne Zurücklegen ändert sich die Ausgangssituation mit Ziehung jeder Kugel – die Anzahl der auswählbaren Kugeln nimmt mit jedem Auswahlschritt ab.
• Stichprobenmodelle: das Urnenmodell - Ziehen mit und ohne Berücksichtigung der Anordnung Die Anzahl der Möglichkeiten aus einer Urne n Kugeln zu ziehen, wird aber nicht nur davon bestimmt, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird.   Sie hängt auch davon ab, ob es darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die n nummerierten Kugeln gezogen werden. Man unterscheidet hier zwischen einer Stichprobenziehung mit Berücksichtigung der Anordnung und einer Stichpro-benziehung ohne Berücksichtigung der Anordnung.   geordnete Auswahl Wenn die Anordnung berücksichtigt wird, liegt eine geordnete Auswahl vor, andernfalls eine ungeordnete Auswahl.     Stehen bei der Olympiade im 100-m-Endlauf der Männer 8 Läufer am Start, so kann man die Medaillenvergabe mit der Ziehung einer Stichprobe des Umfangs n = 3 aus einer Grundgesamtheit des Umfangs N = 8 vergleichen, wobei die ersten drei gezogenen Kugeln die Medaillengewinner festlegen. Die Reihenfolge ist hier also wesentlich. Bei der Ziehung der Lottozahlen spielt die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, hingegen keine Rolle.
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• Der Binomialkoeffizient  ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man    k - Objekte aus einer Menge von    n -  verschiedenen Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge).   Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der    k -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.   „49 über 6“ (bzw. „45 über 6“ in Österreich und der Schweiz) ist z. B. die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl).   Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei Zahlen n und  k ab.   Er wird mit dem Symbol n über k geschrieben und als „n über k“, „k aus n“ oder „n tief k“ gesprochen.   Die englische Abkürzung nCr für from n choose r findet sich als Beschriftung auf Taschenrechnern.
• Diskrete Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X wurde als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele, höchstens aber abzählbar unendlich viele Ausprägungen annehmen kann. Beispiele für diskrete Zufallsvariablen sind - etwa die Merkmale „Augenzahl beim Wurf mit einem Würfel“ (sechs Ausprägungen) oder - „Anteil der SPD-Zweitstimmen in % bei den Bundestagswahlen im Zeitraum 1990 - 2005“ (fünf Ausprägungen).   Zählvariablen sind stets diskret. 
• Stetige Zufallsvariable Als stetig gelten Zufallsvariablen, bei denen die Menge der Ausprägungen Intervalle sind.   Die Anzahl der Ausprägungen ist hier nicht mehr abzählbar.
• Unterscheidung empirische - theoretische Verteilung Zwischen den in Kapitel 4 behandelten empirischen Verteilungen (Häufigkeitsverteilungen) und den theoretischen Verteilungen von Zufallsvariablen (Wahrscheinlichkeitsverteilungen) gibt es auffällige Analogien.   Dennoch ist eine klare Unterscheidung beider Konzepte wichtig.   Empirische Verteilungen Empirische Verteilungen basieren auf Daten, während theoretische Verteilungen Modelle sind, mit denen man die Realität näherungsweise abzubilden versucht.   Auch die Kenngrößen empirischer und theoretischer Verteilungen zur Charakterisierung von Lage und Streuung sollten auseinander gehalten und unterschiedlich benannt werden.    
• Die Trägermenge Betrachtet sei eine diskrete Zufallsvariable X, die k Werte x1, … , xk annehmen kann.   Letztere definieren die Trägermenge der Zufallsvariablen X. 
• Das Verhalten von X Das Verhalten von X ist vollständig definiert, wenn für jede Realisation xi die Eintrittswahrscheinlichkeit pi = P(X = xi) bekannt ist; i = 1, … , k. 
• Wahrscheinlichkeitsfunktion von X Die Funktion ƒ, die jeder Ausprägung xi eine Eintrittswahrscheinlichkeit pi zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
• für alle reellen Zahlen x Damit die Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht nur auf der Trägermenge {x1, … , xk}, sondern für alle reellen Zahlen x erklärt ist, setzt man sie Null für alle x mit x ≠ xi:
• diskrete Gleichverteilung Besonders einfach ist der Fall, dass alle Ausprägungen xi die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit p = 1/k besitzen, also pi ≡ p gilt (lies: p-i identisch p).   Man spricht dann von einer diskreten Gleichverteilung oder genauer von einer diskreten Gleichverteilung mit Parameter p.     Eine Gleichverteilung trifft z. B. für das Merkmal „Augenzahl X beim Würfeln mit einem Würfel“ zu, wenn man mehrfach würfelt und einen „fairen“ Würfel voraussetzt, also einen Würfel, bei dem alle Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlich-keit auftreten. Die Variable X hat hier sechs Ausprägungen x1 = 1, x2 = 2, ... , x6 = 6, die alle die Eintrittswahrscheinlich-keit p = 1/6 aufweisen.
• Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion kann nur nicht-negative Werte annehmen. Ferner muss die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten p1, p2; … , pk in (11.1) stets 1 sein.
