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Statistik 1 (Fach) / Beschreibende Statistik (Lektion)

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• Merkmal Die Eigenschaften einer statistischen Einheit heißen Merkmale. Häufig werden an einer statistischen Einheit mehrere Merkmale gleichzeitig beobachtet. Die beobachteten Merkmalswerte heißen Merkmalsausprägungen oder Realisationen. Hinsichtlich der Menge der möglichen Merkmalswerte unterscheidet man zwischen stetigen Merkmalen und diskreten Merkmalen.
• Merkmalsausprägung Die Werte, die ein Merkmal einer statistischen Einheit annehmen kann, heißen Merkmalsausprägungen oder Realisationen.
• Merkmalswert Die beobachteten Ausprägungen eines Merkmals heißen Merkmalswerte. Sie konstituieren eine Urliste.
• Messskalen Bei der Datenerhebung für ein Merkmal kann man mit einer Nominalskala, einer Rangskala (Ordinalskala) oder einer metrischen Skala (Kardinalskala) arbeiten.
• Mittelwert Wenn man die n Werte der Urliste aufsummiert und das Ergebnis durch n teilt Der Mittelwert kennzeichnet die mittlere Größe der Elemente eines Datensatzes. Wenn eine Urliste einen Wachstumsprozess beschreibt, ist das geometrische Mittel eine aussagekräftigere Kenngröße.
• Modalwert Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit. Als Synonym wird auch die Bezeichnung Modus verwendet. Der Modalwert ist – anders als etwa der Median - schon bei nominalskalierten Merkmalen definiert.
• Nominalskala Messskala, bei der die Ausprägungen eines Merkmals nur Kategorien (Namen) darstellen. Für die Ausprägungen nominalskalierter Merkmale gibt es keine natürliche Rangordnung.
• Primärerhebung Form der Datengewinnung, bei der Daten für einen Untersuchungszweck eigens erhoben werden.
• Absolute Häufigkeiten In einer Urliste können Merkmalsausprägungen auch mehrfach auftreten. Wenn man die Anzahl des Auftretens der einzelnen Merkmalsausprägungen - bzw. im multivariaten Fall die Häufigkeit des Auftretens der einzelnen Ausprägungskombinationen - zählt, erhält man absolute Häufigkeiten.
• Befragung Verbreitete Form der Datengewinnung. Die Befragung kann persönlich von einem Interviewer oder etwa über einen Fragebogen vorgenommen werden (z. B. persönliche Telefonbefragung oder Einsatz von Online-Fragebögen).
• Anzeige
• Beobachtung Verbreitete Form der Datengewinnung, bei der reale Phänomene oder Prozesse erfasst werden (z.B. Erfassung der Ozon-Konzentration in der Atmosphäre oder der Bestandsentwicklung einer Tierart).
• Beschreibende Statistik Teilgebiet der Statistik, bei dem es um die Aufbereitung und die Charakterisierung von Daten geht, etwa durch aussagekräftige Kennzahlen und Grafiken. Wichtige Instrumente der beschreibenden Statistik sind u. a. Histogramme, Streudiagramme und Boxplots. Wenn die statistische Analyse nicht nur auf die Beschreibung von originären oder verdichteten Daten zielt, sondern auch auf die Entdeckung verborgener Strukturen, spricht man von explorativer Datenanalyse.
• Boxplot Grafisches Instrument der beschreibenden Statistik und der explorativen Datenanalyse. Bei einem Boxplot werden mehrere Charakteristika der empirischen Verteilung eines zumindest rangskalierten Merkmals in einer einzigen Grafik zusammengefasst. In der Basisform visualisiert ein Boxplot die Quantile der Ordnung p = 0,25 und p = 0,75 (unteres und oberes Quartil), den Median sowie die beiden Extremwerte der geordneten Urliste. Die beiden Quartile werden durch einen Kasten (Box) repräsentiert, in dem zusätzlich der Median durch einen Punkt markiert ist. Die Extremwerte werden dann mit der Box durch Striche (Whisker) verbunden.
