Mathematik (Subject) / Analysis I (Lesson)
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Uni Kiel, 1. Semester
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- Extensionalitätsprinzip Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten
- Potenzmenge Jede Menge X hat eine Potenzmenge, die als Elemente genau die Teilmengen von X besitzt. Bsp.: X = {1,2,3} P(X) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} X hat 3 Elemente und P(X) hat 8 Elemente
- disjunkt A∩B = ∅
- Komplement X ist eine feste Grundmenge, A ist eine Teilmenge von X. AC= X\A
- Kommutativität A∪B = B∪A A∩B = B∩A
- Assoziativität (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
- Distributivität (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
- de Morgan'sches Gesetz Falls A und B Teilmengen einer festen Menge X sind, so gilt (AUB)C = AC∩BC (A∩B)C = ACUBC
- Geordnete Paare zwei mathematische Objekte, die ein Paar bilden bestehen aus 2 Komponenten
- Kartesisches Produkt AxB := {(a,b)|a∈A, b∈B} Bsp.: {1,2}x{0,1,2} = {(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
- Relationen Sind A und B Mengen, so heißt jede Teilmenge R von AxB eine (zweistellige) Relation Bsp.: {(n,m) ∈ N×N | n≤m} ⊆ N×N
- Definitionsbereich einer Funktion Ausgangsmenge
- Wertebereich einer Funktion {f(x) | x∈X} = {y∈Y | ∃x∈X : y=f(x)}
- Graph einer Funktion graph(f) := {(x,f(x)) | x∈X} ⊆ X×Y
- identische Abbildung idX:X→X, idX(x)=x (x∈X)
- Bild/-menge Seien X,Y Mengen und f:X→Y eine beliebige Abbildung. Ist A⊆X, so heißt f(A) := {f(a) | a∈A} das Bild.
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- Urbild/-menge Seien X,Y Mengen und f:X→Y eine Abbildung. Ist A⊆X und B⊆Y so heißt f−1(B) := {a∈X | f(a)∈B} das Urbild
- Rechengesetze für Teilmengen/Bild/Urbild Seien f : X → Y eine Abbildung, A,A′ ⊆X und B,B′ ⊆Y. f−1(B∪B′) = f−1(B)∪f−1(B′) f−1(B∩B′) = f−1(B)∩f−1(B′) f−1(Bc) =(︀f−1(B))︀c f(A∪A′) = f(A)∪f(A′) f(A∩A′) ⊆ f(A)∩f(A′)
- injektiv x,y∈X, f(x)=f(y) ⇒ x=y
- surjektiv f(X)=Y ist, d.h. ∀y∈Y ∃x∈X : f(x)=y
- bijektiv injektiv und surjektiv die Umkehrabbildung f−1:Y→X ist definiert durch: f−1(y) := das eindeutig bestimmte x∈X mit f(x)=y
- Permutation Eine bijektive Abbildung einer Menge X auf sich selbst
- Komposition Seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen. (g∘f) : X→Z (g∘f)(x) := g(f(x)) (x∈X) Die Komposition von Abbildungen ist Assoziativ. Ist sie bijektiv, so gilt: (g∘f)−1 = f−1∘g−1
- Verknüpfung MxM → M + : N×N→N, (m,n) ↦ m + noder· : Z×Z→Z, (m,n) ↦ m·n
- Formel für natürliche Zahlen dn = n(n+1) / 2 Dreieckszahl
- geometrische Summenformel (1−x)(1+x+...+xn−1) = 1−xn
- Induktionsanfang Zeige, dass die Aussage E(1) richtig ist
- Induktionsschritt Zeige, dass für jedes n∈N die Aussage E(n+1) zumindest dann richtig ist, wenn schon die Aussage E(n) richtig ist
- Induktionsvoraussetzung die Aussage E(n), die man im Induktionsschritt für eine gegebene Zahl n∈N als richtig unterstellt
- Kardinalität Anzahl der Elemente einer Menge
- Seien A und B endliche Mengen derselben Kardinalit¨ at card(A) = card(B) Für eine Abbildung f:A→B sind folgende Aussagen äquivalent: (i) f ist injektiv. (ii) f ist surjektiv. (iii) f ist bijektiv.
- leere Summe n-1 ∑︁ xj := 0j=n
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- geometrische Summenformel (Summenzeichen) n-1 (1-x) ∑︁ xj := 1-xn j=0
- n ( ) = ? k n! _______ k!(n-k)!