Poduktion 2.0 (Fach) / Produktionstheorie (Lektion)

Produktionsfunktionen

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• Gegenstand der Produktionstheorie Ermittlung von Beziehungen zwischen Faktoreinsatz und Ausbringungsmenge à Beschreibung durch Technologien oder Funktionen ð     Gesamtheit von Grundannahmen und Schlussfolgerungen ð     trifft Aussagen, die der bestmöglichen Gestaltung von Produktionsprozessen dienen ð     Grundlage von Produktionsplanung
• Basisvarianten Aktivitätsanalytischer Ansatz Ausgangspunkt: formalen Eigenschaften einer Technologie (z.B. Betrachtung von Dominanzen um effiziente Technologie zu finden)   Funktionalistischer Ansatz: Beschreibung, Erklärung und Gestaltung der Relationen zwischen Faktoreinsatz- und Ausbringungsmenge
• Produktionsfunktion Eindeutige funktionale Zuordnung von In-/Output !!! Notationen: -          allgm. Produktionsfunktion (implizite Schreibweise)f (x1, …, xm; r1, …, rn) = 0 -          spezielle Produktionsfunktion (explizite Form)(Berücksichtigung von Aggregationsstufen) o       „unternehmungsbezogen“:à Produktfunktion     (x1, …, xn) = f(r1, …, rn)à Faktorfunktion      (r1, …, rn) = f(x1, …, xn)=> Bezugsobjekt ist die ganze Unternehmung o       „stellenbezogene Stelle k“:à Transformationsfunktion       rik = f(r1k, …,r(i-1)k, r(i+1)k; x1k, …, xmk)
• Primäre Prämissen zur Begründung von Produktionsfunktionen Effizienzkriterien Art der Produktmengenvariation Art der Faktoreinsatzbedingungen
• 1. Effizienzkriterien 2. Art der Produktmengenvariation 3. Art der Faktoreinsatzbedingungen Effizienzkriterium -         mit gegebener Inputmenge soll eine maximale Outputmenge erreicht werden -         bei gegebener Outputmenge soll ein minimaler Input benötigt werden ð      Erfassung der Menge aller effizienten Produktionspunkte ð      Effizienter Prozess = keine Faktorverschwendung / kein unnötiger Faktorverbrauch ð      Angabe der maximal realisierbaren Produktmengeà stellt effizienten Extremfall aller Produktionstechnologien dar,d.h. die Produktionsfunktion ist die effiziente Untermenge der Technologiemenge ð      Produktionsfunktion ist…… nicht nur rein technisch determinierte Beziehung,… sondern auch Ergebnis ökonomischer Entscheidungen
• Produktmengenvariation Bei einstufiger Einproduktproduktion Wie verändert sich das Output x, wenn die Einsatzmenge eines Faktors ri (i = 1,…n) bei Konstanz aller anderen Faktoren verändert wird?à Partialanalyse   Wie verändert sich das Output x, wenn die Einsatzmenge aller Faktoren verändert wird?à Totalanalyse
• Vergleich der Hilfsmittel zur Charakterisierung der Produktionsfunktion von Partial- und Totalanalyse   Partialanalyse Totalanalyse -         Produktivität -         Produktionskoeffizient -         partielle Grenzproduktivität -         partielles Grenzprodukt à absolute Betrachtung -         totale Grenzprodukt -         Skalenelastizität -         Homogenität -         Produktionselastizität à relative Betrachtung   Bsp.: Technisierung, Automatisierung   Bsp.: Expansion einer Unternehmung
• Produktionskoeffizient hi = ri / x   à Reziprok zur Produktivität Angabe der zur Produktion einer gegebenen Outputmenge benötigt Einsatzmenge
• Partielle Grenzproduktivität (= partieller Grenzbetrag) PGi = δx / δri   Bestimmung der durch infinitesimal kleine Faktorvariation bewirkte Outputänderung   Fallunterscheidung > 0 à Input ri steigt, Output x steigt = 0 à Input ri steigt, Output x bleibt gleich < 0 à Input ri steigt, Output x fällt ð     Steigung der Produktionsfunktion hinsichtlich der Inputmenge ri
• Partielles Grenzprodukt Δx = δx / δri * Δri   -         Multiplikation der partiellen Grenzproduktivität mit einer infinitesimal kleinen Änderung des Inputfaktors ri -         Gibt an, wie sich eine marginale Einsatzmengenvariation auf den Output auswirkt
• Produktivitätselastizität ηi = (ri * δx) /( x * δri)   -         Wichtiges Merkmal: dimensionslos -         Prozentuale Änderung der Outputmenge, wenn die Inputmenge variiert wird
• Totales Grenzprodukt Δx = δx / δr1 * Δr1 + … + δx / δrn * Δrn = ∑ni = 1 δx / δri * Δr1   = Addition der partiellen Grenzprodukte -         Anzahl der Einheiten um die sich die Outputmenge xi ändert, wenn alle Produktionsfaktoren eine infinitesimal kleine Mengenänderung erfahren.
