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Computerübung (Fach) / angewandte Statistik (Lektion)

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• Interpretation t-Test bei gepaarten Stichproben (3 Tabellen) 1. Tabelle: Stichprobenmittelwerte, berücksichtigter Stichprobenumfang N, Stichprobenstandardabweichungen, Standardfehler des Mittelwertes 2. Tabelle: empirischer Korrelationskoeffizient + Test auf Unkorreliertheit der betrachteten gepaarten Variablen > Signifikanz gibt p-Wert an, wenn unter 5%, dann signifikant > Korreliertheit 3. Tabelle: Ergebnisse zum t-Test Mittelwert/ Standardabw/ Standardfehler der gepaarten Stichprobe + 95% KI der Differenz für Mittelwert müh der gepaarten Zufallsgröße T: Testwert für gepaarte Stichprobe; Anzahl Freiheitsgrade für gepaarte Stichprobe; Sig (2-seitig) zum Testproblem H0: müh=0 und H1: müh ungleich 0 > p-Wert unter alpha, dann H0 verworfen
• einfaktorielle Varianzanalyse ANOVA: Analysis of Variance Mittelwerttest, parametrisch, basiert auf F-Verteilung, keine gerichteten Hypothesen Beliebig viele empirische Stichproben (unabhängig) > Mittelwerte der beobachteten Gruppen signifikant unterschiedlich > Verallgemeinerung des t-Tests für unabhängige Stichproben (prüft, ob sich 2 oder mehr Mittelwerte unterscheiden) H0: alle Mittelwerte sind gleich (µ1 = µ2 = µ3 = µ4 …) – H1: es sind nicht alle Mittelwerte gleich (¬(µ1 = µ2 = µ3 = µ4 …)) >> Omnibus-Hypothesen (keine spezifischen Aussagen, welcheMittelwerte sich unterscheiden) Voraussetzungen: normalverteilte Variable mit NV in jeder Subpopulation, unabh Residualterme, homogene Varianz (unbekannte Gruppenmittelwerte der Population durch Gruppenmittel der Stichprobe geschätzt)
• ANOVA Alternativhypothese Alternativhypothese: mind ein signifikanter Mittelwertunterschied > keine Aussage darüber, welche Gruppenmittelwerte sich unterscheiden bzw welcher Gruppeneffekt sich von Null unterscheidet beruht auf Zerlegung der Varianzen
• Normalverteilung testen jede Gruppe der Faktorvariable (AV) mittels Kolmogorov-Smirnov-Tests mit Liliefors Korrektur sowie Shapiro-Wilk-Test (<30VP) nicht signifikante Abw = NV wenn NV abgelehnt, dann nichtparametrische Tests
• Wie kann Unabh gegeben werden? durch randomisierte Exp (Unabh der abh Varibalen zw versch Gruppen)
• Interpretation Statistik der einfaktoriellen Varianzanalyse Zwischen den Gruppen: Quadratsumme: Summe der Abweichungsquadrate zw den Gruppen; Mittel der Quadrate: Stichprobenvarianz zw den Gruppen innerhalb der Gr: Quadratsumme = Summe der Abwquadrate innerhalb Gruppen; Mittel der Quadrate: Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen Gesamt: Quadratsumme=Summe aller Abweichungsquadrate F: Testwert als Quotient der Varianzen zw den Gruppen und innerhalb der Gr Signifikanz = p-Wert
• parametrische Tests nutzen Annahmen über Vert der Beobachtungen (NV), um Vert der Testgröße zu bestimmen intervallskalierte DatenHypothesen beziehen sich auf Parameter (z.B. Mittelwert)
• nichtparametrische Tests Möglichkeit ohne Annahme über Vert der Beobachtungen zu arbeiten (manchmal Gleichheit von Verteilungen vorausgesetzt) Verwendung, wenn Form der Verteilung (und deren Parameter) unbekannt sind (z.B. keine Normalverteilung bei den Daten); wenn kein Intervallskalenniveau > nominal oder ordinal Nachteil: geringere Power
