Aufbau Matrizen
Matrizen Matrizen bestehen aus m Zeilen und n Spalten, weshalb sie auch (m,n)-Matrizen genannt werden. Die Dimension einer einzelnen Matrix (Matrizen ist nur der Plural vom Begriff „Matrix“) mit m Zeilen und n Spalten ist m x n.
Die Elemente einer Matrix bezeichnet man auch als ?
Die Elemente einer Matrix bezeichnet man auch als Koeffizienten!
Besondere Matrizen sind:
- Quadratische Matrizen
- Nullmatrix
- Einheitsmatrix
- Diagonalmatrix
- Übergangsmatrix/Stochastische Matrix
Quadratische Matrizen: m=n Nullmatrix: Alle Elemente der Matrix sind Null! Einheitsmatrix: Elemente der Hauptdiagonalen gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null! Diagonalmatrix: alle Elemente – außer die Elemente der Hauptdiagonalen – sind gleich Null. Stochastische Matrix/Übergangsmatrix genannt, ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen.
Matrizen addieren und subtrahieren
Die Addition und Subtraktion von Matrizen lässt sich durchführen, wenn ....?
...die beiden Matrizen jeweils vom gleichen Typ sind. Etwas unmathematischer ausgedrückt müssen diese die selbe „Gestalt“ aufweisen. Man addiert oder subtrahiert jeweils die entsprechenden Komponenten der beiden Matrizen.
Die Addition von Matrizen ist – ebenso wie eine normale Addition – kommutativ, d.h.
die Reihenfolge der Matrizen ist beliebig: A+B=B+A. Subtraktion ist analog!
Zahl mal Matrix
Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch ? genannt) multipliziert, indem man ?
Zahl mal Matrix Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch Skalar genannt) multipliziert, indem man jedes Element von A mit r multipliziert
Matrix mal Vektor
Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgeführt werden kann, muss ...?
die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen.
Matrix mal Matrix
Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die
Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.
Was gilt für die Übergangsmatrix? (3)
(Austauschprozesse)
Immer quadratisch-> Zeilen und Spaltenanzahl ist gleich haben genauso viele Zeilen wie der Verteilungsvektor Summe aller Spalteneinträge = 1
Austauschprozesse
Austauschprozesse ist ein beliebtes Thema für eine Klausuraufgabe. Hierbei gibt es einige Dinge, die ihr beachten müsst. In der Regel ist ein Übergangsgraph gegeben, aus dem ihr eine Matrix erstellen sollt. Achtet immer auf den Zeitraum, der angegeben ist. Das ist wichtig für eure Antworten (z.B. monatlich, Woche zu Woche etc.)! Es kann auch sein, dass die Matrix gegeben ist und ihr den Übergangsgraphen zeichnen sollt. Am sinnvollsten ist es, als Zwischenschritt eine Tabelle aufzustellen, damit das Fehlerrisiko reduziert wird.
Übergngasgraph/diagramm
Übergangsgraphen sind spezielle gerichtete Graphen mit sogenannten Kantengewichten, die eine Verbindung zwischen Stochastik und Graphentheorie schlagen Wichtig hierbei ist, dass die Spaltensumme immer 1 ergeben muss! Wenn nicht, kontrolliert dann nochmal, ob ihr alles richtig gemacht habt.
Übergangsmatirx ablesen
Aus der Tabellenform nun auf die Übergangsmatrix M kommen – die Matrix steht da quasi schon! Einfach die Zahlenwerte hinschreiben, Klammer drum und fertig!
Austauschprozesse
Zeitlich Vorwärtsrechnen
Wenn wir nun wissen wollen, was in der nächsten Woche passiert, stellen wir folgende Gleichung auf:
Der Vektor (m,s,e)T gibt die Verteilung der Lieblingsfächer Mathe, Sport und Englisch zum Zeitpunkt „jetzt“ an. Oft findet ihr in Büchern oder Aufgaben eine allgemeinere Form: ( .... ) . (x y z)T = (x' y' z')T Wichtig ist, dass der Vektor (x,y,z)T die gleiche Reihenfolge wie in der Tabelle hat! Was passiert, wenn wir die Verteilung beim übernächsten Mal (x'' y'' z'')T bestimmen wollen? Hier gibt es zwei Möglichkeiten: M . ( x y z ) = (x' y' z') und dann . (x' y' z') = (x'' y'' z'') Übergangsmatrix M im Vorfeld multiplizieren (siehe Abschnitt Matrix mal Matrix). M . M = M2 -> 2 . ( x y z ) = (x'' y'' z'') wobei wir bei der Interpretation der Koeffizienten der Übergangsmatrix M2 aufpassen müssen. Diese beschreibt nun nicht mehr die wöchentlichen Übergangswahrscheinlichkeiten zur Wahl des Lieblingsfaches, sondern die für 2 Wochen! Der Zeitraum hat sich geändert.