• Skalenelastizität η = Ƭ * dx / x * dƬ                     mit Ƭ = Proportionalitätsfaktor   = Auswirkungen von Niveauvariationen à Relativen Betrag der Veränderung der Ausbringungsmenge, wenn die Menge aller Inputfaktoren gleichzeitig proportional variiert werden   steigende Skalenerträge           η > 1    à Größenprogression konstante Skalenerträge           η = 1    à Größenproportionalität fallende Skalenerträge             η < 1    à Größendegression   η =∑ni=1 ηi          Skalenelastizitätsgleichung (Wieksell-Johnson-Theorem) à bei proportionaler Veränderung aller Faktoreinsatzmengen ergibt sich eine Verbindung zur Produktionselastizität
• Niveauvariation x = f (Ƭ * r1, Ƭ * r2, …, Ƭ * rn)   = Treffen von Aussagen über Homogenität von Produktionsfunktionen à Feststellung, wie sich die Outputmenge verhält, wenn die Menge aller Inputfaktoren mit demselben Proportionalitätsfaktore Ƭ (Ƭ > 0) variiert werden.
• Homogenität Ƭε * x0= f (Ƭ * r10 , Ƭ * r20, …, Ƭ * rn0)   = Durch Niveauvariation feststellbarer Spezialfall à bei einer Ƭ -fachen Veränderung der abhängigen Variablen einer Funktion muss sich deren unabhängige Variablen um das Ƭε-fache ändern.   ε = 1    linearhomogen ε > 1    überlinearhomogen ε < 1    unterlinearhomogen   bei Homogenität:Skalenelastizität = Homogenitätsgrad
• Faktoreinsatzbeziehungen Substitutionalität Limitationalität -         mehrere effiziente Kombinationenz.B. Arbeitskräfte vs Betriebsmittel bei   -         keine feste Relation zwischen Input und Output -         Erfassung durch Isoquanten -         genau eine effiziente Faktorkombinationz.B. Fahrraderstellung -         zur Outputerhöhung müssen alle Faktoren erhöht werden -         Produktionsfaktoren sind in einem festen Verhältnisà sie limitieren sich gegenseitig
• Substitutionalität Konzentration auf effizienter Faktorkombination d.h., eine Substitution ist unter ökonomischen Gesichtspunkten nur dann sinnvoll, wenn bei gleich bleibender Ausbringungsmenge durch die Vermehrung des Einsatzes eines Produktionsfaktors eine Verringerung der Einsatzmenge eines anderen Produktionsfaktors erzielt werden kann   à Effizienzbedingungen -         Notwendige Bedingung:à Negative Steigung der Isoquante -         Hinreichende Bedingung: à Konvexer Verlauf der Isoquante (Spezialfall: Linearität)
• Isoquante = geometrische Ort aller effizienten Faktorkombinationen mit gleicher Ausbringungsmenge, also mit gleichem Output, bei unterschiedlichen Mengenkombinationen des Input
• Partielle Faktorsubstitution = beidseitig begrenzte Faktorkombination   à bei Betrachtung zweier Einsatzmengen beide mit einer Mindestmenge eingesetzt werden müssen, d.h. nicht vollständig durch den anderen Faktor ersetzt werden können   z.B.     Energie und Arbeitszeit, menschlicher und maschineller Arbeitsleistung
• Partiell-totale Faktorsubstitution = einseitig begrenzte Faktorkombination   à vollständiger Ersatz genau eines der beiden betrachteten Inputfaktoren durch den anderen,   z.B.     Hochofen: Heizöl, Koks
• Totale Faktorsubstitution = unbegrenzte Faktorkombination   à vollständiger gegenseitiger Ersatz der beiden betrachteten Einsatzfaktoren(wobei mindestens ein dritter Faktor notwendig ist, um diesen Sachverhalt noch als Produktion im Sinne eines Kombinationsprozesses bezeichnen zu können)   z.B.     Kraftstoff: Super / Normal, Stahlherstellung: Roheisen, Schrott