• asymptotische Verteilung Vert, die dazu verwendet, sich einer wahren (unbekannten) Vert einer endlichen Stichprobe anzunähern
• nichtparametrischer Test > asymptotische Verteilung bekannt zB Chi-Quadrat-Test, Entscheidung, ob für asymptotische Aussagen genügend Daten in Stichprobe vorliegen (anhand von Faustregeln)
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• nichtparametrischer Test > keine zuverlässigen asymptotischen Verteilungsaussagen rechenaufwendige "exakte Tests" alternativ zur asymptotischen und exakten Berechnung des p-Wertes kann dieser auch mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation ermittelt
• Normalverteilungsplots ergänzend zum Kolmogorov-Smirnov-Test graf Veranschaulichung inwieweit die empirische Vert einer Zufallsgröße von einer NV abweicht Q-Q- und P-P-Plot - zur grafischen Darstellung der empirischen Quantile gegen die Quantile der hypothetischen Verteilung
• Q-Q-Plots Quantile-Quantile-Daigramm; trendbereinigter Q-Q-Normalverteilungsplot Streudiagramm, in dem Stichprobenquantile (empirische Quantile) gegen die Quantile einer hypothetischen Vert zur Überprüfung einer Verteilungsannahme abgetragen Stimmen beide Vert überein, dann sind Punkte ungefähr auf einer Geraden und streuen nur leicht > starke/ systematische Abweichungen bedeuten, dass Vert der empirischen Daten nicht die der theoret Vert ist
• Q-Q-Plot Interpretation H0: Stichprobe entstammt normalverteilter Grundgesamtheit >> nur geringfügige Abw von Null-Linie, ohne erkennbares Schema > zuf Abweichungen erkennbare Abweichung nach oben/ unten von der eingezeichneten Diagonale > systematisch >> vorliegende Daten stammen nicht aus normalverteilter Grundgesamtheit
• P-P-Plots im Streudiagramm werden für bestimmte Quantile die kumulierten empirischen Wahrsch gegen die kumulierten erwarteten Wahrsch der theoret Vert abgetragen - Normalverteilungsplot
• Vorteil P-P-Plot gegenüber Q-Q-Plot Unabh der Darstellung von der Skalierung der Achsen des Plots - Werte der empirischen sowie erwarteten kumulierten Wahrsch liegen im Intervall [0,1] Q-Q-Plot: auf Skalenachsen dargestellter Wertebereich vergrößert oder verkleinert, dann Punkte gestaucht/ gedehnt > veränderlicher visueller Eindruck, ob Punkte auf Diagonalen liegen
• P-P-Plot > Erkennungsmerkmal, wenn Verteilungen übereinstimmen Übereinstimmung emp Vert der Beobachtungswerte mit hypothet Vert F0 > im Koordinatensystem abgetragene Punkte liegen ungefähr auf Diagonalen, leichte Streuung (zuf) > starke bzw systemat Abweichungen, dann keine Übereinstimmung auch Vgl zweier emp Vert mgl
• trendbereinigter Normal-P-P-Plot Abw der emp kmulierten Wahrsch von den bei zugrundeliegender NV erwarteten kumulierten Wahrsch abgetragen
• Einsatz des Chi-Quadrat-Anpassungstests in SPSS 1) Prüfung, ob beobachtete Häufigkeitsvert mit einer vorgegebenen verträglich (erwartete Wahrsch von Hand anpassen) 2) Prüfung, ob diskrete Gleichvert vorliegt (alle Kategorien haben gleiche Wahrsch)
