Mathematikdidaktik (Subject) / Planung und Gestaltung von MU (RWTH WS19/20) (Lesson)

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• Kernlehrplan: Kurvendiskussion Einführungsphase:     – Verwendung von notwendigem und Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmungvon Extrempunkten    – unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich Qualifikationsphase:– Verwendung notwendiger Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien, sowie weitererhinreichender Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten.
• Möglichkeiten für die Öffnung von Aufgaben mit Kurvendiskussion - qualitative Analysis: Betonung nicht algorithmischer Elemente - Anwendungsorientierung: Einbeziehung von Sachkontexten (Kosten-Nutzen Rechnungen, Effizienzkurven bei Energiegewinn / Verbrauch, Zeit-Weg Betrachtungen, ...) - Integration neuer Technologien: zielführender Einsatz von Rechnern - veränderte Aufgabenkultur: Einbeziehung divergenter Elemente
• Kernlehrplan: Integralbegriff Grundkurs:    – Produktsummen und orientierte Flächen    – Übergang von Produktsummen zu Integralen    – Änderungsrate und Integralfunktion Leistungskurs:    – Flächeninhalte und Volumina von Rotationskörpern
• Zugänge zum Integralbegriff • Inntermathematisch:    – geometrische Idee mit dem Ziel der Flächenberechnung durch Teilflächen    – Grenzwert von Ober- und Untersumme    – Transfer und Anschlussfähigkeit an Ableitungsbegriff schwer • Anwendungsbezogener Zugang:    – Rekonstruktion einer Größe aus gegebener Änderungsrate    --> Produktsummenkontext    --> Motivation • Umkehrung der Differentiation    – Hauptsatz --> Stammfunktionsaspekt
• Kernlehplan: Integrationsregeln • Bestimmung von Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen • Nutzung von Linearität und Intervalladditivität des Integrals --> Weder Substitution noch partielle Integration treten im aktuellen Kernlehrplan (G8) auf!
• Möglichkeiten zur Einführung der Integrationsregeln • Umkehrung von Produktregel und Kettenregel • Skizzen von Stammfunktionen • Rechner: Integration mit CAS
• Gründe für die Behandlung von partieller Integration und Integration durch Substitution wider dem Kernlehrplan • Grunderfahrung Mathematik als individuelle und kreative Tätigkeit• Problemlösekompetenzen• Tieferes Verständnis für das Inhaltsfeld Funktionen• Möglichkeit zur Binnendifferenzierung.
• Kernlehrplan: Exponentialfunktion - Wachstumsprozesse mithilfe linearer Fkt. und Exp - Transformationen von Exp. und Bedeutung der Parameter - Ableitung + Eigenschaften - LK: Logarithmus + Vergleich exponentielles vs. "begrenztes" Wachstum
• Möglichkeiten zur Einführung der Zahl e / der Exponentialfunktion 1. Erkundung der Ableitung der beliebigen Exponentialfunktion mit GTR --> Wann ist Ableitung gleich Ursprungsfkt.? 2. Gibt es eine Basis mit f'(0)=1? 3. Grenzwert der e-Folge mit GTR 4. Ableitung mit Differenzenquotient zeigen 5. f'(x) = k f(x) für bel. Basis
• Kernlehrplan: Vektorbegirff • Kompetenzerwartungen:      - Translationen und Ortsvektoren,      - gerichtete Größen,      - Längen und Abstände (Pythagoras),      - Rechenoperationen, Dreiecke und Vierecke mit Vektoren • (digitale) Werkzeuge: Operationen mit Vektoren und Matrizen, grafische Darstellung
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• Stufen des Begriffsverständnisses nach Weigand • Intuitives Begriffsverständnis:    – Der Begriff als Phänomen.    – Beispiele (er)kennen. • Inhaltliches Begriffsverständnis:    – Der Begriff als Träger von Eigenschaften    – Eigenschaften kennen • Integriertes Begriffsverständnis:    – Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes • Formales Begriffsverständnis:    – Einbettung des Begriffs in einen axiomatischen Aufbau
• Vor- und Nachteile eines geometrischen Zugangs zum Vektorbegriff • Nachteile:    – keine bekannten Rechenregeln    – Abstraktion fällt sehr schwer • Vorteile:    – Hohe Anschaulichkeit    – Rechenregeln lassen sich geometrisch begründen    – Nützlichkeit
• Kernlehrplan: Lineare Abhängigkeit Kollinearität, Lösungsmenge von LGS
• Unterscheidung zwischen Parameter und Variable - Parameter ist beliebig aber fest - Variable wird "dynamisch durchlaufen"
• Kernlehrplan: Parameterdarstellungen linearer Objekte • Inhaltliche Schwerpunkte:    – Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte • Kompetenzerwartungen:    – ...stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar    – ...untersuchen Lagebeziehungen...    – berechnen Schnittpunkte [...], sowie Durchstoßpunkte
