Mathe (Subject) / Funktionen (Lesson)

Elementare Funktionen, gebrochen rationale Funktionen, Polynome, Eigenschaften, Kurvendiskussion, Differentialrechnung

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• Wann ist eine Funktion injektiv? Eine Funktion ist injektiv, falls zu verschiedenen x-Werten der Definitionsbereiche x1 ≠ x2, x1x2 ∈ D(f) verschiedene Funktionswerte gehören f(x1)=f(x2) ∈ W(f). ⇒ d.h. jedem x wird genau ein y zugeordnet, nur umkehrbar, wenn auch jedem y ein x zugeordnet werden kann Bsp:  lineare Funktion f(x)= x+1 ist injektiv quadratische funktion f(x)= x2 ist nicht injektiv
• Wovon hängt die Injektivität unter anderem ab? Vom Definitionsbereich. So ist bspw. f(x)=x2 auf R+ injektiv. 
• Wie berechnet man f^-1? 1. Schritt: Funktion nach x umstellen 2. Schritt: x & y vertauschen ⇒ Bemerkung: die beiden entstehenden Funktionen spiegeln sich an ihrer Winkelhalbierenden!
• Welche Eigenschaften von Funktionen gibt es? (9 Stück) Monotonie Beschränktheit Symmetrie Periodizität Krümmungsverhalten Stetigkeit Polstellen Lücken im Definitionsbereich ("heilbare Singularität") Verhalten im Unendlichen
• Wie stellt man die Monotonie einer Funktion fest? monoton wachsend, wenn f(x1) ≤ f(x2) (streng, wenn <) monoton fallend, wenn f(x1) ≥ f(x2) (streng, wenn >) ODER über 1. Ableitung (=Bestimmung des Anstiegs)   f'(x) > 0 ⇒ wachsend f'(x) < 0 ⇒ fallend
• Wie stellt man die Beschränktheit einer Funktion fest? nach oben beschränkt, falls c ∈ R existiert, sodass f(x) ≤ c nach unten beschränkt, wenn f(x) ≥ c
• Wann ist eine Funktion achsensymmetrischzur y-Achse? f(x) = f(-x); gerader Exponent
• Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch? -f(x) = f(-x); ungerader Exponent
• Wie stellt man das Krümmungsverhalten einer Funktion fest? - f''(x) > 0 ⇒ konvex, Linkskurve - f''(x) < 0 ⇒ konkav, Rechtskurve
• Wann ist eine Funktion stetig? Wenn ich sie ohne abzusetzen zeichnen kann
• Wann ist x eine Polstelle von R? wenn gilt:  lim (x↘x0) f(x) = ± ∞ lim (x↗x0) f(x) = ± ∞ => häufig, wenn Nenner 0 wird
• Was ist eine Asymptote? Eine Asymptote ist eine Funktion, an die sich f im Unendlichen annähert (meist gerade oder Parallele). 
• Wie berechnet man die Asymptote? - Funktion so lange umformen, bis beim Einsetzten von x = ∞ 0 rauskommen würde -> Rest ist Asymptote  - Regel von L'hôpital anwenden
• Eigenschaften von f(x)=x^n n= 2,4,6... (feste Punkte, Beschränkung, Monotonie, Symmetrie, Krümmung, D(f)) - feste Punkte: (0,0), (1,1), (-1,1) - beschränkt durch 0 von unten - Monotonie: auf (-∞, 0) fallend; auf (0, ∞) wachsend - achsensymmetrisch - Krümmung: konvex (Linkskurve) - D(f) = R
• Eigenschaften von f(x) = x^n n=3,5,7,... (feste Punkte, Beschränkung, Monotonie, Symmetrie, Krümmung, D(f)) - feste Punkte: (0,0), (1,1), (-1,-1) - nicht beschränkt - auf (-∞, ∞) wachsend - punktsymmetrisch - Krümmung: (-∞, 0) konkav, (0, ∞) konvex  - D(f) = R 
• Eigenschaften f(x) = x^1/2 (=Wurzelfunktion) - feste Punkte (0,0), (1,1) - beschränkt durch 0 nach unten - monoton wachsend auf (0, ∞) - nicht symmetrisch - Krümmung: konkav - D(f) = [0,∞)
• f(x) = a^x a>1 (feste Punkte, Beschränkung, Monotonie, Symmetrie, Krümmung, D(f)) - fester Punkt für alle a: (0,1) - beschränkt nach unten durch 0 - streng monoton wachsend von (-∞,∞) - nicht symmetrich - konvex - D(f) = R
• f(x) = a^-1 a>1 (feste Punkte, Beschränkung, Monotonie, Symmetrie, Krümmung, D(f)) - fester Punkt: (0,1) - beschränkt nach unten durch 0 - streng monoton fallend - nicht symmetrisch - konvex - D(f) =R
• f(x) = log x (feste Punkte, Beschränkung, Monotonie, Symmetrie, Krümmung, D(f)) - fester Punkt: (1,0) - nicht beschränkt - streng monoton wachsend - nicht symmetrisch - konkav - D(f) = (0,∞) (erreicht nie die 0!!!)
• p-q-Formel x1/2= -p/2 ± √(p2/4-q)
• Wie berechnet man die Nullstellen von einem Polynom? 1. erste NS raten 2. Linearfaktor von NS bilden 3. Polynomdivision (solange, bis NS durch p-q oder ähnliches ermittelt weren kann)
• Eigenschaften von gebrochen rationalen Funktionen - Nullstellen: alle NS von Zähler, wenn nicht NS von Nenner - Polstellen: wenn Nenner = 0, außer Zähler wird dort auch 0; wenn Nenner mehr NS als Zähler hat - Lücken: wenn Nenner & Zähler 0 werden; wenn Zähler mehr NS als Nenner hat  - Verhalten von Unendlichkeiten: wenn Nenner höheren Grad, dann Polynomdivision: Asymptote + Rest  wenn Zähler höheren Grad, dann x gegen 0 & gegen ±∞
• Schritte der Kurvendiskussion 1. Def.- & Wertebereich 2. Nullstellen, Polstellen 3. Extrema, Wendepunkte, Krümmung, Monotonie 4. Verhalten im Unendlichen, Asymptoten 5. Skizze

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