Mathe (Subject) / Matrizen (Lesson)
There are 11 cards in this lesson
Operationen mit Matrizen (Transponieren, Addieren/Subtrahieren, Multiplikation, Inverse bilden), Eigenschaften des Produkts, Eigenschaften der Inversen, Determinante, Eigenschaften der Determinanten, Cramersche Regel, lineare Unabhängigkeit, Lineare Gleichungssysteme, Algorithmus Gauß-Jordan
This lesson was created by bleistiftmine.
- Wie bildet man eine transponierte Matrix? Indem man die Zeilen als Spalten schreibt. Bsp: (4 A = ( 4 2 3 ) T = 2 3)
- Wann kann man 2 Matrizen miteinander addieren? Wenn sie von gleichen Typ sind, d.h. A ∈ Rmxn und B ∈ Rmxn -> d.h. gleiche Anzahl Zeilen + Spalten
- Wie addiert/subtrahiert man 2 Matrizen? Die einzelnen Elemente werden komponentenweise addiert/subtrahiert.
- Welche Rechenregeln gelten bei der Addition? (8 Stück) 1. (α × A)T = α × AT 2. (A + B)T = AT + BT 3. 0 + A = A + 0 = A (0...Nullmatrix) ⇒ Addition mit Nullmatrix: A bleibt 4. α(β × A) = β(α × A) = (α × β)A 5. (α + β)A = αA + βA 6. α(A + B) = αA + αB ⇒ d.h. Ausmultiplizieren, Ausklammern erlaubt 7. A + B = B + A 8. A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ d.h. Vertauschen erlaubt
- Wann ist Multiplikation von Matrizen möglich? Wenn A ∈ Rmxn und B ∈ Rnxm, d.h. Anzahl Spalten A = Anzahl Zeilen B
- Was sind die Eigenschaften des Produkts? (6 Stück) 1. es gilt nicht A × B = B × A ! 2. (A × B) C = A (B× C) 3. A (B + C) = A×B + A×C ; (A+B)C = A×C + B×C 4. A ∈ Rnxm, 0 ∈ Rmxp ⇒ A×0 = 0 5. (A×B)T = BT × AT 6. A ∈ Rmxn, E ∈ Rmxn ⇒ A×E = E×A = A
- Wann ist eine Matrix symmetrisch? A heißt symmetrisch, falls AT = A
- Was ist eine inverse Matrix? A ∈ Rnxn, B ∈ Rnxn (quadratische Matrizen) Falls gilt A×B = B×A = E, dann ist B die inverse Matrix zu A. Man schreibt B = A-1.
- Was sind die Eigenschaften einer Inversen Matrix? 1. (A-1)-1 = A 2. (λ × A)-1 = 1⁄λ × A-1 3. (AT)-1 = (A-1)T 4. E-1 = E 5. (A×B)-1 = B-1 × A-1
- Wann heißt A regulär/singulär? A heißt regulär, wenn A-1 existiert " singulär, wenn A-1 nicht existiert
- Eigenschaften der Determinante (8 Stück) 1. det (A×B) = det A × det B 2. det(A-1) = (det A)-1 3. Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere addiert 4. Das Vertauschen zweier benachbarter Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante 5. Man kann einen Faktor aus einer Zeile der Matrix ausklammern und umgkehrt die Matrix mit einem Faktor multiplizieren. Dann gilt: det(λ×A) = λn × detA 6. Die Determinante ist 0, wenn eine Zeile eine Nullzeile oder ein Vielfaches einer anderen Zeile ist. 7. Summationsregel: Summation erfolgt immer nur in einer Zeile ? 8. det A = det AT