Behavioral Finance (Subject) / 3. PT (Lesson)

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• - Objections to the EUT - L_a1 (1 mio. | 1) oder L_a2 (1 mio. |0,89; 5 mio. | 0,1;0 | 0,01) und L_b1 (1 mio. | 0,11; 0 | 0,89) oder L_b2 (5 mio. | 0,1; 0 | 0,9) Sicherheitseffekt (Certainty-effect): - Experiment von Allais (1953) - Die Mehrheit entscheidet sich für die sichere Lotterie L_a1. Nach der EUT ausgedrückt: EU[L_a1] > EU[L_a2] --> U(1) > 0,89*U(1)+0,1*U(5)+0,01*U(0) Im Fall der Lotterien b1 und b2 entscheidet sich die Mehrheit eher für die  "unsichere" Lotterie b_2. Nach der EUT ausgedrückt: EU[L_b1] < EU[L_b2] --> U (1) * 0,11 + U(0) *0,89 < U(5) * 0,1 + U(0) *0,9 Wenn wir die Ungleichungen additiv zusammenfügen, zeigt sich, dass die Seiten sich entsprechen und demnach ein "=" anstelle des Präferenzzeichens gesetzt werden. Dem Certainty Effekt ist es geschuldet, dass sich die Mehrheit für die sichere Zahlung entscheidet, was prinzipiell im Widerspruch gegen die EUT steht.
• - Objections to the EUT - Inwiefern können die Lotterien vereinfacht werden? L_a1 (1 mio. | 1) oder L_a2 (1 mio. |0,89; 5 mio. | 0,1;0 | 0,01) und L_b1 (1 mio. | 0,11; 0 | 0,89) oder L_b2 (5 mio. | 0,1; 0 | 0,9) Unabhängigkeitsaxiom erlaubt, dass gemeinsame Komponenten bei der Kombination aus der Betrachtung gestrichen werden können, da sie keinen Einfluss auf die Entscheidung haben sollten.  Mit der Kombination entfallen nun die gemeinsamen Komponenten auf Basis der gleichen WS von 0,89 L_a2 (1 mio. |0,89) und L_b1 (0 | 0,89). (Normierung auf übrige 11%) L'_a1 (1 mio. | 1) oder L'_a2 (5 mio. | 0,1/0,11;0 | 0,01/0,11) und L'_b1 (1 mio. | 1) oder L'_b2 (5 mio. | 0,1/0,11; 0 | 0,9/0,11) Dies führt zu identischer Entscheidungssituationen und die Differenz der Erwartungsnutzenwerte sollte gleich hoch sein. --> Empirischer Widerspruch nah Allais (folgt nicht dem Unabhängigkeitsaxiom)
• - Objections to the EUT - L_c1 (3000 | 1) oder L_c2 (4000 |0,8; 0 | 0,1;0 | 0,2) und L_d1 (3000 | 0,25; 0 | 0,75) oder L_d2 (4000 | 0,2; 0 | 0,8) Der Certainty Effect nach Kahnemann und Twersky (1979): E[L_c1] = 3000 < E[L_c2]=3200 "theoretisches Benchmarking" ABER: Präferenz der sicheren Alternative Gemäß der EUT können Individuen Lotterien mit einer gleichwertig attraktiven Lotterie modifizieren. Wir bringen die Lotterien also auf denselben Outcome bei "ungewisser" WS L_c1 (4000 | p*; 0 | 1-p*) oder L_c2 (4000 |0,8; 0 | 0,1;0 | 0,2) und L_d1 (4000 | 0,25* p*; 0 | 0,75+0,25* (1-p*)) oder L_d2 (4000 | 0,2; 0 | 0,8) Empirisch wissen wir c1 wird präferriert: L_c1 > L_c2 ; daher muss gelten: p*> 0,8 Emprisch wissen wir d2 wird präferriert: L_d1 < L_d2 ; daher muss gelten: 0,25 * p* < 0,2 durch umformen bekommen wir p* < 0,8 --> inkonsistentes Entscheidungsverhalten