Wenn man eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix A^−1 multipliziert, entsteht ?.
Wenn man eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix A−1 multipliziert, entsteht die Einheitsmatrix.
Inverse Matrix berechnen
Zur Berechnung der inversen Matrix gibt es im Wesentlichen zwei Verfahren
Inverse Matrix berechnen mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus Inverse Matrix berechnen mit Hilfe der Adjunkten
Voraussetzung & Überprüfung & Bezeichnung für die Existenz einer Inversen
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen. Jedoch existiert nicht für jede quadratische Matrix eine Inverse. Falls für eine Matrix A die Inverse A−1 existiert, so heißt die Matrix regulär - andernfalls heißt sie singulär. Oftmals lohnt es sich, vorher zu überprüfen, ob eine Matrix überhaupt eine Inverse besitzt: Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn gilt: det(A)≠0 Merke: Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also 0 beträgt, gibt es keine inverse Matrix.
Bestimme die Determinante der 2x2 Matrix
( 2 1 )
( 3 4 )
D = 2 . 4 - 3 . 1 = 8 - 3 = 5 Immer MINUS rechnen und einfach im Kreuz malnehmen
Bestimme die Determinante von:
x1 x2
(2 1 I 5 )
(3 4 I 2 )
x1 x2(2 1 I 5 )(3 4 I 2 ) Alles hinter dem Strich wegdenken und normal die Determinante bestimmen sprich: D = 2 . 4 - 3 . 1 = 8 - 3 = 5 Die erste Spalte ersetzen durch das was hinten steht sprich: D1 (5 1) (2 4) Die D. von dieser neuen 2x2 Matrix bestimmen: D1= 5 . 4 - 2 . 1 = 20 - 2 = 18 Die zweite Spalte ersetzen durch das was hinten steht: D2 (2 5) (3 2) Die D. von dieser neuen 2x2 Matrix bestimmen: D2 = 2 . 2 - 3 . 5 = 4 - 15 = 11 LÖSUNG für X1 : D1 / D -> 18 / 5 LÖSUNG für X2: D2 / D -> 11 / 5 Voraussetzung: Komplett D ≠ 0 & min. ein Wert von D1 & D2 ≠ 0 ist
Determinanten 3ter Ordnung, Cramersche Regel, 3x3-Matrix
Bestimme D für:
2 1 0
1 1 1
3 0 1
2 1 0 1 1 13 0 1 Erste Zeile & Zweite hinten nochmal hinschreiben 2 1 0 I 2 11 1 1 I 1 13 0 1 I 3 0 2. D = 2 . 1 . 1 + 1 . 1 . 3 + 0 . 1 . 0 - 3 . 1 . 0 - 0. 1.2 - 1 . 1. 1 (Zeichne dir das mal auf und ziehe die Linien)
Matrix, Schreibweise der Koeffizienten, was wird zuerst angegeben? a_13, a_32
a_13 bedeutet Erste Zeile, Dritte Spalte a_32 bedeutet Dritte Zeile, Zweite Spalte Erst die Zeile, dann die Spalte
Einheitsmatrix
Sind Matrizen deren Zeilenanzahl gleich der Anzahl der Spalten ist. Die Einheitsmatrix oder auch Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind 0. Die Einheitsmatrix ist die Darstellung der Identitätsabbildung.
Determinante Berechnen, wann benutze ich Laplace Entwicklungssatz und wann Regel Sarrus?
Regel Sarrus: Determinante 2x2 oder 3x3 Matrix Entwicklungssatz von Laplace: Determinante einer belibigen quadratischen Matrix
Im Wesentlichen gibt es zwei Verfahren zur Bestimmung der Inversen Matrix: (Austauschprozesse)
Inverse bestimmen mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus Invers bestimmen mit Hilfe der Adjunkten – nur sinnvoll bei 2 x 2 Matrizen!
Invers bestimmen mit Hilfe der Adjunkten – nur sinnvoll bei 2 x 2 Matrizen!
(Austauschprozesse) Vorgehen?
Berechne die Determinante von A = (a b) (c d) Wenn die Determinante von A gleich Null ist, gibt es keine Inverse und du kannst mit dem Rechnen aufhören. Ist die Determinante von A ungleich Null, berechne die Adjunkte.