• Quantifizierung der Subsitutionalität: Grenzrate der Faktorsubstitution   GRS = - dr2 / dr1 = (δx/δr1) / (δx/δr2) = PG1 / PG2 Definiert auf eine konstante Outputmenge xc zwischen zwei Faktoren   à Angabe der Mengenänderung des Faktors r2 bei einer marginalen Variation von Faktor r1 à Maß für die (negative) Steigung der Isoquante   -         Normalfall: Variation von Punkt zu Punkt -         Lineare Isoquante: über gesamten Substitutionsbereich konstant
• Gesetz der abnehmenden Grenzrate der Substitution -         die Grenzrate der Substitution variiert von Produktionsfaktor zu Produktionsfaktor -         mit zunehmender Substitution des Produktionsfaktors r2 durch den Produktionsfaktor r1 nimmt die erforderliche Einsatzmenge von r1 ständig zu, um eine weitere Einheit des Faktors r2 zu ersetzen, d.h. die Grenzproduktivität des ersetzenden Faktors r1 wird geringer -         abnehmende Tendenz ist zurückzuführen auf die zunehmende Disproportionalität
• Isoklinen -         = geometrischer Ort aller Faktorkombinationen gleicher Isoquantensteigung(gleiche Grenzrate der Faktorsubstitution) -         Bei konstanter Skalenelastizität d.h. Homogenität, Verlauf durch den Koordinatenursprung
• Krümmung der Isoquanten (weitere Möglichkeit der Quantifizierung) = 1. Ableitung der GRS   à mit zunehmender Isoquantenkrümmung, Abnahme des Bereichs effizienter Faktorsubstitution à Extremfall: so starke Isoquantenkrümmung, die den Substitutionsbereich auf eine einzige Faktorkombination beschränkt und somit eine limitationale Faktoreinsatzbeziehung kennzeichnet
• Limitationalität (limitationale Faktoreinsatzbeziehung) à die zur Erzeugung einer bestimmten Outputmenge zum Einsatz gelangenden Produktionsfaktoren stehen in einem festen Verhältnis zueinander à die Produktionsfaktoren sind vollständig komplementär und limitieren sich gegenseitig
• (1) Isoquante (2) Isokline (1) = ein Punkt   (2) Entsteht bei Niveauvariation à stellt letztlich die limitationale Produktionsfunktion dar à wird als Prozess bezeichnet
• Lineare Limitationalität = Konstante Produktionskoeffizienten bei Veränderung der Produktionsmenge à Verdopplung aller Faktoreinsatzmengen = Verdopplung des Outputs à besagt, dass… … das Einsatzverhältnis der erforderlichen      Inputmengen unverändert bleiben … eine Produktionsfunktion mit einem      Homogenitätsgrad von ε = 1 vorliegt   ð      ri = hi * x mit hi = konstant > 0 und i = 1, …, n
• Nichtlinear-limitationale Produktionsfunktion = Veränderung mindestens eines Produktionskoeffizienten bei Variation der Outputmenge à Kennzeichen: Inhomogenität oder Homogenitätsgrad ε ≠ 1
• Existenz mehrere Prozesse, die zur Herstellung eines bestimmten Produkts herangezogen werden können  Resultierende Faktorsubstitutionen beruhen aus der Verschiedenheit der Produktionsverfahren (1) Prozesssubstitution (2) Prozesskombin (1) Produktion der Outputmenge eines Produktes erfolgt alternativ mit einem der möglichen Prozesseà Wahl zwischen effizienten Faktorkombinationen   (2) Aufteilung der Produktmenge auf mehrere Prozesseà komplexes Effizienzproblem