• -Objections to the EUT - L_e1 (3000 | 0,9; 0 | 0,1) oder L_e2 (6000 |0,45; 0 | 0,55) und L_f1 (3000 | 0,002; 0 | 0,998) oder L_f2 (6000 | 0,001; 0 | 0,999) Small probabilities events nach Kahnemann und Tversky 1979 Im Fall e entscheiden sich die Probanden für e1 getrieben durch die doppelte WS der höheren Auszahlung.  Im Fall f entscheiden sich die Probanden für f2 getrieben durch den doppelten Outcome (trotz halb so hoher WS) --> Die Subjekte stützen sich demnach nicht immer auf die Differenz der WS. Theoretisch sind die Lotterien so konzipiert, dass es keine Rolle spielt, welche Lotterie man spielt. Common ratio of alternatives
• - Objections to the EUT - L_g1 (3000 | 0,25 ; 0 | 0,75) oder L_g2 (A |0,25; 0 | 0,75), wo A (4000|0,8 ; 0| 0,2) "doppelte Lotterie bei g2" >>Reduction axiom Wir könnten einmal die WS ausmultiplizieren, sodass: L'_g2(4000|0,25*0,8 ; 0 | 0,25*0,2 ; 0| 0,75) >> Isolation Effect, gem. independence axiom Heraustrennen gemeinsamer Komponenten gem. gleicher WS L_g1 (3000 | 0,25 ; 0 | 0,75) oder L_g2 (A |0,25; 0 | 0,75), wo A (4000|0,8 ; 0| 0,2)--> L'_g2(4000|0,25*0,8 ; 0 | 0,25*0,2) Wäre die Entscheidung gem. des Reduction axioms konsistent, würden Subjekte eher Lotterie d wählen (L'_g2); Aber tatsächlich ist das Entscheidungsverhalten eher nach dem Unäbhängigkeitsaxiom konsistent.
• Axiome der EUT (6) six and a half axioms !- Unabhängigkeitsaxiom: Subjekt behält immer die Präferenzreihenfolge zwischen Lotteriealternativen bei auch wenn beide mit einer dritten kombiniert werden.  !- Reduktionsaxiom: Subjekt ist stets indifferent bei zwei verschiedenen Lotterien mit selben Outcomes und gleicher WS, egal wie komplex sie sind. !- "Invariance axiom": Unterschiedliche Frames (Rahmen) sollten den Entscheidung nicht tangieren. - Ordnungsxiom: Subjekt kann immer entscheiden, welche Lotterie besser ist! - Transitivitätsaxiom: Widerspruchsfreies Entscheidungsverhalten. Bsp.: Wird Lotterie A der Lotterie B vorgezogen und Lotterie B ggü. C muss gelten A > C! - Stetigkeitsaxiom: Subjekt kann immer den Punkt an dem seine Entscheidung zwischen sicherer Zahlung und Lotterie indifferent ist bestimmen. - Monotonieaxiom: Subjekt entscheidet sich bei wie Lotteriealternativen mit identischen Outcomes immer zugunsten derjenigen mit höherer WS des positiven Outcomes.
• - Objections to the EUT - Framing effect Verschiedenartige Formulierungen der gegeben Optionen sollten den Entscheidungsergebnis nicht beeinflussen.  Anders als in der EUT erwartet, beeinflusst der Frame (positives vs. negatives Narrativ) das Entscheidungsergebnis.
