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Zahlen und Operationen (Subject) / WiSe1819 (Lesson)
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- Repräsentationsebenen - jedes Kind hat Grundvorstellungen von Beziehungen zwischen Mathematik, Individuum und Realität bzw. Lebenswelt - Darstellungsebenen: Bilder, Handlungen, gesprochene/ geschriebene Symbole und realitätsnahe Situationen Ziel: Verständnis von Zahlen, Operationen und Strategien
- Zentrale Leitideen a) Entdeckende Lernen: Mathematiklernen soll durchgängig als konstruktiver und entdeckender Prozess verstanden werden (Fehler gehören zum Lernen) b) Beziehungsreiche Üben: Es sichert vernetzt und vertieft vorhandenes Wissen und Können. Sie sollen möglichst problemorientiert, operativ oder anwendungsbezogen angelegt sein c) Einsatz ergiebiger Aufgaben: Sie ermöglichen verschiedene Lösungswege und fördern die Entwicklung grundlegender mathematischer Bildung d) Vernetzung verschiedener Darstellungsformen: Handlungen, Material, Bilder, Sprache, mathematische Symbole e) Anwendungs- und Strukturorientierung: Anwendungsorientierung: mathematische Vorerfahrungen in lebensweltlichen Situationen Strukturorientierung: Aufdeckung mathematischer Gesetze und Beziehungen
- Fachliche Inhalte + Beispiele Zahlen und Operationen: Zahlvorstellungen, Operationsvorstellungen, schnelles Kopfrechnen, Zahlenrechnen, Ziffernrechnen, überschlagenes Rechnen, flexibles Rechnen - Raum und Formen: Raumorientierung und -vorstellung, Ebene, Figuren, Körper, Symmetrie, Zeichnen - Größen und Messen: Größenvorstellungen und Umgang mit Größen, Sachsituationen - Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten: Daten und Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten
- Lehrplan Inhaltsverzeichnis: - Aufgaben und Ziele (zeitgemäße Unterrichtskulturen, siehe 1b) - Bereiche (inhaltsbezog. und prozessbezog. Kompetenzen) - Kompetenzen (Erwartungen an die SuS) - Leistungen (Beurteilungskriterien)
- Anfordernungsbereiche - Reproduzieren (Grundwissen über Routinetätigkeiten) - Zusammenhänge herstellen (Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen) - Verallgemeinern und Reflektieren (erfordert komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern)
- Prozessbezogene Kompetenzen 1. Problemlösen/ Kreativsein: Lösungsstrategien ausprobieren, Aufgabe auf eigenem Wege lösen 2. Modellieren: Aufgaben aus der realen Welt in die Mathematik übertragen und Ergebnis zurück in die reale Welt (z.B. Tischaufgabe) 3. Argumentieren: Hinterfragung von mathematischen Aussagen (z.B. Tischaufgabe) 4. Darstellen/Kommunizieren: eigene Denkprozesse oder Vorgehensweisen angemessen und nachvollziehbar darstellen (z.B. „Wie bist du vorgegangen?“)
- Logische Operationen nach Piaget 1. Vergleichen: Vergleichen von Objekten nach qualitativen (z.B. Farbe) und/oder quantitativen (z.B. Anzahl) Merkmalen 2. Klassifizierung (Sortieren): Objekte nach Farbe und/oder Form sortieren 3. Seriation: Objekte nach Reihenfolge ordnen (Anordnung z.B. lang nach kurz) 4. Klasseninklusion: Objekte in Klassen einordnen 5. Eins-zu-Eins-Zuordnung: Jedem Objekt ein anderes zufügen (z.B. jedem Teller wird eine Gabel zugeordnet) 6. Einsicht in Mengeninvarianz: Objekte ändern bei einer Veränderung der Anordnung die Anzahl nicht (z.B. Plättchen weiter auseinanderschieben, sodass die Anzahl mehr erscheint)
- Aspekte des Mengenwissens 1. Teil-Ganzes-Verständnis: Menge kann in Teilmengen zerlegt werden und die Teilmengen können wieder zu einer Gesamtmenge zusammengefügt werden - Kompensation: Gesamtmenge bleibt gleich trotz Veränderung der jeweiligen Teilmengen (z.B. Bleistifte Patricia) - Kovariation: Objekt wird zu Teilmenge hinzugefügt/entfernt und Gesamtmenge verändert sich 2. Simultane Mengenerfassung: die Fähigkeit, die Anzahl kleiner Mengen auf einen Blick wahrzunehmen und sofort zu bestimmen, ohne die Elemente abzählen zu müssen; Erfassen kleiner Mengen bis 3-4; angeborene Fähigkeit 3. Quasi-simultane Mengenerfassung: Erfassen und mentales Zusammensetzen mehrerer kleiner Mengen durch Nutzen von Additionskompetenzen und Vorwissen (-> sehr hohe Bedeutung fürs spätere Mathematiklernen)