• Abhängiges Merkmal In der Regressionsanalyse unterscheidet man zwischen unabhängigen und abhängigen Merkmalen. Erstere sind bei dem zugrunde gelegten Regressionsmodell die Einflussgrößen (Argumentvariablen der Regressionsfunktion), letztere die beeinflussten Größen (Responsevariablen).
• Aktienindex Spezieller Index, der das Kursniveau mehrerer Aktien anhand einer einzigen Kennzahl beschreibt. Ein Aktienindex soll ein repräsentatives Bild von der Wertentwicklung der Kurse in einem bestimmten - regional oder inhaltlich abgegrenzten - Aktienmarkt vermitteln (z. B. Euro Stoxx 50 als Repräsentant für den europäischen Aktienmarkt).
• Balkendiagramm Grafisches Instrument der beschreibenden Statistik, das jeden Wert eines diskreten Merkmals durch einen Balken darstellt, dessen Länge zum betreffenden Merkmalswert proportional ist. Als Synonym findet man auch die Bezeichnung Säulendiagramm.
• Bedingte Häufigkeiten Geht man von einer um die beiden Randverteilungen ergänzten Kontingenztabelle für die absoluten Häufigkeiten hij zweier Merkmale X und Y mit den Ausprägungen a1, .., ak resp. b1, .. bm aus, so ergibt sich die mit f(bj | ai) abgekürzte bedingte Häufigkeit von Y = bj unter der Bedingung X = ai nach Division von hij durch die zu Y = bj gehörende Randhäufigkeit. Analog ergibt sich die bedingte Häufigkeit f(ai | bj) nach Division von hij durch die zu X = ai gehörende Randhäufigkeit.
• Bedingte Häufigkeitsverteilung In einer Urliste können Merkmalsausprägungen auch mehrfach auftreten. Wenn man die Anzahl des Auftretens der einzelnen Merkmalsausprägungen - bzw. im multivariaten Fall die Häufigkeit des Auftretens der einzelnen Ausprägungskombinationen - zählt, erhält man absolute Häufigkeiten.
• Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung eines Datensatzes an eine lineare Regressionsfunktion. Im Falle einer einfachen linearen Regression gibt das mit R² bezeichnete Maß den Anteil der Streuung des abhängigen Merkmals an, der durch das Regressionsmodell erklärt wird. Die Grenzen des zwischen 0 und +1 liegenden Bestimmtheitsmaßes werden hier erreicht, wenn alle Beobachtungspunkte auf einer Geraden liegen.
• Bivariate Häufigkeitsverteilung Spezialfall einer multivariaten Häufigkeitsverteilung (gemeinsame empirische Verteilung zweier Merkmale).
• c2 - Koeffizient Hat man für zwei nominalskalierte Merkmale X und Y die beobachteten absoluten Häufigkeiten hij für die einzelnen Ausprägungskombinationen in einer (k x m)- Kontingenztabelle ausgewiesen, so kann man die Häufigkeiten hij aus der Tabelle mit den fiktiven Häufigkeiten [h] ij vergleichen, die bei empirischer Unabhängigkeit der Merkmale zu erwarten wären. Der c2 -Koeffizient ist die aus k x m Summanden bestehende Summe der durch [h] ij dividierten quadrierten Differenzen von beobachteten und fiktiven Häufigkeiten. Der c2-Koeffizient ist ein Zusammenhangsmaß, das bei empirischer Unabhängigkeit den Wert Null annimmt und auch nach oben beschränkt ist. Die kleinste obere Schranke c2max hängt allerdings sowohl von n also auch von der Dimension der Kontingenztabelle ab. Der c2- Koeffizient ist also ein nicht-normiertes Zusammenhangsmaß.
• Diskretes Merkmal Ein Merkmal, das nur endlich oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen aufweist, heißt diskret.
• Einfache Regression Synonym für ein Regressionsmodell mit nur einer Einflussgröße.