• - Objections to the EUT - Refection effect = Spiegeleffekt (positive/negative Lotterie) Werden die Outcomes ins negative reflektiert, verändert sich das Entscheidungsverhalten empirisch (nicht aber nach der EUT) Kahnemann und Twersky 1979 fanden heraus, dass die Probanden eine Risikoaversion im Gewinnbereich und eine Risikofreude im Verlustbereich aufweisen. Dabei hängt die Risikoeinstellung von der Einstufung der Outcomes als Gewinne oder Verluste ab (PT= Referrence Point Relation) Extrema verändern die Risikoeinstellung. Wenn entweder eine sichere Auszahlung von 5 oder eine unwahrscheinliche (0,1%) Möglichkeit besteht 5000 zu Gewinnen; ist der Proband risikofreudig im Gewinnbereich, da die sichere Zahlung gemessen an seinem Vermögen eher egal wäre, wohingegen 5000 einen enormen Unterschied aufweisen würde. Bsp. Haftpflichtversicherungen bedient sich der umgekehrten Logik. Jetzt einmal sicher 5 zu verlieren, um künftig vor enormen Verlusten von -5000 aus dem Weg zu gehen, erscheint uns als sinnvoll. = Risikoaversion im Verlustbereich.  Auch bei minimalen WS gilt auch beim Spiegeleffekt, dass Probanden sich am höheren (im negativen Bereich weniger hohem) Ergebnis für die Entscheidung orientieren.
• - Objections o the EUT - Reference Point effect EUT: Subjekte fokussieren sich auf den Status des Vermögens. Die Subjekte entscheiden bei der EUT nicht nach Gewinnen oder Verlusten, sondern richten sich stets nach der Veränderung des Gesamtvermögens. Unterschiedliche Vermögenslevels produzieren abweichende Entscheidungsergebnisse. Kahnemann und Twersky 1979 wiesen nachm dass ein Verlust in gleicher Höhe einen stärker negativ im Nutzenlevel beeinflusst als ein gleich hoher Gewinn (bedingt auch in konkaver Nutzenfunktion enthalten. --> Verlustaversion Auch wenn letztendlich durch gegebenes Treatment der Vermögenswert letztendlich gleich bleibt, bzw. das gleiche erreicht wird, kommt bei gespiegelten Lotterien die Verlustaverion zu tragen.
• - Objections to the EUT - Zusammenfassung der Punkte, die von der EUT nicht berücksichtigt werden. --> Kahnemann und Tversky 1979, 1986 und Allais 1953 - Keinem Risiko ausgesetzt zu sein und eine 100%ige Zahlung zu erhalten, ist ein wertvolles Feature für die Agenten (Certainty Effect) - Wenn kleine WS gegeben sind, wird eher auf die Höhe des Ergebnisses als auf die Eintrittswahrscheinlichkeiten geschaut. (Small Probabilities behavior) - Einfluss von Entscheidungsrahmen (Framing effect) - Relationssetzung zu subjektivem Referenzpunkt für die Entscheidung (Reference Point) - Agenten haben eine Verlustaversion (Bsp. Haftpflichtversicherung) (Loss aversion) - Agenten haben unterschiedliche Risikoeinstellungen im Gewinn- (meistens Risikoaversion) und Verlust- (meistens Risikofreude) Bereich. 
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• Df. Prospect Theory Die Prospect Theory wurde von Kahnemann und Twersky 1979 als Antwort auf die EUT entwickelt und bedient sich einer eher behavioralistischem Ansatz im Vergleich zum rationalen homo oeconomicus. Phasen der PT 1) Bearbeitungsphase (Editing Phase) - KKDEVV - Kodieren: Definition des Referenzpunktes (Typischerweise aktuelles Vermögen) - Kombination: Zusammenziehen der WS identischer Outcomes - Dekomposition: Zerlegung der Lotterie in risikolose und risikoreiche Prospects. - Entfernen: Abtrennen gleicher Komponenten (Outcomes | WS) gem. isolation effect (oder Unabhängigkeitsaxiom) - Vereinfachung: Runden der WS (Outcomes) - Vorauswahl: Ausschluss dominierter Alternativen 2) Evaluationsphase (Evaluation Phase) - Bewertung der reformierten Prospects anhand der Value-Function. Betrachtet werden die Abweichungen vom Referenzpunkt (Gewinne/Verluste). Es gilt: V(0)=0 ^Links = Verluste (konvex) ^Rechts = Gewinne (konkav) Die Value-function unter der Prospect theory hat eine spezifische individuelle Präfferenzfunktion zugrundeliegenden. Diese wird ergänzt durch Multiplikation mit der Weightening-function, die aus den (sujektiven) Entscheidungsgewichten zu jeder objektiven Entscheidung besteht. π(p) {abhängig von tatsächlichen EintrittsWS} Es gilt: Π(0)=0 ^Π(1)=1   --> ansonsten π(p) ≠ p (EintrittsWS)
• - Value function - Reguläre Lotterien vs. monoton positive oder negative Lotterien Unterscheidung:  Reguläre Lotterien: Zwei Outcomes, wobei eine immer =0 ist. Andere kann entweder positiv oder negativ sein. Hier gilt: 1 - Π(p) = Π(p) Monoton positive / negative Lotterien: Bezieht sich auf das Abtrennen von sicheren Bestandteilen der Lotterien [200| p ; 100| p']  Da in jedem möglichen Fall 100 erzielt werden können, kann man 100 aus der Ergebnissicht ziehen.  --> φ(L) = V(100) * 1 + [V(200)-V(100)] * Π(p) Der Klammerterm beschreibt hier spezifisch den potentiellen Mehrgewinn.