- Fusion 1988 Zahlwortreihe 1. Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe (string level): - Zahlenwortreihe wird als Ganzes aufgesagt wie ein Lied, Gedicht - Zahlwörter werden nicht als einzelne Wörter wahrgenommen z.B. einszweidreivierfünf… statt eins, zwei, drei, vier, fünf, … 2. Unflexible Zahlenwortreihe (unbreakable chain level): - Zahlworte werden voneinander unterschieden, hängen aber unzertrennlich aneinander - richtige Reihenfolge kann produziert werden, aber nur wenn das Kind bei eins anfängt zu zählen 3. Teilweise flexible Zahlwortreihe (breakable chain level): - Zahlwortreihe kann von jedem beliebigen Zahlwort aus aufgesagt werden - Rückwärtszählen entwickelt sich 4. Flexible Zahlwortreihe (numerable chain level): - jedes Zahlwort in der Reihe wird als Einheit aufgefasst (Kinder wissen, dass hinter der Zahl fünf eine gewisse Anzahl steckt) - einfache Rechnungen sind möglich - Additionen durch Weiterzählen/ Subtraktionen durch Rückwärtsweiterzählen z.B. 5+3 = fünf…sechs, sieben, acht 5. Vollständige reversible Zahlwortreihe (bidirectional chain level): - Kinder können zügig vorwärts und rückwärts zählen - Richtungswechsel gelingt ohne Probleme - Vorgänger und Nachfolger einer Zahl können unverzüglich gesagt werden -> bildet die Grundlage für das Erkennen von Zusammenhängen zwischen Addition und Subtraktion
- Gelman/Gallistel Zählprinzipien 1. Eindeutigkeitsprinzip (one-one principle): Jedem Element der zu zählenden Kollektion wird genau ein Zahlwort zugeordnet z.B. Kind soll Plättchen zählen und jedes bekommt ein Zahlwort zugeordnet 2. Prinzip der stabilen Ordnung (stable-order principle): Zahlwörter müssen in einer gleichen wiederholbaren Reihenfolge vorliegen z.B. Kind immer die gleiche Zahlwortreihenfolge 3. Kardinalprinzip (cardinal principle): Letzte Zahlwort, das bei einem Zählprozess benutzt wird, gibt die Kardinalzahl, d.h. die Anzahl der Kollektion an z.B. Kind zählt Plättchen und gibt bei Nachfrage die zuletzt genannte Zahl des Zählens wieder 4. Abstraktionsprinzip (abstraction principle): „how-to-count-principles“ können bei beliebigen Objekten angewandt werden z.B. bei Gegenständen, als auch gedanklichen Überlegungen 5. Prinzip der Irrelevanz der Anordnung (order-irrelevance principle): Jeweilige Anordnung der Objekte ist für den Zählakt irrelevant z.B. Kind kann Plättchen zählen unabhängig der vorliegenden Plättchen Ordnung
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- Zahlaspekte 1. Kardinalzahlaspekt à Anzahl, Menge (Wie viele?) – „5kg Äpfel“ 2. Ordinalzahlaspekt à Reihenfolge, Ordnung – Hausnummer 3 3. Maßzahlaspekt à Bez. von Größen (physik. Einheit) – 16km bis Bonn 4. Operatoraspekt à Vielfache (Wie oft?) – „Noch dreimal schlafen“ 5. Rechenzahlaspekt à mit Regeln der Arithmetik – „2+2“ 6. Kodierungsaspekt à Identifikation von Objekten – „Tel. 0126384738“ 7. Relationszahlaspekt à Relation zw. Mengen – „Er hat drei Äpfel mehr als gestern“
- Schul und Straßenmathematik Konsequenzen: - Lernausgangslage der Kinder erheben - Differenzierung von Anfang an ( > nicht vom Durchschnittschüler ausgehend) - Lernangebote gestalten, die allen Kindern die Möglichkeiten bieten - Achtsamkeit gegenüber leistungsschwächeren Kindern: -> individuelle Förderung leistungsschwächerer Kinder -> informelle Verfahren der Kinder zu einem flexiblen Umgehen mit Zahlen & zu leistungsfähigen Strategien weiterentwickeln Beispiel: Beispiel: „Maria hat 5 Murmeln, Hans hat 8 Murmeln.“ Straßenmathematik: Wie viele Murmeln muss Maria noch bekommen, damit sie genauso viele hat wie Hans? Schulmathematik: Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria?