• Chi-Quadrat-Anpassungstest: Merkmale Anpassungstest: prüft, ob eine theoretische (Festlegung über Anteile oder Häufigkeiten) und empirische Verteilung zueinander passen • Der Chi²-Anpassungstest untersucht Variablen, die in Kategorien vorliegen (nominal) H0: theoretische und empirische Verteilung passen zueinander– H1: theoretische und empirische Verteilung weichen voneinander ab Chi-Quadrat-Vert große Werte von T sprechen gegen H0 - sollte kaum Abw zw erwarteten und beobachteten Häufigketien geben
• Interpretation Chi-Quadrat-Anpassungstest t liegt im krit Bereich (sign), dann wird H0 abgelehnt > zB das derzeitige, bei Befragung erfasste Wahlverhalten unterscheidet sich nicht vom Wahlverhalten der letzten Bundestagswahl SPSS Ausgabe: beobachtetes N: emp Häufigkeiten erwartete Anzahl: erwartete Häufigkeiten Residuum: Differenz zw emp und erwarteter Häufigkeit Chi-Quadrat: Testgröße t asymptotische Signifikanz: p-Wert
• Binomialverteilung > Binomialtest (H0?) Prüft, ob eine Binomialverteilung mit bestimmten Parametern vorliegt bei einer SP Bernoulli-verteilte Zufallsgrößen nehmen 2 Werte an, 0 oder 1 (zB ja/nein) 1, mit Wahrsch x; 0, mit Wahrsch 1-x > H0: Variable folgt der vorgegebenen Binomialvert (Testanteil = x); H1: Variable ist nicht binomialverteilt (Testanteil ungleich x) > H0: Der Testanteil ist kleiner/gleich x – H1: Der Testanteil ist größer als x
• Kolmogorov-Smirnov-Test - Voraussetzung und Hypothesen Prüft, ob empirische und theoretische Verteilung (i.d.R. NV) zueinander passen > Anpassungstest für stetige Variablen zugrundeliegende Vert muss stetig sein (zB NV, Exponentialvert, Chi-Quadrat-Vert; nicht Binomialvert, da diskret) H0: Variable folgt der Normalverteilung  H1: Variable weicht von der Normalverteilung ab Shapiro-Wilk-Test: kleine Stichproben (N<50) – Hat gleiche Hypothesen 
• Kolmogorv-Smirnov-Test > Vorgehensweise 1. Parameter schätzen 2. Testen, ob die Vert mit den geschätzten Parametern vorliegt > reagiert vorischtiger, konservativer als bei bekannten Parametern - entscheidet tendenziell eher für H0 > Test auf NV oder Exponentialvert mit unbekannten Parametern kann K-S-Test mit Signifikanzniveau nach Liliefors genutzt
• Kolmogorv-Smirnov-Test > detailliertere Vorgehensweise Testgröße Z besitzt asymptotisch (n>unendlich) eine Kolmogorov-Vert große Werte von Z = starke Abw von F0  - spricht gegen H0 (liegt Testwert im krit Bereich > Ablehnung H0) liegt Testwert nicht im krit Bereich, ist Test nicht sign, d.h. Abw von einer NV ist nicht sign >> man kann davon ausgehen, dass NV vorliegt
• Kolmogorov-Smirnov-Test Auswertung SPSS N = berücksichtigter Stichprobenumfang Parameter der NV: Testvert F0 ist eine NV mit Mittelwert und Standardabw extremtremste Differenzen: absolut = größte absolute Differenz zw kumulierter emp und theoret Vert; positiv = größte pos Differenz; negativ = größte negative Differenz K-S Z: Testgröße asymptotische Signifikanz (2-seitig), Liliefors-korrigiert: p-Wert < 0,05, dann H0 (Stichprobe stammt aus normalverteilter Grundgesamtheit) abgelehnt keine NV kann vorliegen, wenn Männer und Frauen nicht getrennt werden und somit keine homogene, sondern eine geschichtete Stichprobe vorliegt = Mischvert
• Homogenitätstests Test, der auf Gleichheit der Verteilung von Zufallsvariablen bzw Stichproben - nichtparametrisch
