Statistik (Fach) / F2 - Messtheorie und Skalenniveaus (Lektion)
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- Messen die Zuordnung von Zahlen zu Objekten nach bestimmten Regeln, die gewährleisten, dass bestimmte Relationen in der Menge der Objekte in der Menge der Zahlen erhalten bleiben
- Skalenniveau sinvolle Zuweisung von Merkmalsausprägungen zu Zahlen
- nominalskalierte Variablen erlauben Aussagen über die Verschiedenheit von Merkmalsträgern
- ordinalskalierte Variablen erlaubt Aussagen über die Verschiedenheit von Objekten und bringt sie in eine Rangordnung keine Aussagen über die Größe der Merkmalsunterschiede
- intervallskalierte Variablen erlaubt Aussagen über die Verschiedenheit von Objekten, bringt sie in eine Rangordnung und ermöglicht Aussagen über die Größe der Verschiedenheit
- verhältnisskalierte Variablen erlaubt Aussagen über die Verschiedenheit von Objekten, bringt sie in eine Rangordnung, ermöglicht Aussagen über die Größe der Verschiedenheit sowie Aussagen über das Verhältnis zweier Merkmalsausprägungen
- absolutskalierte Variablen erlauben die gleichen Aussagen wie verhältnisskalierte Variablen, allerdings liegen hier die Merkmale in einer natürlichen Maßeinheit vor
- Homomorphismus strukturerhaltende Abbildung -> Zuordnung von Zahlen zu Objekten derart, dass die Relationen im empirischen Relativ im numerischen Relativ erhalten bleiben
- Repräsentationsproblem Welche Anforderungen muss eine empirische Relation erfüllen, damit eine homomorphe Abbildung existiert, die die Repräsentation des empirischen Relativs durch ein numerisches Relativ erlaubt?
- Eindeutigkeitsproblem Bis zu welchem Grad ist die Zahlenzuordnung eindeutig?
- Bedeutsamkeitsproblem Welche Aussagen über Merkmalsausprägungen sind bedeutsam? (D.h. sie ändern sich nicht, wenn wir verschiedene zulässige Zahlenzuordnungen wählen?)
- Äquivalenzrelation ≈ Relation R ist reflexiv (jede Person muss mit sich selbst in Relation stehen) R ist symmetrisch (wenn u mit v in Relation steht, steht auch v mit u in Relation) R ist transitiv (wenn u-v-w, dann auch auch u-w)
- Nominalskala erlaubt Klassifikation von Objekten Klassifikationsmerkmal: Gleichheit vs. Verschiedenheit die definierende empirische Relation ist die Äquivalenzrelation Zuordnung von Zahlen ist beliebig, solange die der Klassifikation entspricht Personen müssen einer Merkmalsklasse angehören, dürfen aber auch nur einer Merkmalsklasse angehören zulässig sind eineindeutige Transformationen bedeutsam sind Aussagen über die Gleichheit und Verschiedenheit von Werten
- strenge Ordnungsrelation R ist asymmetrisch (d.h. uRv ist nicht gleich vRu) R ist transitiv (d.h. wenn u-v-w, dann auch u-w)
- montone Transformationen Objekte die gleiche Werte hatten, erhalten auch gleiche transformierte Werte Objekte, die einen größeren Wert als ein anderes Objekt hatten, erhalten auch einen größeren transformierten Wert
- eineindeutige Transformationen Objekte, die gleiche Werte hatten, erhalten auch gleiche transformierte Werte und andersrum (verschieden)
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- Ordinalskala erlauben Klassifikation und Ordnung von Objekten Klassifikationsmerkmal ist die Gleichheit vs. Verschiedenheit Ordnungsmerkmal ist die strenge Ordnung (schlechter, besser, gleich) die definierenden empirischen Relationen sind die Äquivalenzrelation und die strenge Ordnungsrelation Zuordnung von Zahlen ist beliebig, solange Äquivalenz und Ordnung der Objekte erhalten bleibt zulässige Transformationen sind monotone Transformationen bedeutsam sind Aussagen über die Gleichheit/Verschiedenheit von Werten sowie über die größer-kleiner Beziehung
- Intervallskala erlauben Aussagen über die Verschiedenartigkeit von Merkmalsträgern, ihre Ordnung und die Größe der Verschiedenheit zulässig sind positiv lineare Transformationen: y=a+b*X bedeutsam sind Aussagen über das Verhältnis von Differenzen einzelner Werte, Gleichheit/Verschiedenheit und Rangordnung
- Verhältnisskala besitzen einen natürlichen/absoluten Nullpunkt erlauben festzustellen, um welchen Faktor ein Objekt größer ist als ein anderes zulässige Transformationen: y=b*X erlauben AUssagen über Verschiedenartigkeit, Ordnung, Größe der Verschiedenheit und dem Verhältnis zweier Merkmalsträger
- Absolutskala natürliche Maßeinheit -> Zahlen werde Objekten derart zugeordnet, dass eine Zahl der Merkmalsausprägung der jeweiligen Objekte entspricht erlauben Aussagen über die Verschiedenartigkeit, Ordnung, Größe der Verschiedenheit, dem Verhältnis zweier Merkmalsträger, sowie die absolute Ausprägung eines Merkmals
- qualitative Variablen endliche Anzahl von Ausprägungen kennzeichnen Qualität, nicht das Ausmaß eines Merkmals
- quantitative Variablen spiegeln eine Intensität bzw. ein Ausmaß wieder
- diskrete Variablen können nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen annehmen
- stetige Variablen können unendlich viele Ausprägungen annehmen