- Forschungsergebnisse zu den Vorkenntnissen - Beachtlich hohe arithmetische Kompetenzen von Schulanfängern - Unterschätzung der Kompetenzen durch Experten - große Heterogenität der Kompetenzen - viele Schulanfänger sind gute „Straßenmathematiker“ aber noch keine „Schulmathematiker“ Didaktische Folgerungen: - nicht bei „Null“ beginnen, sondern Vorerfahrungen der SuS nutzen - ganzheitliche Behandlung des Zahlenraums bis 20 - Schulbücher kritisch prüfen - Gelegenheit geben, das Vorwissen zu zeigen, einzusetzen und (möglichst selbstständig) weiterzuentwickeln - selbst die Lernausgangslage der Kinder überprüfen
- organisatorische Diagnose Möglichkeiten 1. formell/standardisiert + produktorientiert - Testung im Klassenverband - Schuleingangsdiagnose im Einzelgespräch (Fokus: Lösungshäufigkeit) - Test mit „eigenen“ Aufgaben aus dem relevanten Bereich à Gut: Schnell, kaum Gefahr des Übersehens einzelner à Schlecht: Einzelinterview sehr zeitintensiv, kaum Informationen über Lern- und Denkprozesse 2. formell/standardisiert + prozessorientiert - Schuleingangsdiagnose im Einzelgespräch (Fokus: Vorgehen Kind) - Test mit „eigenen“ Aufgaben aus dem relevanten Bereich z.B. durch EMBI (Elementar-Mathematisches-Basis-Interview) à Gut: viele Informationen über Lern- und Denkprozesse, kaum Gefahr des Übersehens einzelner, Fragen können angepasst werden à Schlecht: sehr zeitintensiv 3. informell/offen + produktorientiert - Hausaufgaben oder andere schriftl. Dokumente - zwischendurch mal Test/Überprüfung - Beispiel: „Zähle von 1 bis 10 schnell durch!“ à Gut: vergleichsweise schnell à Schlecht: kaum Information über Lern- und Denkprozesse, Gefahr des Übersehens einzelner SuS 4. informell/offen + prozessorientiert - zwischendurch im Gespräch - Analyse von Schülerdokumenten - Nachfrage nach Lösungswegen à viele Information über Lern- und Denkprozesse, kann an den Unterrichtsinhalt angepasst werden à Schlecht: sehr zeitintensiv, Gefahr des Übersehens einzelner
- Anfangsunterricht a) Zielsetzung, Möglichkeiten und Grenzen - Das Vorwissen der Kinder aufgreifen, stabilisieren und systematisieren - Zahlbegriff ausbauen - Grundvorstellungen zur Addition und Subtraktion auf- und ausbauen - Rechenstrategien entwickeln Die Zahlen von 10 (20) „einführen“ Möglichkeit 1: Man führt die Zahlen schrittweise eine nach der anderen ein: die Eins, dann die Zwei, die Drei usw. bis zur Zehn und rechnet auch nur in dem begrenzten Raum - „Synthetische Methode“ - „Prinzip der kleinen Schritte“ - Diese Methode ist überholt! Möglichkeit 2: Man führt einige Zahlen (z. B. 1 bis 4 oder 1 bis 6) ein und behandelt zunächst diesen begrenzten Zahlenraum. Erst anschließend werden weitere Zahlen – meist schrittweise – eingeführt (5 und 6, 7 und 8, 9 und 10) - Gestufte Erarbeitung des Zahlenraums - „Prinzip der kleinen Schritte“ Möglichkeit 3: Man betrachtet einen größeren Zahlenraum (1 bis 10 oder sogar 1 bis 20) als Ganzes mit dem Ziel der Systematisierung und Präzisierung des vorhandenen Wissens über diese Zahlen - Konzept des aktiv-entdeckenden und sozialen Lernens - Der Zahlenraum wird in mehreren Durchgängen erarbeitet
