Mathematik (Subject) / Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (Lesson)

Variation,Permutation etc.

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• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass bei einmaligem Würfeln eine sechs auftritt? (Laplace) Ω= { 1,2,3,4,5,6 } (mögliche Ereignisse) Ereignis: A = {6} Wahrscheinlichkeit: P(A)= 1 / 6
• Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment. Dabei wird das eine Ergebnis als Erfolg (Treffer) und das andere Ergebnis als Misserfolg (Niete) gewertet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird Erfolgswahrscheinlichkeit genannt und mit einem kleinen p bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist 1−p und wird oft mit q bezeichnet.
• Bernoulli-Kette Führt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit p, durch entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ein einfaches Beispiel ist das wiederholte Werfen einer Münze. Die dabei erzielten Ergebnisse werden häufig als n-Tupel der Form (0,1,1,1,0,1,0, ...) oder 0111010... angegeben, wobei die 1 für einen Erfolg steht. Da es von diesen n-Tupeln genau 2n gibt, sind bei einer Bernoulli-Kette der Länge n genau 2n verschiedene Ergebnisse möglich. Man kann auch aus Zufallsexperiment, mit mehr als 2 möglichen Ergebnissen, ein Bernoulli-Experiment machen. Die Ergebnismenge Ω wird dazu in ein Ereignis A und sein Gegenereignis ¯A aufgeteilt. Ein Erfolg (Treffer) wird dann erzielt, wenn ein Ergebnis ω∈A eintritt.
• Durch diese beiden Zahlen ist eine Bernoulli-Kette eindeutig bestimmt: p =Erfolgswahrscheinlichkeit n= Länge der Bernoulli−Kette
• Die Formel von Bernoulli Liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, so wird die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit B(n; p; k ) bezeichnet. Sie kann mit der dargestellten Formel berechnet werden:    P(X=k)= (n)·pk·(1−p)n−k                  (k)      X = 0: Kein Erfolg X = 1: Genau ein Erfolg X=2: Genau 2 Erfolge X= n: Genau n Erfolge, d.h. kein Misserfolg           
• 42% aller Deutschen haben die Blutgruppe A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 8 zufällig ausgewählten Personen genau 4 die Blutgruppe A haben? (Bernoulli) Zunächst bestimmen wir n (Länge der Kette), p (Trefferwahrscheinlichkeit) und k (Treffer)    B(8; 0,42 ; 4 ) Nun setzen wir die vorab bestimmten Werte in die gegebene Formel ein: P(X=4)=B(8;0,42;4)=(8 _ 4)·0,424·(1−0,42)8−4 P(X=4)=0,24649 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 8 zufällig ausgewählten Personen genau 4 die Blutgruppe A haben beträgt 24,65%.
• Unterschied Ziehen mit und ohne Zurücklegen Im Gegensatz zum Ziehen mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen im zweiten Zug. Zieht man beispielsweise im ersten Zug eine rote Kugel, so hat man im zweiten Zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen. Warum? Weil sich die Anzahl der günstigen und der möglichen Ereignisse (eine Rote Kugel weniger) um 1 verringert. Merke: Bei Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen ist es sinnvoller Brüche statt Dezimalzahlen für die Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.
• 1 und 2 Pfadregel Pfadregel (Produktregel):Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. Pfadregel (Summenregel):Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.
• Wird ein Bernoulli-Experiment mit den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen A und ¯A n-mal nacheinander ausgeführt (mehrstufiges Bernoulli-Experiment vom Umfang n) und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Versuche an, in denen?eintritt, ist die Zufallsgröße X ?. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße X heißt ?. Wird ein Bernoulli-Experiment mit den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen A und -A n-mal nacheinander ausgeführt (mehrstufiges Bernoulli-Experiment vom Umfang n) und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Versuche an, in denen das Ereignis A eintritt, ist die Zufallsgröße X binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße X heißt Binomialverteilung.
• Ein (einstufiges) Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Erfolg und Misserfolg) heißt ?. Bernoulli-Experiment
• Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal un- ter gleichen Bedingungen durchgeführt, so spricht man von einer ? der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Bernoulli-Kette
• Das Modell der Bernoulli-Kette wird vor allem dann genutzt, wenn ? aus einer Grundgesamtheit n Objekte rein zufällig mit Zurücklegen ausgewählt werden.
