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Numerische Mechanik (Subject) / Numerische Mechanik (Lesson)

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• Modellannahmen für Stabbauteile - Kinematik: epsilon = delta l / l - A << l - nur Normalkräfte / Deformationen in Stablängsrichtung (1 Feiheitsgrad pro Knoten) - Materialgesetz: sigma = E * epsilon; sigma = N / A
• schematisches Vorgehen FEM 1. Preprocessing: Knoten & Elementnummern, Elementweises Gleichgewicht, Knotengleichgewicht, Assemblierung der Steifigkeitsmatrizen 2. Solving: Randbedingungen formulieren, Gleichungssystem reduzieren 3. Postprocessing: Auflagerkräfte und Schnittgrößen berechnen
• Verbesserung der FEM-Lösung mehr Elemente oder höhere Ansatzordnung der Ansatzfunktion (bsp.: linearer Verschiebungsansatz für Stab)
• Auswertung der Verschiebungs-/ Schnittgrößenverläufe in der FEM - Verschiebung: Exakt in des Knoten - Schnittgrößen: exakt im gewichteten Integralmittel eines Elements
• Äquivalente Knotenkräfte für lineare Streckenlast: fe,l = le * (ql/3 + qr/6) fe,r = le *(ql/6 + qr/3) - bei Balkenelementen: Ä.KK. über Ansatzfunktionen berechnen ( fen = 0∫1 H(μ) * q(μ) )
• Modellannahmen Bernoulli-Balken 1. Querschnitte bleiben eben und stehen stets senkrecht zur Balkenachse 2. Kleine Deformationen, kleine Starrkörperbewegungen 3. Stoffgesetz: sigmax = E * epsilonx 4. Kinematik: epsilon = -w'' * z 5. Spannungen: sigmax = (My/Iy) * z 6. Verformungen: Verschiebung, Verdrehung, Krümmung (3 Freiheitsgrade pro Knoten)
• Anforderungen an Ansatzfunktionen - Stetigkeit der Ansatzfunktion muss (n-1)-fach sein, für n = höhe der höchsten Ableitungsordnung in der schwachen Form der DGL (2. Ableitung -> c^1-Stetig) - Die Ansatzfunktionen müssen über die Elementgrenzen hinweg Stetigkeitsanforderungen genügen, so dass die primären Variablen stetig abgebildet werden. - Polynomiale Ansatzfunktionen müssen vollständig sein, damit Starrkörperbewegungen spannungsfrei darstellbar sind (räumliche Isotropie) und konstante Verzerrungszustände abbildbar sind (Konvergenz) - Ansatzfunktionen müssen den Randbedingungen des Modells entsprechen
• Herleitung der schwachen Form einer DGL DGL mit Ansatzfunktion multiplizieren und über das Gebiet integrieren
• Kettenregel (uv)' = u'v + uv' <=> ∫u'v (idg a bis b) = uv| (idg a bis b) - ∫uv' (idg a bis b)
• Definition "starke Form" einer DGL Gleichgewicht ist an jedem Punkt erfüllt
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• Definition "schwache Form" der DGL Gleichgewicht ist im gewichteten Integralmittel erfüllt
• Definition, Abkürzung & Anwendung einer "gewöhnliche DGL" gewöhnliche DGL (ODE): Gleichungen, die neben der gesuchten Größe auch Ableitungen der gesuchten Größe nach genau einer Variable enthalten Bsp: a * u,x + b * u + c = 0 Anwendung: Systeme gekoppelter Bewegungsgleichungen
• Definition, Abkürzung & Anwendung einer "partiellen DGL" partielle DGL (PDE): Gleichungen, die neben der gesuchten Größe auch Ableitungen der gesuchten Größe nach verschiedenen Variablen enthalten. Bsp: a * u,xx + 2b * u,xy + c * u,yy + d * u,x + e * u,y + f * u + g = 0 Alternativ: Ableitung nach Ort und Zeit Anwendung: Wärmeleitung (Poissongleichung)
• klassifizierung von partiellen DGLs - elliptisch: det A > 0 - parabolisch: det A = 0 - hyperbolisch: det A < 0
• Isoparametrisches Konzept: Ziel, Vorgehen - Ziel: Berechnung von verzerrten, vielseitigen Elementen - Für die Berechnung der Steifigkeitsmatrizen muss die Ableitung der Ansatzfunktionen nach den Koordinaten berechnet werden. Dazu müssen die Ansatzfunktionen in den globalen Koordinaten definiert werden (Koordinatentransformation).    -> Abbildung des Verzerrten Elements auf ein Einheitselement    -> Definition der Ansatzfunktionen auf dem Einheitselement (lokale Koordinaten) - Vorgehen: Gleiche Ansatzfunktionen für die Aproximation von Geometrie und Verschiebung