• Bsp Homogenitätstests für 2 unabh Stichproben Mann-Whitney U-Test: Rangtest, der prüft, ob sich die Vert zweier ordinal messbarer Merkmale nur bzgl der Lage unterscheiden (nichtparametrisches Analogon zum doppelten t-Test) Kolmogorov-Smirnov Z-Test: prüft , ob sich die Vert zweier ordinal messbarer Merkmale unterscheiden
• Homogenitätstests für k unabh Stichproben nichtparametr Analogien zum F-Test der einfaktoriellen Varianzanalyse, falls nur ordinale Messbarkeit vorliegt oder NV nicht annehmbar versch Bsp im Skript
• Bsp Homogenitätstests für 2 verbundene Stichproben Überprüfen der Wirksamkeit einer Maßnahme (dafür 2 SP-Gruppen: Exp-, Kontrollgruppe) Wilcoxon-Test: Test auf Unterschiede in zentraler Tendenz von Vert (beruht auf Rängen von Differenzen) Vorzeichen-Test: beruht auf Vorzeichen der Differenzen (nicht der Ränge)
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• Bsp Homogenitätstests für k verbundene Stichproben Unterschiede zw mehreren Gruppen/ SP Bsp im Skript
• Kontingenzanalyse + mgl Tests für jedes Messniveau beeinflussen sich Variablen gegenseitig (Unabh-test) metrisch: Korrelationstest, Regressionsanalyse ordinal: Rangkorrelationskoeffizient nominal: Kreuztabellen Verdichtung von Merkmalen (Gruppierung) > in den Daten vorliegende Info nicht optimal ausgenutzt
• Chi-Quadrat-Unabh.test (Kontingenzanalyse) Mittel der deskriptiven Statistik + Mgl zur Untersuchung von Abhängigkeiten bei nominalen Merkmalen Prüft, ob sich 2 Variablen gegenseitig beeinflussen oder ob sie voneinander unabhängig Unabhängigkeit: die Ausprägung der einen Variablen beeinflusst nicht, wie die Ausprägung einer anderen Variablen ausfällt H0: die beiden untersuchten Variablen sind voneinander unabhängig (Verteilung für Lungenkrebs ist unabhängig davon, ob man raucht oder nicht - gleich große Balken)– H1: die beiden untersuchten Variablen sind voneinander abhängig Voraussetzung: Untersuchte Variable liegt in Kategorien vor – Faustregel für Chi²-Tests erfüllt (beim asymptotischen Test) – Keine erwarteten Häufigkeiten mit Wert 0 Falls die Nullhypothese gilt, sollten die Abweichungen von erwarteten und beobachteten Häufigkeiten gering
• Chi-Quadrat-Unabh.test - Vorgehensweise H0: Abh in der Kontingenztafel sind rein zufällig, Beobachtungsgrößen X und Y sind stochastisch unabh (Unabhängigkeitshypothese) Vgl der beobachteten Häufigkeiten mit den unter der Hypothese zu erwartenden Häufigkeiten Chi-Quadrat-Statistik = asymptotisch (n>unendlich) > große Stichprobe notwendig, theoret Klassenhäufigkeiten genügend groß große Werte der Testgröße (Chi-Quadrat im krit Bereich) > Ablehnung H0 Vier-Felder-Tafel = X und Y in jeweils 2 Ausprägungen
• Faustregeln beim Chi-Quadrat-Test = asymptotisch berechnet (n --> unendlich) > mgl genügend großer Stichprobe KEINE ERWARTETEN HÄUFIGKEITEN MIT WERT 0 höchstens 20% der theoretischen absoluten Häufigkeiten innerhalb der Zellen unterschreiten einen Wert von 5 Alle Zeilen- und Spaltensummen sind größer als Null > Klasseneinteilung mgl (Verdichtung) > Alternative: exakte Tests
• Zshangsmaße Signifikanztests = Aussagen, ob Zshang zw Variablen besteht, aber keine Info über Grad des Zshangs > je größer die SP, desto eher lassen sich auch schwache Zshänge nachweisen Zshangsmaße = gibt Stärke des Zshangs zw zwei Variablen an mind ordinal skaliert > Aussage über Richtung des Zshangs am Vorzeichen ablesbar