- Ziffern von 0-9 lesen und schreiben - Das Schreiben der Ziffern von Anfang an ist Teil der unterrichtlichen Behandlung der jewei-ligen Zahlen - Viele Kinder können die meisten Ziffern am Schulanfang lesen und auch bereits einige schreiben - Präzision beim Schreiben ist für die Lesbarkeit (durch andere und für die Kinder selbst) von großer Bedeutung - Einhaltung der standardisierten Abfolge von Bewegungen für ökonomischen Schreibfluss (Füller!) wichtig - Die normgerechte Schreibweise der Ziffern (Schreibrichtung, Anfangspunkt) im Gesamtunterricht einführen - Automatisiertes Üben der Ziffernschreibweisen anschließend an Stationen mit handlungs-orientierten und ganzheitlichen Angeboten
- Zahlbegriff ausbauen durch.. - Orientierung im Zahlenraum - (Strukturiertes) Zählen - Zahlenreihe, Ordnungszahlen - Operative Struktur der Zahlen erarbeiten - Strukturierte Anzahlbestimmung; - Zahlzerlegungen
- Strukturiertes Zählen - Sicheres Zählen (vorwärts, rückwärts, von beliebigen Zahlen aus, in Zweierschritten) ist Voraussetzung für die Rechenfertigkeit im Zahlenraum bis 20 - Zählen trägt dazu bei, mentale Vorstellungen vom Zahlenraum aufzubauen - Zählübungen (Aufsagen der Zahlwortreihe) - Abzählübungen (Anzahlbestimmung durch Abzählen) - Verbindung mit DHW: Wie viele Erstklässler gibt es an der Schule? Wie viele Buchstaben haben unsere Namen? Zählen, Zahlenreihe, strukturierte Anzahlbestimmung, Zahlzerlegung, Ziffern schreiben
- Zahlenreihe - Kinder müssen im Verlauf ihrer Zahlbegriffsentwicklung ihr Wissen über die verbalen Zähl-zahlen auf die arabischen Ziffern übertragen - Bei diesen Übungen wird insbesondere die Ordnung der arabischen Ziffern angesprochen
- Strukturierte Anzahlbestimmung - Anzahlbestimmung durch simultanes (gliederndes) Erfassen ist bedeutsam, um den Blick der Kinder vom Einzelobjekt auf Gruppen von Objekten zu lenken - Weg vom einzelnen Abzählen zum strukturierten Wahrnehmen auf einen Blick - Blick für den strukturellen Aufbau der Zahlen entwickeln
- Zahlzerlegung - Noch vor dem formalen Rechnen geht es um die Zerlegung der Zahlen bis 10 in zwei (oder mehr) Summanden. Das Wissen, dass eine Anzahl auf verschiedene Weisen aus kleineren Anzahlen zusammengesetzt werden kann, wird systematisiert - Damit wird der strukturelle Aufbau einer Zahl betrachtet, um sie später beim Rechnen flexibel zerlegen zu können
- Zur Zahl Null - Unterscheidung 0 als Ziffer und 0 als Zahl - Schreiben der Ziffer unproblematisch - Schwierigkeit bei Einführung der Zahl 0: - die Null kommt als Zählzahl nicht vor - mathematisch gesehen ist die Kardinalzahl Null die Mächtigkeit der leeren Menge – eine Begriffsbildung, die Schulanfänger kaum erfassen dürften à Für viele Kinder ist „null“ gleichbedeutend mit „nichts“ - bei der Verwendung als Rechenzahl treten folgende Probleme auf: 5 + 0 = ?, 5 + 0 = 0, 5 – 0 = 0, 5 * 0 = 5 - Einführung der Null im mathematischen Anfangsunterricht nicht zu früh - Kinder müssen selbst erkennen, dass es vernünftig ist, sie als eine „richtige“ Zahl zu be-trachten - Lehrer muss deutlich machen, dass die Null zum Aufschreiben einer Anzahl verwendet wurde (5 6-Jährige, 0 9-Jährige) - Zahlcharakter der Null wird am besten deutlich, wenn man sie als Rechenzahl verwendet (5 -1 = 4, ..., 5 – 5 = 0)