• Effiziente Kombination zweier linear-limitationaler Prozesse zur Produktion einer gegebenen Outputmenge = Isoquante, die als Gerade die Prozesspunkte auf den einzelnen Prozessstrahlen verbindet, mit denen das gegebene Outputniveau realisiert werden kann. à Parallelverschiebung bis zum gewünschten Schnittpunkt
• Kombination dreier linear-limitationalen Prozesse Bedingungen -          NotwendigeAlle aus den möglichen Kombinationen zweier Prozesse resultierenden Isoquanten besitzen eine negative Steigung -          HinreichendeDie Menge effizienter Prozesskombinationen ist auf die Gesamtheit aller nicht dominierten Prozesskombinationen beschränkt, die einen durchgängigen und konvexen Verlauf aufweisen Während alle Prozesskombinationen aus der jeweiligen Einzelsicht effizient sind, gilt für eine Gesamtbetrachtung, dass alle aus den Prozessen I und III resultierenden Prozesskombinationen von anderen Prozesskombinationen dominiert werden, und sich somit die Isoquante ABC ergibt.   Maximale Ausbringungsmenge à Minimumsfunktion x = mini (ri/hi)
• Aktivitätsanalyse Eingrenzung des Betrachtungsgegenstandes der Produktionstheorie auf effiziente Produktionen vornimmt à Herleitung von Eigenschaften von Produktionsfunktionen à Geben von Entscheidungsempfehlungen   Hilfsmittel -          empirisch gehaltvollen Hypothesen -          rationale Auswahlentscheidungen
• Ausgangspunkt = Aktivität = Input-Output-Kombination à Wiedergabe des Zusammenhangs zwischen den Mengen der Einsatzgüter und den Mengen der Ausbringungsgüter mit       r = (r1, …, rK)T            (= Menge der Einsatzgüter)             x = (x1, …, xK)T             (= Menge der Ausbringungsgüter) à stellt einen Punkt v=(r,x)  (= Produktionspunkt, Produktion) im K-dimensionalen Güterraum RK mit v ϵ RK 
• Bestandsversion (Bruttoprinzip) v = (r,x) (Produktions)Punkt in RK          à In der ersten Spalte wird der Bestand vor und in der zweiten Spalte der Bestand nach dem Kombinationsprozess erfasst
• Flussversion (Nettoprinzip) v = (v1, …, vk)T mit       vk = xk – rk      (k = 1, …, K) (= Nettoquantität (Bestandsveränderung))   à Die Einsatzgüter weisen dabei ein „-„ und die Ausbringungsgüter ein „+“ auf à Informationsverlust
• Technologien = Menge T aller technisch möglichen Aktivitäten, die formal eine Teilmenge des Güterraumes RK darstellen T = {v | v ist technisch möglich} es gilt analog v ϵ RK à T c RK
• Grundannahmen für Technologien 1.        Abgeschlossenheità auch die Randpunkte sind Elemente der ihnen zugrunde liegenden Technologie à Randpunkte sind realisierbare Aktivitäten, 2.        Möglichkeit der Untätigkeità Erfassung des Produktionsstillstandes als Aktivität O є T wobei O = v = (0 …, 0)T   3.        Unmöglichkeit des Schlaraffenlandes(beruht auf der Erkenntnis des „Energieerhaltungssatzes“) Keine Produktion von Output ohne den Einsatz einer Inputmenge à mit Ausnahme der Untätigkeit existieren somit keine Aktivitäten, deren Input Output-Vektor nur nichtnegative reelle Zahlen enthältformal: T ∩ R K + = {O} 4.        Irreversibilität/ Unumkehrbarkeit der ProduktionSchnittmenge der Technologie mit ihrer Umkehrung stellt die Untätigkeit dar T ∩ (-T) = {O}à Umwandlung ist nicht ohne weiteres Rückgängig zu machenà einzig zulässige Methode ist die Einstellung der Produktionà Unumkehrbarkeit   5.        Möglichkeit ertragreicher ProduktionT \ R-K ≠ Øà jede Technologie enthält mindestens eine Aktivität mit positivem Output, d.h. die wirtschaftlich sinnvoll ist