• Zshangsmaße für nominal messbare Variablen basierend auch Chi-Quadrat: Phi-Koeffizient - geeignet für Vier-Felder-Tafel, ncith vglbar für unterschiedliche Tabellengrößen Cramers V Kontingenzkoeffizient andere zB Unsicherheitskoeffizient
• Zshangsmaße für ordinal messbare Variablen Rangkorrelationsmaße (Spearmans Rangkorrelation) auf paarweisem Vgl beruhende Maßzahlen (Kendalls)
• Zshangsmaße für metrisch messbare Variablen Pearsonscher Korrelations-Koeffizient
• Chi-Quadrat-Homogenitätstest + Hypothese Gleiche Berechnung wie Unabhängigkeitstest, alternative Interpretation: Ist Verteilung einer Variable in beliebig vielen Gruppen einer anderen Variable homogen benötigt keine NV-Annahme H0: SP besitzen die gleiche Vert (Homogenitätshypothese: Hinweise auf unterschiedliche Vert sind zufallsbedingt); H0: die Verteilung von X ist in allen Kategorien von Y homogen – H1: die Verteilung von X ist nicht in allen Kategorien von Y homogen
• Chi-Quadrat-Homogenitätstest - Vorgehensweise + Interpretation Vgl beobachteter Häufigkeiten mit den bei Gültigkeit der Homogenitätshypothese zu erwartenden Häufigkeiten Chi-Quadrat = asymptotisch und Chi-Quadrat-verteilt krit Bereich > H0 abgelehnt (siehe Faustregeln ... absolute erwartete Häuf nicht zu klein) Testwert liegt nicht im krit Bereich - gegen Hypothese der Homogenität der SP lässt sich nichts einwenden
• Chi-Quadrat-Homogenitätstest - SPSS Wert: Testwert df asymptotische Signifikanz (2-seitig): Signifikanzschwelle p0 - größer kleiner als vorgegebener Wert alpha Anzahl gültiger Fälle: wie viele Werte für Berechnung berücksichtigt
• Korrelationsanalyse Untersuchung von Zshängen zw Zufallsgrößen auf Basis von Korrelationskoeffizienten (= weisen auf best Abhängigkeiten zw Zufallsgrößen hin; Kenngröße zur Beurteilung der Linearität des Zshangs zw Variablen)
• Scheinkorrelation Korrelationen zw 2 Zufallsgrößen nur feststellbar, weil weitere Zufallsgröße mit beiden Variablen korreliert
• partielle Korrelationsanalyse bei zwei metrisch messbaren Variablen und weiteren metrisch messbaren Kontrollvariablen zur Untersuchung linearer Abhängigkeiten nach Ausschaltung störender linearer Einflüsse durch Erfassung linearer Tendenzen zwischen den beiden Variablen nach Herausrechnen weiterer linearer Einflüsse durch die Kontrollvariablen mittels linearer Regression  Basis: empirischen partiellen Korrelationskoeffizienten ρ(p) Maßzahl für die Linearität des Zusammenhangs bei statistischer Eliminierung des linearen Effekts der Kontrollvariablen: ρp = 0 => Variablen sind bezüglich der Kontrollvariablen partiell unkorreliert => kein linearer Zusammenhang zwischen den beiden Variablen nach Ausschaltung der linearen Einflüsse der Kontrollvariablen => Hinweis auf eventuelle Scheinkorrelation (= Korrelation ohne Kausalzusammenhang) bei gleichzeitig betragsmäßig großem Wert des einfachen Korrelationskoeffizienten ρ ρp = ±1 => Variablen sind bezüglich der Kontrollvariablen perfekt positiv/negativ partiell korreliert => vollständig positiver/negativer linearer Zusammenhang zwischen den beiden Variablen nach Ausschaltung der linearen Einflüsse der Kontrollvariablen Test auf partielle Unkorreliertheit (Test auf Signifikanz der beobachteten partiellen Korrelation) H0: Variablenpaar ist bzgl der Kontrollvariablen partiell unkorreliert. H1: Variablenpaar ist bezüglich der Kontrollvariablen partiell korreliert. Voraussetzung: Normalverteilung des mehrdimensionalen Zufallsvektors mit den beiden Variablen und den Kontrollvariablen