• Eine binomialverteilte Zufallsgröße X besitzt einen Erwartungswert EX und eine Standardabweichung VarX Ist X eine binominalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und o (kurz X ˜ bn;p), dann ist  EX =μ= n · p Ist X ˜ bn;p dann ist VarX = δ2= n · p · (1 – p)
• binominalverteilte Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X, welche die Werte 0; 1; 2; ... ; n mit den Wahrscheinlich-keiten P(X = k) = (n"über"k)· pk·(1 – p)n – k   annimmt, heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p. Man schreibt X ~ Bn; p
• Die Binomialverteilung entsteht, wenn man ... ein Bernoulli-Experiment mehrere Male wiederholt und an der gesamten Anzahl der Erfolge interessiert ist.
• kumulierte Wahrscheinlichkeit Mit der Formel von Bernoulli kann man die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen. Damit kann man auch die Wahrscheinlichkeit für z.B. höchstens k Treffer berechnen, indem man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für 0 Treffer, 1 Treffer usw. bis k Treffer addiert. Beispiel: P(X5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Allgemein heißt P(X≤k) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k) die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Mit Hilfe der kumulierten Wahrscheinlichkeit lassen sich auch Wahrscheinlichkeiten der Form P(X≥k), P(k1≤X≤k2) usw. berechnen
• Berechnung mit EXCEL Sei X eine binominalverteile Zufallsvariable, bzw. sei p eine Binominalverteilung. Um dann konkrete Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man die EXCEL-Funktion BINOMVERT: nicht kumuliert, d.h. p(X=k):BINOMVERT(k;n;p0;0) Kumuliert, d.h. p(X≤k) bzw. p(≤k):BINOMVERT (k;n;po;1)
• Kombinatorik Welche Formel brauche ich? Entscheide, ob alle Elemente betrachtet werden oder nur eine Stichprobe. Entscheide, ob die Reihenfolge/Anordnung wichtig ist. Entscheide, ob eine Wiederholung der Elemente möglich ist . Formel auswählen. Wähle n und k. Merke: k ist immer etwas, von dem wir die Möglichkeiten/Wahrscheinlichkeit wissen möchten und n sind immer die Elemente, die wir zur Verfügung haben.
• P(AIB)=P(...I...) P (Was suchen wir I Was wissen wir) z.B. ein Schüler die AG nicht wählt, unter der Bedingung, dass er auch keinen Förderkurs besucht? P(¯AG I ¯F)= P(¯AG∩F¯) / P(‾F) = 0,25 / 0,7 = 0,3571
• Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird mit einem Zufallsexperiment erzeugt, das ? Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird mit einem Zufallsexperiment erzeugt, das beliebige reelle Zahlen liefern kann - oder zumindest solche reellen Zahlen, die in einem vorgegebenen Intervall liegen.
• Die Tatsache, dass man überall in gleicher Weise mit einer Radarkontrolle rechnen muss, werden wie später so ausdrücken: Die Position der Kontrollpunkte sind gleichmäßig verteilt oder gleichverteilt.
• Die Temperaturen (denke an Beispiel Köln) sind gleichmäßig verteilt, sondern sie sind? normalverteilt
• Ein Zufallsgenerator arbeitet auch dann korrekt, wenn er ein bestimmtes Ergebnis liefern kann, dass in der Praxis zwar möglich ist, aber mit Wahrscheinlichkeit ? auftritt. Ein Zufallsgenerator arbeitet auch dann korrekt, wenn er ein bestimmtes Ergebnis liefern kann, dass in der Praxis zwar möglich ist, aber mit Wahrscheinlichkeit 0 auftritt.
• stetige Wahrscheinlcihkeitsverteilung Es handelt sich dabei um eine Funktion p, die jedem Intervall I einen Zahlenwert p(I) zuordnet. In der Praxis ist p(I) diejenige Wahrscheinlichkeit, mit der ein Zufallsgenerator ein Ergebnis e aus dem Intervall I liefert.
• Bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung hat eine einzelne Zahl immer die Wahrscheinlichkeit 0
• Irrelevanz der Intervallgrenzen Wie bereits erwähnt hat bei einer stetigen Verteilung jede einzelne konkrete Zahl die Wahrscheinlcihkeit 0. Wenn wir also die Wahrscheinlcihkeit eines Intervalls definieren so ist es gleichgültig, ob wir die Grenzpunkte dieses Intervalls hinzufügen oder wegnehmen. Diesen Umstand werden wir in Zukunft als Irrelevanz der Intervallgrenzen bezeichnen.