• Bei einer Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten p1, p2; … , pk stets 1!
• theoretische Verteilungsfunktion von X Zur Beschreibung einer diskreten Zufallsvariablen X kann man anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion (11.1) auch die Verteilungsfunktion F (x) = P (X ≤ x)                                                                         (11.2)   von X heranziehen, die man zwecks Unterscheidung von der empirischen Verteilungsfunktion (4.5) präziser theoretische Verteilungsfunktion nennt. Offenbar hat F (x) für x < x1 den Wert Null und springt in x = x1 auf den Wert F (x1) = p1. Der Funktionswert bleibt auf dem Niveau p1 bis zur Stelle x = x2, an der ein erneuter Sprung nach oben erfolgt, nun   auf F (x2) = p1 + p2, usw. Die Werte der Funktion F (x) ergeben sich   also dadurch, dass an den Stellen x = xi jeweils ein positiver Beitrag pi hinzukommt, d.h. F (x) ist eine monoton wachsende Treppenfunktion mit Sprungstellen in x = xi. Bei der letzten Sprungstelle, also in x = xk , erreicht F (x) den Wert 1. Anstelle von (11.2) kann man demnach hier auch schreiben:
• Charakterisierung der diskreten Gleichverteilung Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung mit k Ausprägungen x1, x1, . . . , xk  gehen aus (11.1) und (11.3)  als Spezialfall hervor, wenn dort für alle Eintrittswahrscheinlichkeiten pi der Wert p = 1/k eingesetzt wird.   Der untere Teil von Abbildung 11.1 zeigt die Verteilungsfunktion F(x) des mit p = 1/6 diskret gleichverteilten Merkmals „Augenzahl X beim Würfeln mit einem Würfel“.   Die Funktion weist an den Stellen x1 = 1; x2 = 2; : : : ; x6 = 6 jeweils Sprünge der Höhe 1/6 auf.     Es gibt eine weitere Parallele zwischen den relativen Häufigkeitsverteilungen der beschreibenden Statistik und den Verteilungen diskreter Zufallsvariablen. Durch Aufsummieren relativer Häufigkeiten kommt man zu empirischen Verteilungsfunktionen, die ebenfalls monoton wachsende Treppenfunktionen sind, welche bis zum ersten Sprung den Wert 0 aufweisen und an der letzten Sprungstelle den Wert 1 erreichen.
• Bernoulli-Experiment Ein statistisches Experiment, dessen Ausgang durch ein bernoulli-verteiltes Merkmal beschrieben wird, heißt Bernoulli-Experiment.
• Bernoulli-Experiment Ein statistisches Experiment, dessen Ausgang durch ein bernoulli-verteiltes Merkmal beschrieben wird, heißt Bernoulli-Experiment. Das Merkmal „Ergebnis eines Münzwurfexperiments“ (einmaliger Münzwurf mit den möglichen Realisationen „Zahl" und „Kopf“) ist z. B. bernoulliverteilt mit p = 0,5, wenn man eine „faire“ Münze voraussetzt.
• Bernoulli-Kette Wird ein Bernoulli-Experiment wiederholt durchgeführt – man spricht in diesem Zusammenhang unter der hier erfüllten Voraussetzung der Unabhängigkeit der Einzelexperimente -  auch von einer Bernoulli-Kette
• Null-Eins-Verteilung Wenn man die Ausprägungen x1 und x2 zu 1 und 0 umcodiert (vgl. (11.18)), wird eine Bernoulli-Verteilung auch Null-Eins-Verteilung genannt.
• Als Trägermenge bezeichnet man die Menge der möglichen Ausprägungen der Zählvariablen X
• Stetige Zufallsvariablen Vorschau auf das Kapitel   Auch Daten für stetige Merkmale können als Realisierungen von Zufallsvariablen aufgefasst werden. Diese lassen sich wieder durch Wahrscheinlichkeitsvertei-lungen beschreiben. Während die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen durch Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion zu charakterisieren ist, wird bei einer stetigen Zufallsvariablen neben der Verteilungsfunktion die Dichtefunktion herangezogen.   Die einfachste stetige Verteilung ist die der stetigen Gleichverteilung. Sie findet bei der Modellierung von Wartezeiten Anwendung.   Weitaus häufiger verwendet wird die Normalverteilung. Die Gestalt der Dichte hängt von µ und von der Standardab-weichung δ bzw. der Varianz δ2 ab.   Jede Normalverteilung lässt sich in die spezielle Normalverteilung mit µ = 0 und δ2 = 1 überführen (Standardnormalverteilung).     Aus der Normalverteilung werden noch drei weitere Verteilungen abgeleitet, nämlich die δ2-Verteilung, die t-Verteilung und die F-Verteilung. Diese Verteilungen – genauer: Quantile dieser Verteilungen – werden im Zusammenhang mit dem Testen von Hypothesen benötigt.
• Die Bedeutung der Normalverteilung rührt daher, dass sie andere Verteilungen unter gewissen Voraussetzungen gut approximiert. 

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