- Dynamische Grundvorstellung der Addition/Subtraktion - Beziehen sich auf Handlungsabläufe wie Hinzukommen oder Weggeben - Ausgangsmenge ± Veränderung = Ergebnis - Art der Aufgaben: a+b = [] ; a-b = []
- Statische Grundvorstellung der Addition/Subtraktion - Beziehen sich auf Handlungsabläufe wie Zusammenfassen oder Vergleichen - Gesamtmenge – Teilmenge 1 = Teilmenge 2 bzw. - Teilmenge 1 + Teilmenge 2 = Gesamtmenge - Art der Aufgaben: a+b = [] ; a-b = []
- Zählstrategien bei Addition und Subtraktion 1. Alleszählen bei Additionsaufgaben Kind zählt alle vorliegenden Plättchen Wichtig: korrektes Zählen und Benutzung von Material Alleszählen bei Subtraktionsaufgaben Kind merkt sich die entfernten Plättchen und identifiziert die Restmenge durch Alleszählen 2. Weiterzählen vom ersten Summanden aus Kind zählt bei 7+9 von der Zahl 7 neun Felder hoch bis neun abgezählt wurden und erhält Ergebnis Wichtig: Wissen, dass es erst nach der zu startenden Zahl mit Zählschritten starten muss und Weiterzählen kontrollieren Weiterzählen vom größeren Summanden aus Kind zählt bei 7+9 von der Zahl 9 sieben Felder hoch bis sieben abgezählt wurden und erhält Ergebnis 3. Rückwärtszählen Bei 14-6 von 14 sechs Zahlen herunterzählen und beim Ergebnis landen Wichtig: Sicher und schnell rückwärts zählen zu können und Fehler vermeiden bei der 14 den ersten Zählschritt einzusetzen, da dieser erst bei der 13 mental erfolgt à Rechenstrategien (heuristische Strategien/operative Strategien) nutzt jedes Kind nach Zahlenmaterial und sind nötig für Bewältigung größerer Zahlenräume
- Zählfehler 1. Zahlendreher -> 13+3 sind 61, da das Kind die 16 verdreht hat 2. Plus-1-Fehler/Minus-1-Fehler -> Das ist meistens auf zählendes Rechnen mit den Fingern zurückzuführen. Dabei zählt das Kind die Ausgangszahl mit (also 96, 95, 94, 93, 92, 91, 90, 89 oder 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88). 3. Bildung falscher Analogien -> Die Struktur einer anderen Aufgabe wird auf ähnliche Aufgaben übertragen (z.B. aus 5 · 5 = 25 und 6 · 6 = 36 wird 4 · 4 = 14) 4. Probleme mit der Übertrageziffer ->Bei Rechnungen mit Zehnerübergang - Sie schreiben sie an die falsche Stelle - Sie notieren eine Übertrageziffer zu viel. - Es passiert auch, dass sie die Übertrageziffer als große Ziffer in die Rechnung schreiben und daraus dann eine andere Zahl entsteht. 5. Schwierigkeiten mit der Null -> Entsteht bei einer schriftlichen Rechnung eine Zehnerzahl, schreiben viele Kinder die Null in der Ergebnisleiste nicht auf. Auch kommt es vor, dass Kinder beim Aufschreiben der zu berechnenden Zahlen die Ziffer Null einfach vergessen und so z.B. aus 210 die Zahl 21 wird 6. Fehlerhafte Multiplikation oder Division mit 0 und 1 -> Eine große Zahl gefundener Fehler bei der Multiplikation und Division sind Fehler mit der 0. Hier wird die Ausgangszahl beibehalten (z.B. 7 · 0 = 7 oder 20 : 0 = 20). Außerdem leiten Kinder aus der Rechnung 0 · ? = 0 die Rechnung 1 · ? = 1 ab (so genannter Eins-Fehler).
