Mathe (Subject) / Grundlagen (Lesson)
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Grundlagen
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- Erkläre: Menge, Elemente, Mengenschreibweise Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte in einer Menge nennt man Elemente. Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x ϵ M ( sprich: x ist Element von M oder x liegt in M ); andernfalls schreibt man x ϵ M ( x ist kein Element von M / x liegt nicht in M ) Mengenschreibweise B = { a;b;c; }, somit gilt a ϵ B, d ϵ B C = { 3;4;5;...;15 }
- Vereinigung, Durchschnitt, Differenz A = {1;2;3;4} und B = {3;4;5} Die Vereinigung von A und B enthält dann alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind, also ist A ∪ B = {1;2;3;4;5} Der Durchschnitt enthält alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, also ist A ∩ B = {3;4} Die Differenz von A und B enthält diejenigen Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B, also ist A \ B = {1;2}
- Was bedeutet " Betrag " ? Der Betrag |a| von a ist der Abstand von a zur Null auf der Zahlengeraden
- Intervalle offener Intervall ( a;b ) = { x | a<x<b } → a und b gehören nicht zum Intervall abgeschlossener Intervall [ a;b ] = { x | a≤x≤b } → a und b gehören zum Intervall halboffene Intervalle rechtsoffene Intervall [ a;b ) = { x | a≤x<b } linksoffene Intervall ( a;b ] = { x | a<x≤b } ( Anmerkung: bei ∞ steht immer eine runde Klammer )
- natürliche Zahlen, ganze Zahlen , rationale Zahlen, irrationale Zahlen, reelle Zahlen natürliche Zahlen ( N ) bsp. : 1 , 2 , 4 , 7 , 29, 53 ... ganze Zahlen ( Z ) bsp. : -4, -7, - 23 rationale Zahlen ( Q ) : abbrechende oder periodische Dezimalzahl ( also auch Brüche.. ) irrationale Zahlen ( I ) : Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem komma, die sich nicht periodisch wiederholen ( √3, log, pi ... ) reelle Zahlen ( R ): alles oben genannte zusammen
- Umrechnung einer abbrechenden Dezimalzahl in einen Bruch Bsp. 1,2* 10 = 12, also ist 1,2 = 12:10 = 12/10 32,177* 1000 = 32177, also ist 32,177 = 32177:1000 = 32177/1000
- Umrechnung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch 2,2periode15 1. Man verschiebt zunächst das Komma um die Länge der Periode nach rechts 2,2¯15 → 221,515 2. Diese beiden Zahlen werden wie folgt subtrahiert: 221,5¯15 - 2,2¯15 = 219,3 Das Ergebnis der Subtraktion ist also 219,3 = 2193/ 10 Daraus ergibt sich die Gleichung 2193/ 10 = 10*2,2¯15 - 1*2,2¯15 = 99 * 2,2¯15 2,2¯15 = 2193/ 10 : 99 = 2193/ 10 * 1/99 = 2193/ 990
- Potenzen 4^3^2 ( vier hoch drei hoch 2 ) Bei Potenzen wird die höchstgestellte Potenz zuerst berechne, es ist also 43^2 = 4(3^2) und nicht (43)2)
- a^0 = ? a0 = 1
- a^k * a^m = ? ak * am = ak+m
- a^k / a^m = ? ak/am = ak-m
- a^k*b^k = ? ak * bk = (a*b)k
- (a^k)^m = (ak)m = ak*m
- √ab = ? √ab = √a *√b
- √a * √b = ? √a * √b = √ab
- √a/c = ? √a/c = √a / √c
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- √a / √c = ? √a / √c = √a/c
- √a+b =/= ? √a+b =/= √a +√b
- n√ab = ? n√ab = n√a * n√b
- n√a/c = ? n√a/c = n√a / n√c
- a^p/q = ap/q = q√ap = ( q√a )p
- n√m√a n√m√a = n*m√a
- n√a = ? n√a = a1/n
- Zahl/ Variable/ Term aus Nenner eines Bruchs ( Zahl unter dem Strich ) entfernen Bruch mit Zahl/ Variable/ Term erweitern ( multiplizieren )
- Zinseszinsformel Wird ein Anfangskapital K0 pro Jahr mit p% verzinst, so wächst das Kapital nach n Jahren auf einen Betrag von Kn = K0 ( 1+ p/100 )n an.