• Verteilungsfunktion Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallszahl e höchstens den vorgegebenen Wert x hat.
• Wenn also in Zukunft die Frage entsteht, ob denn da nicht irgendeine Intervallgrenze zu viel ist oder fehlt, so lautet die Antwort: Das mag ja sein, hat aber auf die betrachtete Wahrscheinlichkeit keinen Einfluss.
• Was ist eine Zufallsvariable? Eine Zufallsvariable (X) ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperimentes reelle Zahlen zuordnet: X:Ω→ℝ,X:ω→X(ω)=x
• Diskrete Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn es endlich oder abzählbar unendlich viele Werte X1, X2, X3, …, Xn annehmen kann. Eine Zufallsvariable (X), die nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt, ist immer diskret. Beispiele: Augenzahl beim Würfeln, Münzwurf
• Träger einer diskreten Zufallsvariablen Der Träger TX einer diskreten ZV X ist die Menge aller Werte, die X mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt. Meist ist der Träger einer diskreten Zufallsvariablen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen (1,2,3,…,n). Den Träger TX kann man auch als Ereignisraum verstehen. Wichtig: Es müssen zunächst immer alle Träger der Zufallsvariablen ermittelt werden um dann die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
• Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen und ist nur für diskrete Zufallsvariablen definiert. Definition: f:ℝ→[0;1],f:x→f(x)=P(X=x)=p P(X=x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die ZV X den Wert x annimmt. Mag auf den ersten Blick kompliziert sein, aber wir betrachten dafür mal ein kleines Beispiel: Es wird ein normaler Würfel geworfen. Wie bereits beschrieben müssen erst die Träger der Zufallsvariablen bestimmt werden, welche auch als Ereignisraum verstanden werden können. Der Ereignisraum lautet also Ω={1,2,3,4,5,6}. Danach werden die Wahrscheinlichkeiten, analog zu den bisherigen Wahrscheinlichkeiten, mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet.
• Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten (oder stetigen) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Funktion F, die jedem x einer Zufallsvariablen X genau eine Wahrscheinlichkeit P(X≤x) zuordnet, heißt Verteilungsfunktion. F:ℝ→[0,1],F:x→ F(x)=P(X≤x) Ahja, und was bedeutet das? Interpretation: Die Verteilungsfunktion misst die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: F(X)=P(X≤x) = „Wahrscheinlichkeit das X weniger oder gleich einen bestimmten Wert x hat.“ Eigenschaften: Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist eine Treppenfunktion. F(x) ist für jedes x definiert und nimmt Werte von 0 bis 1 an. Wird bei Hypothesentests verwendet! Signalwort: Höchstens. Merke: P(X≥x)=1−P(X<x)=1−P(X≤x−1) und P(X>x)=1−P(X≤x)
• stetig verteilte Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X wird als stetig bezeichnet,wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt.
• Stetige Zufallsvariablen entstehen meist durch einen ? Messvorgang
• Stetige Gleichverteilung: Wartezeit auf den Bus Ein einleuchtendes Beispiel für eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable ist die Wartezeit auf einen Bus. Wenn ich weiß, dass der Bus alle 10 Minuten abfährt, aber den Fahrplan nicht im Kopf habe, sondern einfach an die Haltestelle laufe, dann folgt meine Wartezeit an der Haltestelle einer stetigen Gleichverteilung zwischen a=0 und b=10 Minuten. Hier ist nun jede reelle Zahl als Wartezeit möglich, z.B. auch 4.325 Minuten. Durch die Modellierung der Wartezeit als stetige Gleichverteilung kann ich nun zum Beispiel die durchschnittliche Wartezeit sowie ihre Varianz berechnen.
• Vergleich diskrete und stetige Gleichverteilung Die stetige Gleichverteilung ist quasi eine Verallgemeinerung der diskreten Gleichverteilung. Während bei der diskreten Gleichverteilung jede ganze Zahl zwischen a und b möglich ist (beim Würfelwurf ist z.B. a=1 und b=6), so ist bei der stetigen Gleichverteilung nun jede reelle Zahl im Intervall von a bis b ein mögliches Ergebnis.
• stetige Gleichverteilung, Parameter Die stetige Gleichverteilung hat zwei Parameter, a und b. Das sind die Intervallgrenzen. Es ist also a das kleinste mögliche Ergebnis der Zufallsvariablen, und b das größte mögliche. Eine Zufallsvariable X, die stetig gleichverteilt ist, bezeichnet man durch X∼U(a,b) Das U kommt aus dem Englischen "uniform", denn die Gleichverteilung heißt dort uniform distribution. Die Wartezeit in Minuten auf den nächsten Bus bezeichnet man etwa durch X∼U(0,10).