- Schrittweise über den 10er - Assoziativgesetz 7+9 = 7+3 +6 14-6 = 14-4-2 7+9 = 7+(3+6) 14-6 = 14-(4-2) = (7+3) +6 = (14-4) -2 = 10 +6 = 10-2 Voraussetzungen: - Ergänzen bis 10 bzw. Abstand zur 10 sehen - Zerlegung aller Zahlen bis 10 auswendig wissen (erweitertes Teil-Ganzes Verständnis) - 10 als Anker-Zahl erkannt haben
- Verdopplung und Halbierung nutzen -> Assoziativgesetz 7+9 = 7+7+2 14-6 = 14-7+1 Verdoppeln nutzen: Halbieren nutzen: 7+9 = (7+7) +2 14-6 = (14-7) +1 = 14+2 = 7+1 Voraussetzungen: - Vorrat an auswendig gewussten Verdopplungs-/ Halbierungsaufgaben - Verdopplungs-/ Halbierungsaufgabe sehen und erkennen - anschließend passend ausgleichen
- Vereinfachen Konstanz der Differenz 7+9 = 8+8 oder 14-6 =16-8 oder 7+9 = 6+10 14-6 =18-10 Gegensinniges Verändern Gleichsinniges Verändern 7+9 = (7+1) + (9-1) 14-6 = (14+2) – (6+2) = 8+8 oder = 16-8 oder 7+9 = (7-1) + (9+1) 14-6 = (14+4) – (6+4) = 6+10 = 18-10 Voraussetzungen: - Zahlbeziehungen erkennen (Vereinfachung der Aufgabe sehen) - Zahlen gegensinnig bzw. gleichsinnig verändern können
- Hilfsaufgabe nutzen Assoziativgesetz 7+9 = 7+ (10-1) 14-9 = 14-10+1 7+9 = 7+(10-1) 14-9 = 14-(10-1) = (7+10) -1 = (14-10) +1 = 17-1 = 4+1 Voraussetzungen: - Zahlbeziehungen erkennen - besondere Rolle der Zahl 10 verstanden haben - passend ausgleichen können
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- Tauschaufgabe nutzen Kommutativgesetz 7+9 = 9+7 Voraussetzungen: - Kommunikativgesetz der Addition kennen - Tauschaufgabe berechnen können (automatisiert)
- Analogien nutzen Assoziativgesetz 14+2 = 16, denn 4+2 =6 17-3 = 14, denn 7-3 = 4 Und noch 1 Zehner und noch 1 Zehner (10+4) +2 = 10+ (4+2) (10+7) -3 = 10+(7-3) Voraussetzungen: - Analogien (Ähnlichkeiten der Aufgaben) erkennen - Stellenwertverständnis und Teil-Ganzes-Verständnis
- Ergänzen 16-14 =2, denn 14 +2 = 16 Voraussetzungen: - Nähe von Minuend und Subtrahend erkennen - Addition als Umkehrung der Subtraktion deuten und nutzen
- Strukturierungsgrade a) Strukturierungsgrade 1. Unstrukturiert (=“Counters“, unstrukturiertes Zählen von Plättchen) 2. Strukturiert, Mischform: - Farbe, räumliche / geografische Trennung - „individuelle“ Strukturierung - Fünfer-Struktur, „Kraft der Fünf“ durch z.B. eigene Finger - Zehner-Struktur (häufiger Lerninhalt durch z.B. Rechenkette etc.)
- Funktion von Arbeitsmitteln Die drei Funktionen: 1. Als Lösungshilfe: Hilfsmittel zur handelnden Lösung einer Aufgabe (häufig zählend), z.B. Rechengeld hilft beim Zusammenzählen, Finger, Naturmaterialien zum Abzählen etc. 2. Als Lernhilfe: Hilfsmittel zur Entwicklung von Grundvorstellungen sowie mentaler Rechenstrategien, z.B. Rechenrahmen, 20er Tafel etc. 3. Als Kommunikations-, Argumentations- und Reflexionshilfe: zur Darstellung & Begründung von Lösungswegen & mathematischen Gesetzmäßigkeiten, z.B. Rechenkette etc.
