Deterministische Systeme und Signale (Fach) / Fouriertransformation (Lektion)

Fouriertransformation

Diese Lektion wurde von thomsi erstellt.

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• Wann wendet man die Fouriertransformation an? Die Foruiertransformation wird bei nichtperiodischen Signalen angewendet, im Gegensatz zur Fourierreihe.
• Wie lautet die Formel der Fouriertransformation? F(jw) =∫ f(t) e-jwtdt
• Wie lautet die Formel für die Rücktransformation? f(t) = 1/(2Π) ∫ F(jw) ejwt dt von -∞ bis +∞
• Welche Dirichletischen hinreichenden Bedingungen gibt es für die Existenz des Integrals (Fouriertransformation) ? endlich viele Maxima, Minima endlich viele Sprungstellen nur endliche Sprungstellen f(t) "absolut integrierbar d.h. ∫ |f(t)| dt = endlich, existent von -∞ bis +∞
• Definition der si-Funktion: si(x) = sin(x)/x
• Wie lautet der Dirac Stoß bzw. der Delta Impuls? Handelt es sich hierbei um eine Funktion? δ(t) =  0 für t=/=0            ∞ für t = 0 ∫ δ(t) = 1 Es handelt sich um keine Funktion, sondern um eine Distribution.
• Ausblendeeigenschaft des Dirac-Stoß: g(t) δ(t) = g(0) δ(t) ∫ g(t) δ(t) dt = g(0)
• Zeitverschiebung des Delta-Impuls: g(t) δ(t-t0) = g (t0) δ(t-t0) ∫ g(t) δ (t-t0) dt = g(t0)
• Wie lautet die Fouriertransformation der Dirac-Funktion? F(jw) = 1
• Was ist eine Impulsantwort? Bei einem kurzen Eingangssignal in ein lineares System spricht man von dem Ausgangssignale als Impulsantwort.
• Was ist die Übertragungsfunktion? Die Übertragungsfunktion ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort.
• Was ist ein Frequenzgang? Der Frequenzgang beschreibt den Zusammenhang zwischen sinusförmigen Schwingungen am Ein- und Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems. 
• Wie lässt sich die Fouriertransformation in einen Real- und Imginärteil aufteilen? F(jw) = ∫ [fr(t) cos(wt) + fi(t) sin(wt)] dt + j ∫ [ fi(t) cos(wt) - fr(t) sin(wt)]dt wobei gilt : f(t) = fr(t) + jfi(t)
• Wie lautet die Rücktransformation der Fouriertransformation, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil? fr(t) = 1/(2Π) ∫ [R(w) cos(wt) - X(w) sin(wt)   fi(t) = 1/(2Π) ∫ [R(w) sin(wt) + X(w) cos(wt)] dt R(w) = ∫ [fr(t) cos(wt) + f(t) sin(wt)] dt X(w) = - ∫ [fr(t) sin(wt) - fi(t) cos(wt)] dt
• Ist die zu tranformierende Funktion reell, folgt daraus? Realteil der Transformierten ist gerade, der Imaginärteil ist ungerade.
• Ist die zu tranformierende Funktion imaginär, folgt daraus? Der Realteil der Transformierten ist ungerade, der Imaginärteil ist gerade.
• Wann heißt eine Funktion kausal? Wie können die jeweiligen Anteile dargestellt werden? Wie stehen der Realteil und der Imaginärteil zueinander? Wenn gilt f(t) = 0 für t<0 f(t) = 2fg(t) = 2fu(t) für t>0   fg(t) = 1/Π ∫ R(w)cos(wt) dw fu(t) = 1/ Π ∫ X(w)sin(wt) dw jeweils von 0 bis unendlich.
• Wie lautet die Fouriertransformierte eines Rechteckimpulses der Höhe 1 ? F(jw) = 2T si(wt)
• Wie lässt sich die Linearität der Fouriertransformation mathematisch beschreiben? F{a f(t) + b g(t)} = a F(jw) + b F(jw)
• Wie lässt sich die Dualität der Fouriertransformierten mathematisch beschreiben? f(t) o----o F(jw) --> F(jt) o----o 2 Π f(-w)
• Beweise den Satz für Verschiebung im Zeitbereich: f(t-r) o----o = F(jw) e^(-jwt) da: F{f(t-r)} = ∫ f(t-r) e(-jwt)dt nun gilt : s=t-r ---> t = r+s = ∫ f(s) e(-jw(r+s))dt =e-jwr ∫ f(s) e(-jws)dt = e-jwr F(jw)

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