• Eigenschaften der Value-function 1. Die Outcomes beziehen sich auf den subjektiven Referenzpunkt 2. Verlustaversion:  - V(x) < -V(-x)   - Stärkere Steigung im Verlustbereich V'(x) < V'(-x) 3. Kurvenverlauf: V(x) = konkav ^ V(-x)= konvex --> "Höhere Verluste, sofern eingetreten, können zu erhöhter Risikobereitschaft führen"
• Weihtening-function: Umwandlung der objektiven Eintrittswahrscheinlichkeiten in Entscheidungsgewichte WS-Gewichtungsfunktion: Π(p) - N 1. Normierung: Π(p) ist eine monoton steigende Funktion mit Π(0)=0 und Π(1)=1 --> Ignoranz unmöglicher Outcomes 2. Subaddivität: Π(p) ist eine subadditive Funktion für kleine WS (p) D.h., dass z.B. bei einer WS unter 1% die Steigung der Funktion kleiner als 1 ist. Verändert sich dort die WS minimal lässt uns das relativ unbeeindruckt. (Unterpropotionale Steigung)  Bsp.: w=0,1 ^r=,5 Π(0,5*-0,1) > 0,5 * Π(0,1) 0,1 > 0,075 3. Übergewichtung von kl. WS: Π(p) > p (für kleine WS) --> Wir runden gerne ;) 4. Unbestimmtheit: Die Summe aller Entscheidungsgewichte Π(p) entspricht nicht 1 . Folglich Π(p)+Π(1-p)<1; systematische Verzerrung bei Agenten 5. Unterproportionalität: Die Steigung der Weightening-function nimmt mit zunehmender EintrittsWS zu. Aber für kleine WS nimmt sie in einem geringerem Maße zu (Π(p)<1 für alle kleine p) Bsp: P_1=0,8  ^ P_2=0,4 ^ r=0,5 Π(0,4)/Π(0,8) <= Π(0,5*0,4)/Π(0,5*0,8) --> 0,5 <= 0,6 (Subj. Übersetzung) Die WS-Gewichtungsfunktion bekommt immer dann eine höhere Steigung je höher die WS werden (abgesehen von marginal WS).  6. Diskontinuität bei Extrema: Sehr unwahrscheinliche Ereignisse werden ignoriert oder überschätzt. ("Definitionslücken" eng um Extrema)
• Was wäre, wenn es keine Verzerrungen in der PT bei den Probanden geben würde. Wie würde die Weightening-function aussehen? Die Winkelhalbierende würde gelten und die Eigenschaften wurden aussetzen.