- Mehrdeutigkeit von Veranschaulichungen Konsequenzen für den Unterricht in Bezug auf Material: à Materialien sind nicht selbsterklärend – Kinder müssen sie interpretieren à weisen oft eine Mehrdeutigkeit auf – Kinder deuten sie unterschiedlich à Zahlenbeziehungen lassen sich in Material auf verschiedenen Weisen visualisieren à vom Anschauungsmittel führt kein direkter Weg zu „richtigen“ Bild im Kopf des Kindes; Weg kann durch geeignete Materialien verkürzt werden à Kinder müssen Muster entdecken und Beziehungen konstruieren, die über das Arbeitsmittel hinaus gelten à Anschauungsmittel müssen den Kindern vertraut gemacht und vermittelt werden, da neuer Lernstoff à Für den Gebrauch von Arbeitsmittel müssen feste Verabredungen in einer Klasse getroffen und festgelegt werden à Anschauungsmittel sind somit nicht nur Objekte zum Anschauen, sondern werden effektive Mittel zur Entwicklung der Anschauungsfähigkeit der Kinder!
- Kriterien für Materialauswahl - Material kriteriengeleitet auswählen - Ablösung vom Material unterstützen - Material auswählen danach, ob es… - die mathematischen Grundideen möglichst gut darstellt - die Ablösung vom zählenden Rechnen unterstützt - den Kindern individuelle Lösungswege erlaubt - verschiedene Lösungsmöglichkeiten zulässt
- Notwendig der Ablösung vom Material - Wichtig ist im Unterricht ein Bewusstmachen der Übersetzungsprozesse zwischen den Repräsentationsebenen, d.h. Handlungsergebnisse am Material in Bildern darstellen (E→I), Darstellungen als Handlungsanweisungen nutzen (I→E), Symbolterme als Zahldarstellungen verstehen (S→I), usw... (EIS-Prinzip)
- Prinzipien des Stellenwertverständnisses 1. Prinzip der fortgesetzten Bündelung Man bündelt die Zahlen nach Einer, Zehner, Hunderter, etc. 2. Prinzip des Stellenwerts Der Stellung einer Ziffer kann entnommen werden, ob es sich um einen Einer, Zehner, Hunderter, etc. handelt (z.B.: 43 à 4 steht an der Zehnerstelle, somit ein Zehnerbündel) 3. Prinzip des Zahlenwerts Der Ziffer kann zudem die Anzahl der Bündel der betreffenden Mächtigkeit entnommen werden (z.B. 43 à es gibt 4 Zehner)
- Schreib und Sprechweise materialgebunden verknüpfen Grundlegende Voraussetzung: Zusammenhang erkennen zwischen - Zahlwort „vier“ - Zahlsymbol „4“ - Zahlbild à „o o o o“ (vier Plättchen) Darauf aufbauend: z.B. 45 – fünfundvierzig (kardinales Zahlenverständnis) - fünf und vierzig (Einsicht in die Zerlegbarkeit von Zahlen: 40 und 5) - fünf und vier-zig (Einsicht: 40E = 5Z)
- Kompetenzen im Stellenwertsystem Verständnis für die besondere Rolle der Zahl 10 im Stellenwertsystem - wechselseitige Übersetzungen zwischen Zahlzeichen, -wörter und Mengen - Einsicht in Zerlegbarkeit von Zahlen (Teil-Ganzes-Verständnis) - Verständnis für das Bündeln und Entbündeln - Kenntnis der Notation und des Lesens von Zahlen - Wissen der Bildungsregeln der deutschen Zahlwörter + vielen Ausnahmen
- inhaltliche und didaktische Hürden Besonderheiten der deutschen Zahlwörter: - Aussprache in Bezug auf Schreibrichtung (z.B. 43) - elf, zwölf - -zwan-, -zehn, -zig, -ßig - fünfzehn = fünf UND zehn; fünfhundert = fünf MAL hundert
- Problemhürden SWS - mangelnde Vorkenntnisse - Fehlvorstellungen - viele schwierige Besonderheiten der deutschen Zahlwörter - Zahlendreher durch inverse Sprechweise und Bildungsgesetze