• Zulässigkeit von (linearen) Technologien Größenproportionalität= aus jeder Niveauvariation einer technisch möglichen Aktivität v mit dem Proportionalitätsfaktor Ƭ wieder eine technisch mögliche Aktivität resultiertà Menge aller Aktivitäten, die auf einem vom Koordinatenursprung ausgehenden Strahl durch eine Aktivität liegen, eine Teilmenge der Technologie             v є T à Ƭ * v = (Ƭ * v1, Ƭ * v2, …, Ƭ * vk) є T mit Ƭ ≥ 0 à andernfalls Größenprogression, Größendegression (hier nicht zulässig)   Additivität = Unabhängigkeit von verschieden Aktivitäten und unabhängige Ausführung, dann ist jede beliebige Kombination der beiden Aktivitäten eine technisch mögliche Aktivitätà Vielfachen einer Einzelnen Technologie auch enthalten v, v´ є T à v + v´= (v1 + v1´, v2 + v2´, …, vk + vk´) є T v є T à v + v = (2v1, 2v2, …, 2vk) є T   à mit Hilfe von Linearkombinationen kann aus einer Anzahl  technisch möglicher Aktivitäten  eine Vielzahl neuer technisch möglicher Aktivitäten generiert werden
• (1) Basisaktivitäten v* (2) Elementarprozess (3) gemischte Prozesse (4) Prozessniveau Ƭ (1) = eine Aktivität, die eine elementare Verfahrensweise beschreibt und aus der einen Technologie ursächlich resultiert   (2) = ein vom Koordinatensystem ausgehender Strahl, der durch den Punkt einer Basisaktivität verläuft π = {v | v = Ƭ * v* mit Ƭ ≥ 0}   (3) = konvexkombinierte Basisaktivitäten   (4) = Quantifizierung des Umfangs der Prozessdurchführung à über die Ausbringungsmenge eines Produktes messbar   Denn, Verhältnis von Einbringungs- und Ausbringungsmenge ist fest d.h.      hi = const. (Produktionskoeffizient) à bei Festlegung der Ausbringungsmenge eines Produktes sind alle anderen Gütermengen bestimmt
• Alternative Darstellung einer Technologie à Produktionsmatrix A A = (v1*, v2*, …, vp*)                 = Zusammenfassung der Basisvektoren der elementaren Prozesse   à Niveauvektor Ƭ Ƭ = (Ƭ1, Ƭ2, …, Ƭp)T = Zusammenfassung der Prozessniveaus   Für eine Technologie gilt dann T = {v | v = A * Ƭ mit Ƭ є Rp+}  mit Rp+ = Prozessraum   à Umfasst alle Aktivitäten, die in einem Produktionssystem innerhalb einer Produktionsperiode prinzipiell möglich sind, d.h. unabhängig von den tatsächlichen in der Unternehmung verfügbaren Einsatzgütermengen.   Bei Berücksichtigung von Beschränkungen von Gütern Restriktionsmenge R = {v | v є  Rk und vk min ≤ vk ≤ vk max; mit k = 1, …, K} à Menge aller zulässigen Güterkombinationen   Z = T ∩ R à Menge der zulässigen und technisch möglichen Aktivitäten Z      Resultiert aus der Schnittmenge von Technologie und Restriktionsmenge
• Effizienzanalyse (1) Absolute Effizienzmaß (2) Relative Effizienzmaß Vergleich der Aktivitäten einer Technologie im Hinblick auf ihre Inputs und Outputs à Vergleichsergebnis umfasst unterschiedliche Aussagen     (1) à Aufspaltung der Aktivitätsmenge in die Teilmengen effiziente und ineffiziente Aktivitäten   (2) à Ermittlung eines zusätzlichen Grades der Ineffizienz für ineffizienten Aktivitäten
