Entscheidungstheorie (Subject) / Vorlesung XI: Entscheidung bei Risiko und einem Ziel (Lesson)

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• Grundbegriffe der Nutzentheorie - Sicherheitsäquivalent (SÄ) SÄ stellt die sichere Konsequenz dar, bei der der Entscheider indifferent zwischen Lotterie a und SÄ(a) ist, d.h.  u(SÄ(a)) = Eu(a) aus dem Vollständigkeitsaxiom folgt, dass der Entscheider zu jeder Lotterie ein SÄ angeben kann Voraussetzung: stetige Konsequenzenmenge SÄ jeder Lotterie lässt sich aus u(x) ableiten:  SÄ(a) = u-1(Eu(a))
• Grundbegriffe der Nutzentheorie - Risikoeinstellung beschreibt auf allgemeiner Ebene das Entscheidungsverhalten bei Risiko von Entscheidern SÄ wird dem EW der Lotterie gegenübergestellt, um die sog. Risikoprämie (RP) zu berechnen RP(a) = EW(a) - SÄ(a) Bsp.: Entscheider gibt zur Lotterie (100€, 0,5; 0€, 0,5) ein SÄ von 40€ an  RP = (100€ * 0,5 + 0€ * 0,5) - 40€ = 10€ für risikoscheue Entscheider stellt RP denjenigen Betrag dar, auf den er ausgehend vom EW zu verzichten bereit ist, um das SÄ mit Sicherheit zu erhalten für monoton steigende u(x) gilt:  RP > 0 risikoscheu  RP < 0 risikofreudig  RP = 0 risikoneutral für monoton fallende u(x) gilt:  RP > 0 risikofreudig  RP < 0 risikoscheu  RP = 0 risikoneutral lässt sich auch anhand der Krümmung von u(x) bestimmen:  konkav risikoscheu  konvex risikofreudig  linear risikoneutral kann für identische Entscheidungsprobleme von Entscheider zu Entscheider unterschiedlich sein auch derselbe Entscheider kann je nach Entscheidungssituation eine unterschiedliche Risikoeinstellung haben Bsp.: derselbe Entscheider - hat zahlreiche Versicherungen (risikoscheu) - spielt Lotto (risikofreudig) Risikoeinstellung muss daher für jede Entscheidungssituation und für jeden Entscheider neu bestimmt werden
• Grundbegriffe der Nutzentheorie - Risikoeinstellungsmaß von Arrow und Pratt exaktes Maß zur Quantifizierung der Risikoeinstellung absolutes Arrow-Prattsches Risikoeinstellungsmaß:  r(x) = - u´´(x) / u´(x)  absolutes Risikoeinstellungsmaß, weil es nicht zu den Konsequenzen der Lotterie in Relation gesetzt wird relatives Arrow-Prattsches Risikoeinstellungsmaß:  r*(x) = r(x) * x = [- u´´(x) / u´(x)] * x  wird auch proportionale Risikoeinstellung genannt für monoton steigende u(x) gilt:  r(x) > 0 risikoscheu  r(x) < 0 risikofreudig  r(x) = 0 risikoneutral für monoton fallende u(x) gilt:  r(x) > 0 risikofreudig  r(x) < 0 risikoscheu  r(x) = 0 risikoneutral r(x) und r*(x) werden in der Finanzierungstheorie oft gebraucht, um das Risikoverhalten von Anlegern zu charakterisieren man geht davon aus, dass der Grenznutzen des Geldes positiv ist,  der Grenznutzen mit steigenden Geldbeträge abnimmt,  i.d.R. fallende absolute Risikoaversion vorliegt,  i.d.R. konstante relative Risikoaversion vorliegt außerdem gilt der folgende Zusammenhang:  RP ≈ 0,5 * Var(Lotterie) * r(SÄ), d.h.  je größer die Varianz, desto größer die Risikoprämie
• Grundbegriffe der Nutzentheorie - Risikoeinstellungsmaß von Arrow und Pratt (Beispiel) Bsp. zu absoluter Risikoaversion  Entscheider gibt zur Lotterie a = (100, 0,5; 0€, 0,5) ein SÄ von 40€ an  dann soll er für Lotterie b = (1.100€, 0,5; 1.000€, 0,5) sein SÄ angeben  bei SÄ(b) = 1.040€ konstante absolute Risikoaversion  bei SÄ(b) < 1.040€ steigende absolute Risikoaversion  bei SÄ(b) > 1.040€ fallende absolute Risikoaversion Bsp. zu relativer Risikoaversion  Anleger kann Vermögen in eine sichere und eine riskante Anlage investieren  bei konstanter relativer Risikoaversion: Aufteilung unabhängig von der Höhe des investierten Vermögens  bei fallender relativer Risikoaversion: Anleger investiert bei steigendem Vermögen mehr in riskante Anlage  bei steigender relativer Risikoaversion: Anleger investiert bei steigendem Vermögen weniger in riskante Anlage