- Unterstüzungsmaßnahmen SWS - Bündelungs- und Entbündelungsaktivitäten durchführen - Zusammenhänge herstellten zw. Wort, Zeichen, Menge - inverse Sprechweise thematisieren (plus Unregelmäßigkeiten) - Zahlendreher am Material erklären - stellenweise Notation klären
- Material zur Förderung bei Stellenwertproblemen - unstrukturiertes Material zum Bündeln - Mehrsystemblöcke zur Veranschaulichung der Stellenwerte - Stellenwerttafel zum Leben und Schreiben
- Grundvorstellung der Multiplikation 1. zeitlich-sukzessiv (dynamisch): Wiederholung derselben Handlung „Peter geht 3 mal zum Schrank und nimmt immer 4 Teiler auf einmal.“ à Multiplikation als fortgesetzte Addition! (Bei Multiplikation handelt es sich um eine Operation zweiter Stufe, die sich auf der Zahlebene auf die wiederholte Addition gleicher Summanden zurückführen lässt: a x b = b+b+b+b+b… -> a Summanden 2. räumlich-simultan (statisch): Wiederholung derselben Anordnung „Auf dem Tisch stehen fünf Teller. Auf jedem Teller liegen drei Kekse.“ à Multiplikation als fortgesetzte Addition! 3. kombinatorisch: Kombination von Möglichkeiten „Fam. Meier will zum See wandern, doch es gibt vier versch. Wege zur Mühle und von dort drei versch. Wege zum See.“ à Multiplikation als Kreuzprodukt! (Produktmenge AxB („A kreuz B“) ist die Menge aller geordneter Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist (Kreuzprodukt)) Beispiel: Jan hat 3 Pullis (p1, p2, p3) und 2 Hosen (h1, h2). Welche Möglichkeiten? p1xh1, p1xh2, p2xh1, p2xh2, p3xh1, p3xh2 à 6 Möglichkeiten à kombinatorischer Aspekt spielt in der Schulpraxis nur eine Nebenrolle, da wenig Anwendung im Alltag & aufwendige Darstellung mit Materialien, etc. 4. proportional: z.B. „Jeden Monat bekommt Lisa 5 Euro von ihrer Oma. Wie viel Geld hat sie nach 6 Monaten bekommen?
- Aufgaben mit Null - Multiplikation und Division mit Null - Fehler mit der Null sind die häufigsten Einmaleins-Fehler! z.B. 7 x 0 = 7; 0 x 5 = 5 „Papa backt null mal, so gibt es keinen Kuchen.“
- Rechenstrategien Multi 1. In Schritten addieren 2. Passende Einmaleinsreihe kennen 6x8 = 48, denn 8, 16, 24, 32, 40, 48 3. Tauschaufgabe nutzen (Grundlage Kommunikativgesetz) 4x3 = 3x4 (Tauschaufgabe) 4. Nachbaraufgabe nutzen (Grundlage: Distributivgesetz) 6x3 = 5x3 + 1x3 5. Additive Zerlegung eines Faktors (Grundlage: Distributivgesetz) 7x6 = 5x6 + 2x6 6. Verdoppeln und Halbieren eines Faktors nutzen (Assoziativgesetz) 6x7 = 2x (3x7) 7. Vereinfachen (Grundlage: Konstanz des Produktes) 3x8 = 6x4 (erster Faktor verdoppelt, zweiter halbiert) 8. Auswendig wissen
- Kernaufgaben Einmaleins lernen (traditionell) - Schrittweiser Aufbau des kompletten Einmaleins über die Reihen Erst 1er, 10er, 5er, dann 2er, 4er, 8er, dann 3er, 6er, 9er und noch 7er - passende Aufgaben zur thematisierten Reihe - Automatisierung der Kernaufgaben Mithilfe von: - Einmaleins-Tafel - Quadratzahl-Aufgaben - Abgeleitete Aufgaben durch „Nachbaraufgabe“ - Tauschaufgaben - Aufgaben vernetzen und Verwandte suchen z.B. 5x10=50 Verwandte: 5x5=25, 10x10=100 etc. à Kernaufgaben auswendig wissen ist wichtig!
- Möglichkeiten der Notation von Resten Restschreibwese: 13:5= 2 Rest 3 Zerlegungsschreibweise: 13:5; 13= 2*5 +3 Divisionsschreibweise 13:5= 2+3:5