• Isoparametrisches Konzept: B-Matrix - stellt den Zusammenhang zwischen den verzerrungen und den Knotenverschiebungen her -> Ableitung des Verschiebungsfeldes nach den globalen Koordinaten -> B: glob. Koord. ; H: lok. Koord. - enthält Ableitung der Ansatzfunktionen - erforderlich zur Berechnung der Element-Steifigkeitsmatrix eines 4-Knoten-Scheibenelements - Dimension: [6 x 3n] (n=Anzahl der Konten)
• Numerische Integration: Idee Summe über gewichtete Funktionswerte an bestimmten Stützstellen
• Numerische Integration: Allgemeine Formel a∫b F(r)dr = (b-a) * i=0∑n (win * Fi + Rn) mit: wi = Wichtungsfaktor Fi = Funktionswert an Stützstelle Rn = Abbruchfehler
• Numerische Integration: Verfahrensarten - Newton-Cotes-Formeln: äquidistante Stützstellen (in Gleichmäßigen Abständen)    -> nur bei linearen Polynomen exakt - Gauß-Quadratur: geziehlt gewählte Stützststellen    -> Einheitselement    -> Vorteil: weniger Stützstellen    -> für alle Polynome exakt
• Numerische Integration: Zweck Integration von gebrochen Rationalen Funktionen -> analytisch nicht möglich Bsp: Berechnung von Ke beim 4-Knoten-Scheibenelement  ( J-1 = 1 / det J )
• Numerische Integration: Gauß Quadratur - Ein Polynom m-ter Ordnung kann mit n-Gaußpunkten exakt integriert werden, wobei gilt: m = 2n - 1 - Formel: a∫b f(x)dx = -1∫1 f(r) detJ dr ≈ i=1∑n f(ri) * wi
• Numerische Integration: Notwendige Gaußpunkte für "X"-Knoten-Scheibenelement: 4-Knoten: m=2 -> 2 GP pro Richtung >4-Knoten: m=3 -> 3 GP pro Richtung (oder reduziert mit 2)
• Grundidee der FEM approximative Lösung einer DGL formullierung von relativ einfachen Ansatzfunktionen auf geometrisch einfachen Teilgebieten(den finiten Elementen) und anschließende konsistente zusammenzufügung für das Gesamtgebiet FEM ist ein Ritz-Verfahren mit lokal begrenzten Ansatzfunktionen
• Konvergenzstudie Kompromiss finden zwischen großer Genauigkeit (viele Elemente) und wenig Zeit (wenig Elemente) -> Abbruchkriterien (Fehler konvergiert gegen 0)
• Verfeinerungsstrategien h-Verfeinerungsschritt: Verkleinerung der finiten Elemente ("durch mehr Linien +") p-Verfeinerungsschritt: Erhöhung des Ansatzgraades ("durch mehr Punkte ∴")
• Bezeichnung der Spannungen σ11 = Normalspannung in x-Richtung σx σ22 = Normalspannung in y-Richtung σy σ12 = Schubspannung τ Von Mises Spannung ( Vergleichsspannung)
• Ursachen für Spannungsspitzen im Postprocessing und mögliche Lösung - Behinderung von Querkontraktion an Einspannung -> alternative Lagerung - Spannungsumlagerungen an Ecken -> Ecken abrunden
• Modalanalyse: Ziel - Bestimmung der Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen    -> System-, bzw. Bauteilkennwerte (Belastungsunabhängig)    -> Hinweis, wie sich ein System bei dynamischer Belastung verhält    -> Notwendig zur Vermeidung von Resonanz / Auslegung der Struktur bzgl. dynamischer      Belastungen - wird auch Eigenwertanalyse / Eigenwertproblem genannt
• Zeitdiskretisierungsverfahren: indirekt Modale Superposition -> Modaltransformation: Schwingung setzt sich aus linearer Kombination einzelner Eigenformen zusammen -> nur für kleine Verformungen
• Zeitdiskretisierungsverfahren: direkt - explizit: Zentrale Differenzenverfahren: Bewegungsgleichungen zum bekannten Zeitschritt t    -> genauer je kleiner Δt    -> bedingt stabil (Zeitschrittweite muss hinreichend klein gewählt werden, um eine numerisch stabile Lösung zu erhalten), nur für kurzzeitdynamische Prozesse    -> besonders effizient, wenn Massenmatrix in Diagonalform vorliegt -> Effizientes Verfahren (billiger) - implizit: Newmark-Verfahren: Bewegungsgleichungen zum unbekannten Zeitschritt t+Δt    -> unbedingt Stabil; unabhängig der zeitschritte -> Auswahl ist Problemabhängig