• Grundbegriffe der Nutzentheorie - Risikoeinstellung einiger wichtiger Nutzenfunktionen exponentielle Nutzenfunktion  u(x) = α + βe-cx mit c > 0 und β< 0  konstante absolute und steigende relative Risikoaversion quadratische Nutzenfunktion  u(x) = α+ βx -γx2 mit β, γ> 0, x ≤ β/2γ  steigende absolute und steigende relative Risikoaversion  ungeeignet zur Abbildung menschlichen Verhaltens logarithmische Nutzenfunktion  u(x) = α+ βlog(x)       mit β> 0  abnehmende absolute und konstante relative Risikoaversion
• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie Nutzenfunktion wird durch Beurteilung einfacher, riskanter Alternativen ermittelt Grundlage der meisten Verfahren ist die Basis-Referenz-Lotterie (BRL) und deren SÄ* es gilt: EU(BRL) = p * u(x+) + (1-p) * u(x-) = u(SÄ*) da u(x+) = 1 und u(x-) = 0 kann man dies vereinfachen zu: EU(BRL) = p = u(SÄ*) Methoden zur Ermittlung von u(x) unterscheiden sich dadurch, ob gefragt wird nach  p,  x+ bzw. x- SÄ* Über EU(BRL) = p = u(SÄ*) erhält man Stützpunkte von u(x)
• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie (Mittelwert-Kettungs-Methode) Erinnert stark an die Halbierungsmethode (Wertfunktionen) Vorgehensweise:  Entscheider wird nach SÄ(x-, 0,5; x+, 0,5) gefragt  angegebener Wert entspricht x0,5 mit u(x0,5) = 0,5  dann wird nach SÄ(x-, 0,5; x0,5, 0,5) und SÄ(x0,5, 0,5; x+, 0,5) gefragt  Antworten entsprechen x0,25 und x0,75 mit u(x0,25) = 0,25 und u(x0,75) = 0,75  Konsistenzprüfung, z.B. ist SÄ(x0,25, 0,5; x0,75, 0,5) = x0,5?  Skizze
• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie (Fraktilmethode) Konsequenzen der BRL bleiben konstant, Wahrscheinlichkeiten werden geändert i.d.R. wird nach SÄ * für p = 0,8, 0,6, 0,4 und 0,2 gefragt Antwort für p = 0,8 entspricht x0,8 mit u(x0,8) = 0,8 analog für p = 0,6, 0,4 und 0,2 Konsistenzprüfung: Kombination mit Mittelwert-Kettungs-Methode, z.B. ist SÄ(x0,4, 0,5; x0,8, 0,5) = x0,6? Skizze
• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie (Methoden) 3 Methoden: Mittelwert-Kettungs-Methode Fraktilmethode Methode variabler Wahrscheinlichkeit
• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie (Methode variabler Wahrscheinlichkeiten) Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Konsequenzen der BRL und SÄ werden vorgegeben • ntscheider muss p so festlegen, dass gilt: BRL ~ SÄ daraus folgt:  p = u(SÄ) als SÄ werden möglichst äquidistante Werte zwischen x+ und x- gewählt  d.h. Stützstellen xi, i = 1, …, n; xi = ((x+-x-) / (n+1)) * i + x- =  x- + i * ((x+-x-) / (n+1)) Konsistenzprüfung Skizze
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• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie (Stärken und Nachteile der Methoden) Mittelwert-Kettungs-Methode + benutzt nur 50-50-Lotterien, die für Entscheider sehr eingängig sind + beliebiger Grad an Präzision durch weitere Halbierungen + einfache Möglichkeit der Konsistenzprüfung - systematische Verzerrungen, da fehlerhafte Antworten fortgeführt werden Fraktilmethode + Konsequenzen der Lotterie bleiben während der Befragung konstant + keine systematische Verzerrungen, da fehlerhafte Antworten nicht fortgeführt werden - benutzt nur nicht 50-50Lotterien, so dass relativ hohe Anforderungen an die Informationsverarbeitungskapazitätdes Entscheiders gestellt werden Methode variabler Wahrscheinlichkeiten + gut anwendbar, wenn die Konsequenzen auf nicht-kontinuierlichenSkalen definiert sind + keine systematische Verzerrungen, da fehlerhafte Antworten nicht fortgeführt werden - benutzt nur nicht 50-50-Lotterien, so dass relativ hohe Anforderungen an die Informationsverarbeitungskapazitätdes Entscheiders gestellt werden