Rechenregel, Inverse
(A mal B)^-1 =
(A^T)^-1 =
(A^-1)^-1 =
(k mal A)^-1 =
(A . B)-1 = B-1 . A-1(AT)-1 = (A-1)T(A-1)-1 = A(k . A)-1 = k-1. A-1
Begriff Fixvektor, stabiler Vektor
Ein Fixvektor beschreibt einen stabilen Zustand, also einen Zustand, der sich durch Anwenden der Übergangsmatrix nicht mehr ändert. Dieser Zustand wird auch „stationärer“ Zustand genannt. Häufig wird in Aufgaben verlangt, den Fixvektor zu einem gegebenem System zu bestimmen bzw. erst seine Existenz zu überprüfen. Mathematisch betrachtet ist der Vektor vec{v}=(a b c)T gesucht, für den gilt M . vec{v} = vec{v}. Dieser kann (wenn es ihn denn gibt) aus dem zugehörigen Gleichungssystem allgemein bestimmt werden. In einem zweiten Schritt kann dann der zu einem gegebenen Zustandsvektor vec{v0} = (150 240 120)T gehörige Fixvektor bestimmt werden.
Kommutativgesetz
Dieses besagt, dass es egal ist in welcher Reihenfolge man zwei Zahlen addiert oder multipliziert. Die beiden Gleichungen dazu sehen so aus: a.b = b.a a+b=b+a
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz gibt es ebenfalls für die Addition und die Multiplikation. Hier werden jedoch drei Zahlen (bzw. Variablen) addiert oder multipliziert. Die Gleichungen bzw. Formeln dazu sind diese: (a+b)+c = a+(c+b) (a+b)+c = a + b + c (a.b).c =a . (b.c) (a.b).c = a.b.c
Distributivgesetz
Fehlt uns noch das Distributivgesetz. Bei diesem geht es darum eine Klammer auszumultiplizieren oder Klammern zu erstellen. Auch hier zunächst wieder einmal die Gleichungen: a.(b+c)=a.b+a.c (a+b).c = a.c + b.c
Populationsprozesse-> Achtung?
Zeitumfang/sprünge Achtung: Falls im Text eine Sterberate angegeben ist, müsst ihr in der Matrix die entsprechende Überlebensrate = 1 -Sterberate eintragen! (ummünzen sodass du die Populationsmatric aufstellen kannst)
Zyklus Population; Faustregel
a . b . c = 1 -> Population im Zyklus von drei Zeitschritten konstant. a . b . c < 1? -> Population stirbt aus! a . b . c > 1? -> exponentielles Wachstum der Population!
Der Produktionsprozess wird durch das Diagramm dargestellt. Diese Darstellung nennt man Gozintograph. Man spricht auch von einer Materialverflechtung. Der Gozintograph ist ein ...?
gerichteter Graph, der beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen. Produktionsprozesse können dabei mehrstufig sein, wobei der Input aus Rohstoffen, Halb- und Fertigteilen besteht. Im Gozintographen ist aufgeführt, wie diese Teile gegebenenfalls mengenmäßig verflochten sind. Dabei bezeichnen die Knoten die Teile und die gerichteten Kanten geben an, wie viele Einheiten eines Teiles in eine Einheit eines nachgelagerten Teiles einfließen. Achtung: Hier ist das Lesen von – nach andersrum als bisher! Jeder Knoten ist entweder Eingangsknoten – bei dem etwas in das System eintritt, z.B. Rohstoffe, oder Ausgangsknoten – bei dem etwas das System verlässt, zB. Endprodukte.
Einfach durchlesen und Merken, Produktionsprozesse
Die Zahlen an den Pfeilen können in einer spezifischen Verbrauchsmatrix V zusammengefasst werden. Man spricht auch von Prozessmatrix, Verflechtungsmatrix oder Technologiematrix. Interpretation der Elemente in der Matrix: v12 gibt z.B. den spezifischen Materialfluss von Quelle 1 (Rohstoff R1) zum Ziel 2 (Produkt Z2) an. Wenn das Unternehmen also ein gewisses Produktionsziel erreichen will und den dazugehörigen Rohstoffbedarf ermitteln möchte, kann das durch die Beziehung r = V . Z, mit r = (R1 R2 R3)T und z = (Z1 Z2)T beschrieben werden. Natürlich kann auch die umgekehrte Situation vorkommen, wenn das Unternehmen sich fragt, wie viele Endprodukte mit gegebenem r produziert werden können. Hierbei unterscheidet man Produktionen mit vollständigem Rohstoffverbrauch, Produktionen mit teilweisem Rohstoffverbrauch.
Abbildung und
Funktion sind das Gleiche
Abbildung/Funktion
braucht zwei Mengen: Definitions- und Zielmenge-> Die Abbildung weist nem Element aus der Definitionsmenge ein Element aus der Zielmenge zu, alle Funktionswerte zusammen sind die Bildmenge (=die ganzen Elemente aus der Zielmenge die tatsächlich irgendwie getroffen werden, wenn man nur das richtige in die Funktion einsetzt)