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• Determinante der Jacobi Matrix det J = dA / da
• Tensoren Voigt Notation Spannungstensor: σv = [ σxx; σyy; σzz; σxy; σyu; σzx ] (vertikal) Verzerrungstensor: εv = [ εxx; εyy; εzz; 2εxy; 2εyz; 2εzx ]    -> Skalierung aufgrund von Materialgleichung (Hooksches Gesetz)
• Ebener Spannungszustand Beispiel Scheibe, die sich in z-Richtung ungehindert ausbreiten kann. Scheibe bleibt infolge Belastung eben σzz = 0 σzx = 0 σyz = 0
• Ebeneer verzerrungszustand Beispiel Bsp. Staudamm εzx = 0 εyz = 0 εzz = 0
• Patch Test - exakte Lösung ist bereits bekannt - Elemente bestehen Patchtest, wenn FE- und Analytische Lösung gleich sind - mögliche Fehler im Patch Test:    1. falsche äq. Knotenkräfte    2. B-Matrix falsch    3. det J < 0
• Assemblierung Zusammensetzung der Gleichgewichtsbedingungen der einzelnen Elemente für das Gesamtsystem. Dabei gilt and den Knotenpunkten das Kräftegleichgewicht und die kinematische Verträglichkeit. An den gemeinsamen Knoten sind die Einträge der beteiligten Elementmatrizen einfach zu addieren.
• Dirichlet-Randbedingung - wesentliche Randbedingung - Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen werden sollen (primäre Variablen z.B. Verschiebungen)
• Neumann-Randbedingung natürliche Randbedingung Werte, die auf dem Rand des Definitionsbereichs für die Normalableitung der Lösung vorgegeben werden. (Gradienten des Verschiebungsfeldes z.B. Kräfte / Oberflächenlasten) (Auch f=0 zuzuordnen)
• Mögliche Fehlerquellen bei einer Finite Element Berechnung - Ungenaue Berechnung der Elementmatrizen/Rundungsfehler - fehler bei der Numerischen Integration bei gebrochen Rationalen Funktionen - Diskretisierungsfehler: unzureichende Approximation der Gradientenfelder mit den gewählten lokalen Ansatzfunktionen    -> Behebung: Stellen steiler Gradientenfelder lokal verfeinern (Fehlerschätzverfahren) - Modellierungsfehler: Fehler bei der Modellerstellung z.B. Wahl der Materialparameter, Formulierung der Randbedingungen    -> können nur durch geeignete Experimente aufgedeckt werden
• Modellverifikation sicherstellen, dass die Modellgleichungen mit der geforderten Genauigkeit gelöst werden
• Modellvalidierung sicherstellen, dass das Modell die physikalische Realität widerspiegelt
• Modalanalyse: Eigenfrequenz w - Frequenz der freien Schwingungen eines Schwingers mit einem Freiheitsgrad - In der Strukturdynamik sind wir in der Regel an den kleinsten Eigenfrequenzen und den zugehörigen energiereichen Eigenmoden interessiert. - w2 => Eigenwert
• Modalanalyse: Eigenform / Eigenmoden Φ - beschreibt die schwingungsform - Verschiebungen, Dehnungen, Spannungen für einen Zustand - zu jeder Eigenfrequenz gehört eine charakteristische Eigenform -> Diese Eigenform ist diejenige Verformung, die das Bauteil bei der Schwingung mit dieser Frequenz zeigen würde.
• Modalanalyse: Vorraussetzungen / Annahmen - keine Dämpfung - keine äußeren Kräfte
• Modale Superposition - Überlagerung der Eigenschwingungsformen (Eigenvektoren) aus der Modalanalyse - Notwendig zur Vermeidung von Resonanz
• Unterschied Homogene / Inhomogene DGL Homogene DGL: f(x,x',...) = 0 Inhomogene DGL: f(x,x',...) ≠ 0
• schwache Form der Bewegungsgleichung: Schema Dynamischer Anteil (Mü) + innerer Anteil (Ku) = äußerer Anteil (f)
• Arten von Schwingungen 1. Freie Schwingung: Auslenkung x - Periodisch: ungedämpft / schwache Dämpfung - Aperiodisch: starke Dämpfung 2. Erzwungene Schwingung: Anregung F - Anregerfreuquenz F(t) - Antwort x(t)
• Massenmatrix allgemeine Form Me=∫Be  ρ * HT * H dV
• Diagonalisierung der Massenmatrix Zeilensummenbildung: alle Matrixeinträge in einerZeile der Elementmassenmatrix werden addiert und die Summe auf die Hauptdiagonale der jeweiligen Zeile geschrieben.

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