• Bestimmung der Nutzenfunktion - Basis-Referenz-Lotterie (anhand der Risikoeinstellung) Prinzip: Einschränkung der möglichen Nutzenfunktionen durch Berücksichtigung der Risikoeinstellung  Beispiel:  konkav, monoton, u(x*) bekannt „konstante absolute Risikoaversion“  u(x) = α + β·e-c·x, r(x) = c > 0, β < 0.  bekannt: (10€, 0,5; 0€, 0,5) ~ 3,8€ Rechnung: Hinweis: u(0€) = 0 und u (10€) = 1 c ≈ 0,1; α = 1,58; β= -1,58 EU(a) = 0,5 [α+ βe-c*10] + 0,5 [α+ βe-c*0] = α+ βe-c*3,8 <=> 0,5 * e-c*10–e-c*3,8+ 0,5 = 0 u(x) = (1-e-c*(x-xmin/xmax-xmin) ) / (1-e-c) Es gilt: u(xmax) = 1, u(xmin) = 0 Aussage: Aus (xmin, p; xmax, 1-p) ~ 0,5 * (xmin + xmax) folgt c = 2 * ln(1/p - 1)
• Berechnung der optimalen Alternative wenn u(x) bestimmt worden ist, - lassen sich Alternativen auf dieser Grundlage ordnen  - lässt sich die optimale Alternative ermitteln  Berechnung der optimalen Alternative hängt von der gewählten Darstellungsform ab 1.einstufig 2.mehrstufig bei einstufigen Entscheidungen und endlicher Anzahl von Konsequenzen gilt: EU(a) = Σpi * u(ai) - Entscheidungsmatrix bei mehrstufigen Entscheidungen wird häufig die Darstellung in einem Entscheidungsbaum gewählt
• Berechnung der optimalen Alternative (optimale Strategie) Achtung: wegen linearer Nutzenfunktion kann auf Basis des Erwartungswertes entschieden werden! der Erwartungswert dieser Strategie beträgt 180.000€ (0,400) abzgl. des Preises für den Test bis zu einem Preis für den Test in Höhe von 79.800€ führe seismischen Test durch - wenn Testergebnis günstig, sollte Bohrung stattfinden - wenn Testergebnis ungünstig, sollte auf Bohrung verzichtet werden - dann Alternative „kein Test/Landverkauf“ 100.200€ (0,286) profitabler  wichtig: Roll-back-Verfahren - ermittelt nur optimale Strategie - erlaubt keine Aussagen über die Rangfolge der anderen Strategien - Axiome sind unabdingbar!
• Berechnung der optimalen Alternative (unendliche Konsequenzenmenge bzw. stetige Verteilungen) (von Klausur ausgeschlossen) häufig hat man es mit unendlicher Konsequenzenmengebzw. mit stetigen Verteilungen zu tun Bsp.: Kapitalmarkttheorie setzt normalverteilte und damit stetige Rendite einer Aktie voraus  bei stetiger Verteilung gilt: EU(a) = ∫ u(x) * P' (x) *dx P´(x) = Dichtefunktion der Verteilung der Konsequenzen der Alternative a  Berechnung von Eu(a) ist insb. bei stückweiser linearer und bei exponentieller Nutzenfunktion relativ einfach  Spezialfall: Konsequenzen normalverteilt, exponentielle Nutzenfunktion Eu(a) = u(EW(a) -½ · c · Var(a))
• Berechnung der optimalen Alternative (Erwartungswert-Varianz-Regel) Eu(a) = u(EW(a) - 1/2·c·Var(a)) μ= EW(a) σ= Var(a) Beispiel: Auswahl eines Investitionsportfolios
• Nutzentheorie und Risiko Zusammenhang zwischen Wert-und Nutzenfunktion Risiko-und Wertvorstellungen sind im Nutzenkalkül untrennbar miteinander verwoben Folge: „risikoscheu“ bedeutet nicht notwendigerweise, dass der Entscheider das „Risiko scheut“ Grund für konkaven Verlauf von u(x) kann sein - konkaver Verlauf der Wertfunktion, d.h. abnehmender Grenzwert von steigenden sicheren Werten - „echte“ scheu vor Risikosituationen, d.h. intrinsische Risikoscheu Wertfunktion in Grafik über Nutzenfunktion = intrinsisch risikofreudig Wertfunktion in Grafik unter Nutzenfunktion = intrinsisch risikoscheu

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