• Empirische Unabhängigkeit Zwei Merkmale X und Y, zu denen die beobachteten Häufigkeiten für die einzelnen Ausprägungskombinationen in einer Kontingenztabelle ausgewiesen sind, sind empirisch unabhängig, wenn die in der Tabelle erscheinenden Häufigkeiten mit den Häufigkeiten übereinstimmen, die bei fehlendem Zusammenhang zwischen den Merkmalen zu erwarten wären. Die Merkmale beeinflussen sich dann nicht. Formal lässt sich empirische Unabhängigkeit feststellen, wenn die zu jedem Einzelmerkmal gehörenden bedingten Häufigkeitsverteilungen jeweils identisch sind, d.h. nicht von der für das andere Merkmal vorausgesetzten Bedingung abhängen.
• Empirische Verteilung Eine Häufigkeitsverteilung für die Ausprägungen eines Merkmals oder die Ausprägungskombinationen mehrerer Merkmale definiert eine empirische Verteilung. Wenn sich die Häufigkeitsverteilung auf ein einziges Merkmal bezieht, spricht man von einer univariaten Häufigkeitsverteilung, andernfalls von einer mehrdimensionalen oder multivariaten Häufigkeitsverteilung.
• Empirische Verteilungsfunktion Wenn man die relativen Häufigkeiten für ein Merkmal bis zu einem Schwellenwert x aufsummiert, erhält man die empirische Verteilungsfunktion F(x) für das betreffende Merkmal.
• Explorative Datenanalyse Teilgebiet der Statistik, bei dem die Suche nach Strukturen und auffälligen Besonderheiten in Datensätzen im Vordergrund steht. Die Instrumente der explorativen Datenanalyse sind zum einen die Werkzeuge der beschreibenden univariaten Statistik (z. B. Streudiagramme, Histogramme und Boxplots), darüber hinaus aber auch statische und dynamische Verfahren der multivariaten Analyse und interaktive grafische Prozeduren.
• Exponentielle Glättung Verfahren der Zeitreihenanalyse zur Kurzfrist-Prognose trend- und saisonbereinigter Zeitreihen, bei der sich der Prognosewert für die Periode t+1 durch exponentielle Gewichtung der in den Perioden 1, 2, ... ,t beobachteten Zeitreihenwerte y1, y2, .. , yt ergibt. Das Gewicht der Beobachtungswerte klingt dabei mit zunehmendem Alter der Beobachtung ab. Die Methode der exponentiellen Glättung lässt sich auch äquivalent über eine Rekursionsformel beschreiben, bei der sich der Prognosewert für die Periode t+1 als gewichtetes Mittel aus dem aktuellen Zeitreihenwert yt und dem Prognosewert [y] t für die Vorperiode ergibt. Dabei wird der aktuelle Wert mit einem zwischen 0 und 1 frei wählbaren Parameter a und der Prognosewert der Vorperiode mit 1 - a gewichtet. Bei Anwendung der Rekursionsformel benötigt man einen Startwert für den Prognosewert [y] 1.
• Gemeinsame Häufigkeitsverteilung Synonym für multivariate Häufigkeitsverteilung.
• Geometrisches Mittel Hat man eine n Elemente umfassende Urliste, die einen Wachstumsprozess beschreibt, so ist das geometrische Mittel durch die n-te Wurzel aus dem Produkt der n Elemente erklärt. Das geometrische Mittel lässt sich als mittlere Wachstumsrate interpretieren.
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• Geschichtete Stichprobe Oft bietet es sich bei der Ziehung von Stichproben aus einer Grundgesamtheit an, diese zunächst in Teilgrundgesamtheiten zu zerlegen - bei Personengruppen etwa nach Geschlecht oder Ausbildungsstand zu differenzieren - und dann jeder Teilpopulation eine Zufallsstichprobe zu entnehmen. Die Teilgrundgesamtheiten werden als Schichten, die beschriebene zweistufige Art der Stichprobenentnahme als Bildung geschichteter Stichproben bezeichnet.