• multiple Korrelationsanalyse untersuchen von linearen Abhängigkeiten zw einer Variablen und einer ganzen Gruppe
• Rangkorrelationsanalyse nach Spearman 2 mind ordinal skalierte Variablen - Untersuchung monotoner Abhängigkeiten durch Erfassung übereinstimmender bzw. gegenläufiger Tendenzen zwischen den beiden Variablen  Basis: empirischen Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman ρs bzw. Kendall’s τ Maßzahlen für die Monotonie des Zusammenhangs: ρs,τ > 0 => tendenziell übereinstimmende Rangordnung bei beiden Variablen => monotoner Zusammenhang ρs,τ = 0 => keine Rangkorrelation zwischen den Variablen => kein monotoner Zusammenhang ρs,τ < 0 => tendenziell gegenläufige Rangordnung bei beiden Variablen => monotoner Zusammenhang ρs,τ = ±1 => Vorliegen der gleichen/umgekehrten Rangordnung bei beiden Variablen => vollständig monotoner Zusammenhang Test auf Unkorreliertheit (Test auf Signifikanz der beobachteten Rangkorrelation) H0: Das Variablenpaar besitzt keine Rangkorrelation. H1: Das Variablenpaar besitzt eine Rangkorrelation keine Verteilungsvoraussetzungen
• einfache Korrelationsanalyse für metrisch messbare Merkmale + Interpretation, Hypothesen, Voraussetzung bei 2 metrisch messbare Variablen zur Untersuchung linearer Abhängigkeiten durch Erfassung linearer Tendenzen zwischen den Variablen auf Basis des empirischen Korrelationskoeffizienten nach Pearson p p=0 > unkorreliert, dh eventuell vorhandener Zshang zwischen Variablen nicht linear erfassbar (-1<=p<=1) Variablen stochastisch unabh, dann p=0; aber NICHT p=0 > Unabhängigkeit der Variablen je näher p bei -1 oder +1 liegt, desto linearer ist ein Zshang ρ > 0 => Variablen sind positiv korreliert => positiver linearer Zusammenhang  ρ < 0 => Variablen sind negativ korreliert => negativer linearer Zusammenhang Test auf Unkorreliertheit (Test auf Signifikanz der beobachteten Korrelation) H0: Das Variablenpaar ist unkorreliert. H1: Das Variablenpaar ist korreliert. Voraussetzung: Normalverteilung des zweidimensionalen Zufallsvektors mit den beiden Variablen
• Korrelationsmatrix paarweise Darstellung linear erfassbarer Abhängigkeiten zw zwei Komponenten des Beobachtungsvektors (mithilfe empirischer Korrelationsmatrix) = symmetrisch
• Unterschied zw Unabh und Unkorreliertheit Scatter-Plot = Streudiagramm (für metrische Merkmale) Unkorreliertheit besteht bei r=0 aber Unabhängigkeit (kein Zshang) besteht, wenn r=0 und beide Variablen bivariat normalverteilt > Punkte wahllos streuen, sich die Merkmale nicht gegenseitig beeinflussen Manche Zusammenhänge werden von der PearsonKorrelation nicht erfasst - bei quadratischem Zshang entsteht empirischer Korrelationskoeffizient von nahezu Null Test durch Prüfen auf NV und Erstellen eines Streudiagramms Korrelation auf Signifikanz prüfen – H0: Die Korrelation von X und Y ist null (Unkorreliertheit) – H1: Die Korrelation von X und Y ist nicht null

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