• Sichtweisen auf die Parameterdarstellung (von Ebenen und Geraden) • Statisch: Geraden und Ebenen als ganzheitliche, konkret-gegenständliche Objekte • Dynamisch: Punkte auf Geraden und Ebenen werden als Konstruktion betrachtet • Punktmengen --> Für SuS häufig nur die statische Sicht klar: Unterscheidung Schnitt und Flugzeugkollision --> Förderung der dynamischen Sicht und der Darstellung als Punktmenge: z.B. mitSoftware
• Kernlehrplan: Lineare Gleichungssysteme • Inhaltliche Schwerpunkte:     – LGS spielen in drei großen Inhaltsfeldern (Analytische Geometrie, Lineare Algebra        und Analysis) eine Rolle • Kompetenzerwartungen:    – LGS in Matrix-Vektor Schreibweise    – Gauß-Algorithmus (auch ohne digitale Werkzeuge) als Lösungsmethode als       LGS beschreiben    – Lösungsmenge von LGS interpretieren    – Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
• Mögliche Zugänge zu linearen Gleichungssystemen • Analytisch Notwendig: z.B. Steckbriefaufgaben • Arithmetisch-algebraisch: Vektoren als Listen --> Anwendung in Biologie und Volkswirtschaft • Geometrisch: Als Lagebeziehungen, Realitätsbezug
• Kernlehplan: Skalarprodukt • Inhaltliche Schwerpunkte:    – Lagebeziehungen und Abstände    – Skalarprodukt • Kompetenzerwartung    – deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es    – untersuchen mithilfe des Skalarprodukts geometische Objekte und Situationen
• Einführungsmöglichkeiten für das Skalarprodukt • Axiomatisch: in Schule unüblich • Geometrisch: im Kernlehrplan verankert • Arithmetisch: Preisliste · Stückliste --> Kombination: Cosinussatz
• Vor und Nachteile der geometrischen Einführung des Skalarprodukts • Vorteile:     - Vorwissen aktivieren,     - Anwendungsbezug,     - geometrische Definition • Nachteile:     - Arithmetische Definition fehlt,     - setzt Verständnis über Projektion voraus
• Vor und Nachteile der arithmetischen Einführung des Skalarprodukts • Vorteile:     - Anwendungsbezug WiWi    - Kürzer und leichter als geom. • Nachteile:     - Konflikt KLP    - Vorwissen aus LA nicht genutzt
• Kernlehrplan: Darstellungsformen in der analytischen Ggeometrie • Inhaltliche Schwerpunkte:    – stellen Geraden und Ebenen in Koordinaten- und Parameterform dar    – untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden und zwischen Geraden       und Ebenen    – berechnen Schnittpunkte sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und       deuten sie im Sachkontext.    – Stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum.    – Bestimmen Abstände zwischen Punkte, Geraden und Ebenen. • Kompetenzbereiche    – Modellieren    – Problemlösen
• Kernlehrplan: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Inhaltliche Schwerpunkte:    – Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen    – Binomialverteilung (LK: +Normalverteilung) • Kompetenzerwartungen:    – untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben, erläutern den Begriff der       Zufallsgröße an geeigneten Beispielen,    – bestimmen Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen und      treffen damit prognostische Aussagen,    – LK: unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen und deuten die Verteilungsfunktion      als Integralfunktion,    – erklären die Binomialverteilung und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten,    – beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und       ihre graphische Darstellung,    – nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen
• Kernlehrplan: Hypothesentest • GK: schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnisauf die Grundgesamtheit • LK: interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse • LK: beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art
• Kernlehrplan: Bedingte Wahrscheinlichkeiten – Baumdiagramme und Vier- oder Mehrfeldertafeln, – bedingte Wahrscheinlichkeiten, – prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit, – bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten.
• Mögliche Zugänge / Darstellungsarten zu bedingten Wahrscheinlichkeiten – Pfaddiagramme – 4 Felder Tafel: A, AC B, BC – Venn-Diagramme
• Kernlehrplan: Stochastische Prozesse • Beschreibung stochastischer Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und Übergangsmatritzen • Matritzenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse
• Kernlehrplan SII: Kompetenzbereiche - Modellieren - Problemlösen - Argumentieren - Kommunizieren - Werkzeuge nutzen
• Kernlehrplan SII: Inhaltsfelder - Funktionen und Analysis - Analytische Geometrie und Lineare Algebra - Stochastik

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