• Gini-Koeffizient Zur Visualisierung von Konzentrationsphänomen lässt sich die Lorenzkurve heranziehen. Wenn man die Randpunkte (0;0) und (1;1) einer Lorenzkurve anhand einer Geraden verbindet, ist der Gini-Koeffizient G durch das Zweifache der Fläche zwischen dieser Geraden und der Lorenzkurve gegeben. Der Koeffizient G repräsentiert ein Maß für die Gleichmäßigkeit der Verteilung von Merkmalswerten auf mehrere Merkmalsträger. Die kleinste untere Schranke für G ist Gmin = 0 – in diesem Falle ist die Lorenzkurve mit der Strecke von (0;0) nach (1;1) identisch. Für die kleinste obere Schranke Gmax von G errechnet sich für einen Datensatz x1, .., xn (ungruppierte Urwerte) der Wert Gmax = 1 – 1/n. Um die Abhängigkeit des Werts Gmax vom Umfang des Datensatzes zu beseitigen, greift man auf den normierten Gini-Koeffizienten G* = G / Gmax zurück, der alle Werte im abgeschlossenen Intervall [ 0;1] annehmen kann.
• Glatte Komponente Konstituente des klassischen Komponentenmodells der Zeitreihenanalyse.
• Gleitender Durchschnitt Die Anwendung der Methode der gleitenden Durchschnitte stellt eine Transformation von Zeitreihen dar, bei der eine neue und verkürzte Zeitreihe mit glatterem Verlauf resultiert.
• Häufigkeitstabelle Darstellungsform für eine Häufigkeitsverteilung.
• Häufigkeitstabelle für gruppierte Daten Wenn man die Daten für ein stetiges Merkmal gruppiert und die Besetzungshäufigkeiten für die einzelnen Klassen in tabellarischer Form ausweist, erhält man eine Häufigkeitstabelle für gruppierte Daten.
• Häufigkeitsverteilung Die Häufigkeiten für die beobachteten Ausprägungen eines Merkmals bzw. - im multivariaten Fall - die Häufigkeit des Auftretens von Ausprägungskombinationen für mehrere Merkmale - definieren eine Häufigkeitsverteilung oder eine empirische Verteilung. Man kann Häufigkeitsverteilungen in Form einer Häufigkeitstabelle oder auch grafisch darstellen. Für die grafische Präsentation univariater Häufigkeitsverteilungen bieten sich Kreisdiagramme sowie Stabdiagramme und Säulendiagramme an. Für die Visualisierung bivariater Häufigkeitsverteilungen kommen 3D-Stabdiagramme oder 3D-Balkendiagramme in Betracht.
• Häufigkeitsverteilung für gruppierte Daten Die Häufigkeiten für die Besetzung der einzelnen Klassen eines gruppierten stetigen Merkmals definieren eine Häufigkeitsverteilung für gruppierte Daten. Man kann eine solche Häufigkeitsverteilung wie bei ungruppierten Daten in Form einer Häufigkeitstabelle oder auch grafisch in Form von Kreisdiagrammen, Stabdiagrammen oder Säulendiagrammen darstellen.
• Histogramm Grafisches Instrument der Datenanalyse. Ein Histogramm ist eine Darstellungsform für gruppierte Daten für ein stetiges Merkmal, bei der die Besetzungshäufigkeit für die einzelnen Klassen durch Balken unterschiedlicher Höhe repräsentiert werden. Anhand eines Histogramms gewinnt man eine Vorstellung von der empirischen Verteilung eines Merkmals. Zur Visualisierung bivariater Verteilungen (gruppierte Daten für zwei stetige Merkmale) werden 3D-Histogramme eingesetzt.
• Index Längsschnittdaten - etwa zur Preisentwicklung oder zur Entwicklung einzelner Aktienmärkte - werden häufig zu aussagekräftigen Kennzahlen aggregiert, sogenannten Indizes. Je nach Typ des zugrundeliegenden Panels resultieren unterschiedliche Indextypen. Am gängigsten sind Preisindizes, Mengenindizes und Aktienindizes.
• Kardinalskala Synonym für metrische Skala.
• Komponentenmodell der Zeitreihenanalyse Modell der Zeitreihenanalyse, das eine Zeitreihe als additive Überlagerung einer systematischen Komponente gt und einer Saisonkomponente, st erklärt, wobei noch zufällige Einflüsse ohne systematischen Beitrag als Restkomponente, et modelliert werden. Die systematische Komponente gt heißt auch glatte Komponente. Sie wird manchmal noch in eine Trend- und eine Konjunkturkomponente aufgeteilt. Bei Vernachlässigung des Konjunktureinflusses ist die glatte Komponente mit dem Trend identisch; das Modell wird dann auch als Trend-Saison-Modell angesprochen.