• stetig Gleichverteilt, Träger Aus der Beschreibung der Parameter geht hervor, dass der Träger der stetigen Gleichverteilung genau das Intervall [a,b]ist. Der Träger ist also T=[a,b]. An der Bushaltestelle sind so alle Wartezeiten zwischen 0 und 10 Minuten denkbar.
• stetig vs. diskret stetige oder kontinuierliche, wenn sie jeden beliebigen Wert eines bestimmten Intervalls annehmen können (z.B. Körpergröße 175,33 cm, Temperatur); und diskrete, wenn sie nur endlich viele Werte annehmen können (z.B. Augenzahl beim Würfeln, Anzahl der Kinder)
• Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen-> Erwartungswert Erwartungswert (Lageparameter): Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung und beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Der Erwartungswert E(X) wird auch oft als μ bezeichnet. μ=E(X)= x1⋅p1+x2⋅p2+⋯+xk⋅pk
• Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen-> Varianz Varianz (Streuungsparameter): Varianz beschreibt die Streuung einer Zufallsvariablen und hängt nicht vom Zufall ab. Die Varianz von der Zufallsvariablen X ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung von ihrem Erwartungswert. Oft wird statt V(X) einfach σ2 geschrieben. σ2 = V(X) = ∑ki=1  (xi−μ)2⋅pi Der Verschiebungssatz σ2=∑ki=1  x2i ⋅pi – μ2 erleichtert meist die Berechnung der Varianz
• Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen-> Standardabweichung Standardabweichung (Streuungsparameter): Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz und gibt die Streuung der Werte um den Mittelwert an. Damit ist die Standardabweichung ebenfalls ein Maß für die Streuung, nur dass sie etwas langsamer ansteigt als die Varianz. Kennt man die Varianz, dann kann diese leicht in die Standardabweichung umgerechnet werden (und umgekehrt). σ=√V(x) = √σ2
• Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen-> Grundaufgaben? Grundaufgaben Erwartungswert und Standardabweichung berechnen und interpretieren Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Zufallsvariable Werte annimmt, die um vorgegebene Werte vom Erwartungswert abweichen.
• Bernoulliverteilungen sind stets.. diskret!
• Was ist ein Bernoulli Experiment? Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem man sich nur dafür interessiert, ob ein Ereignis A eintritt oder nicht. Es wird also nur Erfolg oder nicht Erfolg betrachtet. Die Bernoulli Verteilung ist stets diskret! Dann heißt X bernoulliverteilt mit Parameter p. Man schreibt X∼B(1,p).
• Bernoulli Experiment: Es sei p=P(A) die Eintritts- oder Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariable X kann nun folgende Werte annehmen X={ = 1, falls A eintritt     {  = 0, falls A nicht eintritt und beschreibt die Anzahl der Erfolge bei n=1 Versuchen.
• Sei X∼B(1,p). Dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X=1) = p und P(X=0) = 1−p Gegenwahrscheinlichkeit Daraus ergeben sich folgende Lage- und Streuungsmaße: Erwartungswert:   μ=E(X)=p                                                         Der Erwartungswert ist hier die Eintrittswahrscheinlichkeit. Varianz: σ2=V(X)=p⋅(1−p) Standardabweichung: σ=√p⋅(1−p) Zur Erinnerung: Die Standardabweichung misst, wie schwer es ist, diese Wahrscheinlichkeit zu schätzen. Beispiele: Geburt (Mädchen/Junge), Münzwurf (Kopf/Zahl)
• Binomialverteilung Die Binomialverteilung („mit Zurücklegen-Verteilung“) ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Binomialverteilung ist die n-malige Wiederholung eines Bernoulli Experiments. Dann heißt X binomialverteilt mit Parametern n und p. Man schreibt X∼B(n,p).
• Binominalverteilung, Bemerkung Die einzelnen Wiederholungen sind stochastisch unabhängig. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei allen Wiederholungen p: - genau k Treffer:                                             P(X=k) = (n "über" k)⋅pk⋅(1−p)n−k - höchstens k Treffer:                                   P(X≤k) = ∑i=0k  (n "über" i)⋅pi⋅(1−p)n−i                                          

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