- Prozentrechnung, Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert 1% = 1/100 = 0,01 ; 100% = 100/100 = 1 Grundwert = Prozentwert / Prozentsatz ( ‰) Prozentsatz = Prozentwert / Grundwert Prozentwert = Grundwert * Prozentsatz
- Linerare Gleichung Normalform y= mx+b m = Steigung b = y-Achsenabschnitt; Konstante
- Definition - Lineare Funktion Ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu ---------- Jeder x- Wert bekommt genau einen y- Wert
- Lineare Funktion Lineares Wachstum - Monotonie Ist m>0 → lineares Wachstum ( die Funktion ist streng monoton steigend ) Ist m<0 → linearer Zerfall ( die Funktion ist streng monoton fallend )
- Lineare Gleichung Ursprunggerade y = m*x m = Steigung, m = y/x
- Lineare Gleichung Durchschnittliche Änderungsrate / Steigung durch zwei Punkte Def.: Die durchschnittliche Änderungsrate beschreibt die Steigung der Sekante ( eine Gerade, die eine Kurve in zwei verschiedenen Punkten schneidet ) zwischen zwei Punkten Steigung m berechnen: m= ∆y / ∆x ∆ = "Delta"; Differenz P(x1 / x2 ), Q (y1 / y2 ) m= y2-y1 / x2-x1
- Lineare Funktion Nullstellen berechnen Nullstellen berechnen = Gleichung auf 0 stellen y = mx+b = 0 | -b mx = -b | :m x = -b/m
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- Lineare Funktion y-Achsenabschnitt berechnen Für x wird 0 eingesetzt
- Lineare Gleichung - Geradengleichung durch zwei Punkte aufstellen A ( 2/-4 ) B ( 5/4 ) Berechne die Steigung m = 4+4 / 5-2 = 8/3 Setze m und einen beliebigen Punkt in die Geradengleichung ein, um b zu bestimmen 4=8/3*5+b 4=40/3+b |-40/3 -28/3=b Setze m und b in die allgemeine Geradengleichung ein y=8/3x-28/3
- Lineare Gleichungen Parallele Geraden Falls m1 = m2 gilt, so sind die Geraden parallel g(x) || g1(x)
- Lineare Gleichungen Senkrechte Geraden ( Orthogonal ) Fall m1*m2 = -1 gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander ( orthogonal ) ( 90° Winkel ) g(x) ⊥ g1(x)
- Lineare Gleichung Schnittpunkt berechnen f(x) = -2x+8 g(x) = x+10 f(x) = g(x) -2x+8 = x+10 | -8, -x -3x = 2 | :(-3) x = 2/3 x in g(x) -2/3+10 = 28/3 SP ( -2/3 / 28/3 )
- Lineare Gleichung Steigungswinkel Def. ; Bsp.: f(x) = 1,5 Def.: Der Steigungswinkel gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zu x-Achse steht. Bsp.: Der Steigungswinkel ∝ einer geraden y=mx+b erfüllt m=tan(∝) f(x)= 1,5x m= tan(∝) ⇔ ∝ = tan-1(1,5) = 56,31°
- Lineare Gleichung Ursprungsgerade mit Steigungsdreieck zeichnen m=y/x f(x) = 1,5x m = 1,5 = 15/10 = 2/3 ( 2 nach recht, 3 nach oben ) h(x) = -0,4 = -4/10 = -2/5 → m= -2/5 oder 2/-5 ( -2/5: 2 nach links, 5 nach oben )
- Lineare Gleichung - Aufgabe Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f(x) = x² vom Interval [1;3] x1 = 1, x2 = 3 m = f(3)-f(1) / 3-1 = 3²-1² / 2 = 9-1 / 2 = 8/2 = 4
- 2*2*2*2 = ? 2*2*2*2 = 24
- Vorzeichen ? (-2)² (-2)³ (-2)² = 2² = 4 → ist der Exponent gerade = kein Vorzeichen (-2)³ = -8 → ist der Exponent ungerade = negatives Vorzeichen
- x^0 = 5^0 = (-7)^0 = x0=1 50=1 (-7)0=1
- x^m/n = ? xm/n = n√xm
- x^-m/n = ? x-m/n = 1/ n√xm
- x^-n = ? x-n = 1/xn
- 40/11 als Dezimalzahl schriftlich dividieren 40:11 = 3,¯63 33 70 66 40 33 70
- Maßeinheit für Garne ( Nm = Nummer metrisch ) Nm = ? Nm60 = ? Nm = m/1g Nm60 = 60m wiegen 1g
- Maßeinheit für Garne Tex = ? 25Tex = ? Tex = g/ 1000m 25Tex = 1000m wiegen 25g
- Maßeinheit für Garne ( Den = Denier ) Den = ? 20Den = ? Den = g/ 9000m 20Den = 9000m wiegen 20g
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