• - Experimentelle Ergebnisse aus PT Sicht - L_a1 (1 mio. | 1) oder L_a2 (1 mio. |0,89; 5 mio. | 0,1;0 | 0,01) und L_b1 (1 mio. | 0,11; 0 | 0,89) oder L_b2 (5 mio. | 0,1; 0 | 0,9) Mit der Betrachtung der Lotterien aus PT-Sicht werden die Lotterien gemäß der Editing- und Evaluation-Phase in Prospects reformuliert und in Value- und Weightening-function ausgedrückt. **L_a1 wurde empirisch mehr gewählt. Während bei der EUT galt: EU[L_a1] > EU[L_a2] --> U(1) * 1 > 0,89*U(1)+0,1*U(5)+0,01*U(0)  Gilt bei der PT: V(1) * Π(1) > V(1) * Π(0,89) + V(5) * Π(0,1) + V(0) * Π(0,01) es gilt: Π(1)=1 ^ V(0)=0 Umstellen → V(1) - V(1) * Π(0,89) >  V(5) * Π(0,1)  → (1 - Π(0,89)) * V(1)  >  V(5) * Π(0,1)  **L_b2 wurde empirisch mehr gewählt. Während bei der EUT galt: EU[L_b1] < EU[L_b2] --> U(1) * 0,11 + U(0) *0,89 < U(5) * 0,1 + U(0) *0,9 Gilt bei der PT: V(1) * Π(0,11) + V(0) * Π(0,89) < V(5) * Π(0,1) + V(0) * Π(0,9) >> Konsistentes Entscheidungsverhalten nach PT: ("Ungleichsetzen" da die rechten Seiten identisch sind) (1 - Π(0,89)) * V(1)  > V(1) * Π(0,11)  Durch V(1) teilen → 1 - Π(0,89)   > Π(0,11) → 1 > Π(0,89) + Π(0,11) #consistent with subcertainty Die Änderung des Entscheidungsverhaltens kann also mit der PT erklärt werden, während die EUT keinen Erklärungsgehalt bietet.
• Spiegeleffekct (Reflection Effect) - PT L_k1 [5 | 1] und L_k2 [5000 | 0,001; 0 | 0,999)  ** L_k2 wird präferiert. (Nicht die sichere Zahlung wird präferiert, da das Ergebnis einen unerheblichen Betrag ausweist) V(5) * Π(1) < V(5000) * Π(0,001) + V(0) * π(0,999) Teilen durch V(5000) → V(5) / V(5000) < Π(0,001) Da die EintrittsWS von 0,1% eine kleine WS darstellt, kommt die Eigenschaft der 3. Overweighted small probabilities der Weightening-function zum tragen. Es gilt, dass Π(p) > p. Anders ausgedrückt: Geringe Wahrscheinlichkeiten werden tendenziell von den Agenten überbewertet und mit dem Umstand des hohen Gewinnpotentials lieber eingegangen. Sodass gilt: Π(0,001) > 0,001 Wäre die Value-Function im Gewinnbereich linear, dann wäre besagtes Verhältnis gleich, aber da Risikoaversion im Gewinnbereich herrscht (konkaver Funktionsbereich = Abnehmender Grenznutzen), führt dazu dass V(5) > V(5000) * 0,001  
• Spiegeleffekt (Reflection effect) L_m1 [3000 | 0,002 ; 0 | 0,998) und L_m2 [6000 | 0,001 ; 0 | 0,999) ** L_m2 wird bevorzugt. Warum? Die Lotterien spielen sich im Bereich marginaler Eintrittswahrscheinlichkeiten ab.  V(3000) * Π(0,002) < V(6000) * Π(0,001) Wieso wird trotz doppelter WS 3000 zu erhalten öfter die 6000 ausgewählt? Dies geht auf die Subaddivität der Weightening-Funktion für kleine WS zurück. → p1=0,001 ^ p2=0,002 ^ r=0,5 Π(0,001) = Π(0,5*0,002) > 0,5 * Π (0,002) → Π(0,001)/π(0,002)>0,5 --> Durch die spezifische Form der Value und Weightening funcion kann das Entscheidungsverhalten unter der PT erklärt werden, während die EUT dies nicht kann.

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