• Absolute Effizient Eine Aktivität v´ ist mindestens so produktiv wie eine Aktivität v, wenn mit v´ im Vergleich zu v entweder… … bei gegebenen Faktoreinsatzmengen mindestens dieselbe Ausbringungsgütermenge oder… bei gegebenen Produktmengen höchstens dieselbe Einsatzgütermenge verbunden ist   v´k ≥ vk mit k = (1, …, K)
• Dominanzkriterium Eine Aktivität v´ dominiert eine andere Aktivität v, wenn sie mindestens so produktiv wie v ist und…… entweder mindestens einem Einsatzgut mit einer kleinern oder… bei mindestens einem Ausbringungsgut mit einer größeren Menge verbunden ist.   v´ ≥ v und Ǝvk | v´k > vk
• Effizient Eine Aktivität heißt effizient, wenn die von keiner anderen Aktivität dominiert wird   à Durch die Anwendung des Effizienzkriteriums auf Technologien lassen sich alle eindeutig unterlegenen Aktivitäten aus den weiteren produktionstheoretischen Betrachtungen eliminieren à Effizienter Rand = Teilmenge des Randes einer Technologie   Te = {v | v є T und ¬(Ǝ v´| v´ є T und (Ǝ v`k | v´k > vk))}
• Vorgehensweise zur Bestimmung der effizienten Technologie -          Begrenzung der linearen Technologie T durch die Restriktionen o        v1min (Inputrestriktion) und o        v2max (Outputrestriktion) -          Einzeichnen der Basisaktivitäten v1* und v2* wird der Bereich der Technologie aufgespannt -          Schraffierter Bereich = alle Aktivitäten die zur Technologie T gehören -          Bestimmung der effizienten Aktivitätenà aus der Abbildung zeigt sich, dass alle Aktivitäten, die nur aus der Basisaktivität v2* resultiert, nicht von anderen Aktivitäten dominiert werden und mit den effizienten Bereich Te der Technologie T kennzeichnen
• Zur Partialanalyse der Eigenschaften linearer Technologien kann sich die Aktivitätsanalyse eines linearen Programms bedienen  Lineares Optimierungsmodell Maximiert die Menge eines Ausbringungsgutes / Minimiert die Menge eines Einsatzgutes bei Einhaltung von Beschränkungen aller anderen Gütermengen à optimale Lösung = Punkt des effizienten Randes     Beispiel einer Technologie im Güterraum R³ S. 71
• Relative Effizienzanalyse Baut auf Produktivität auf Produktivität = Output / Input   Problem: Heterogen zusammengesetzte Input- und Outputmengen à Erweitert Input-Output-Verhältnis unterschiedliche Gewichtungen   e = ∑kj=n+1 Ӽj * xj / ∑ni=1 ρi * ri
• DEA (Data Envelopment Analysis) = Bestimmung der Gewichtungen der betrachteten Aktivitäten in Abhängigkeit von den anderen Aktivitäten der Technologie   à Ziel = Schätzung einer umhüllende Technologie TH, die -          alle beobachteten Realisationen enthält, -          nicht weiter verkleinert werden kann und -          eine Teilemenge der unbekannten Technologie ist.   TH = {v | v = (∑pp=1 λp * vp ˄ λp ≥ 0 ˄ p = 1, …, P ˄ vp ϵ T}
• Grundmodell der DEA Zielfunktion à durch Festlegung der Gewichtung den Wert der Produktivitätskennzahl für die betrachtete Aktivität zu maximieren: e0 = ∑kj=n+1 Ӽj * x0j / ∑ni=1 ρi * r0i  à max!   Nebenbedingung Normierung: -          die Werte der Produktivitätskennzahlen aller Aktivitäten nicht größer als eins sind (∑kj=n+1 Ӽj * xpj / ∑ni=1 ρi * rpi) ≤ 1           und alle p > 0   -          Negativitätsbedingungen Ӽj ≥ 0  für alle j = n+1, …, k ρi ≥ 0 für alle i = 1, …, n

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