• Kontingenzkoeffizient Nach oben beschränktes Zusammenhangsmaß, das sich zur Quantifizierung des Zusammenhangs zwischen nominalskalierten Merkmalen verwenden lässt. Zur Berechnung von Kontingenzkoeffizienten benötigt man neben der Kontingenztabelle für die betrachteten Merkmale noch deren Randverteilungen. Kontingenzkoeffizienten nehmen bei empirischer Unabhängigkeit der Merkmale den Wert 0 an. Bei Abhängigkeit sind sie positiv, wobei die kleinste obere Schranke möglichst 1 sein soll und damit weder vom Stichprobenumfang n noch von der Dimension der Kontingenztabelle abhängt. Cramérs V ist ein solcher normierter Kontingenzkoeffizient.
• Kontingenztabelle Wenn man bei einer bivariaten Urliste für zwei Merkmale mit nur wenigen Ausprägungen (diskrete oder gruppierte stetige Merkmale) die Häufigkeiten für die einzelnen Ausprägungskombinationen zählt und die Ergebnisse in Form einer Tabelle ausweist, resultiert eine Kontingenztabelle. Eine Kontingenztabelle ist also eine Präsentationsform für die gemeinsame empirische Verteilung zweier Merkmale. Gebräuchlich ist auch die Bezeichnung Kontingenztafel. Zur Visualisierung von Kontingenztabellen lassen sich dreidimensionale Stabdiagramme oder dreidimensionale Histogramme verwenden.
• Kontingenztafel Synonym für Kontingenztabelle.
• Konzentration Betrachtet man eine endliche Grundgesamtheit von Merkmalsträgern, so kann die Verteilung der Merkmalssumme auf die einzelnen Merkmalsträger von Interesse sein. Wenn sich die Merkmalssumme ungleichmäßig auf die betrachteten statistischen Einheiten verteilt, liegt Konzentration vor, deren Stärke man anhand des Gini-Koeffizienten quantifizieren kann. Zur Visualisierung von Konzentrationserscheinungen lässt sich die Lorenzkurve heranziehen.
• Korrelationsanalyse Analyse des Zusammenhangs zwischen Merkmalen. Zur Quantifizierung von Merkmalszusammenhängen verwendet man Korrelationskoeffizienten.
• Korrelationskoeffizient Maße zur Quantifizierung von Zusammenhängen zwischen Merkmalen. Welches Maß anzuwenden ist, hängt von der Skalierung der beteiligten Merkmale ab. Bei metrischer Skalierung lässt sich der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson, bei rangskalierten Merkmalen der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman anwenden. Für nominalskalierte Merkmale können Kontingenzkoeffizienten herangezogen werden. Wenn zwischen zwei Merkmalen ein Zusammenhang besteht, liefert ein Korrelationskoeffizient eine Aussage zur Stärke des Zusammenhangs, nicht aber zur Einflussrichtung. Ein von Null verschiedener Korrelationskoeffizient beweist allerdings noch nicht das Vorhandensein eines Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen im Sinne einer Kausalität - es kann auch eine Scheinkorrelation vorliegen.
• Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Der Korrelationskoeffizient oder auch empirische Korrelationskoeffizient r nach Bravais-Pearson ist ein Maß für einen linearen Zusammenhang zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen X und Y. Man erhält r nach Division der empirischen Kovarianz sxy der beiden Merkmale durch das Produkt der Standardabweichungen der beiden Variablen. Wenn man betonen will, auf welche Merkmale sich die Korrelationsmessung bezieht, kann man anstelle von r die Notation rxy verwenden. Der Korrelationskoeffizient r nimmt Werte zwischen -1 und +1 an. Die Schranken werden bei exakter linearer Abhängigkeit der Merkmale erreicht.
• Kovarianz Wenn man bei einer n Elemente umfassenden bivariaten Urliste (x1,y1), (x2,y2),.. , (xn,yn), für zwei metrisch skalierte Merkmale das Produkt (xi – [x] )(yi – [y] ) der Abweichungen von den Mittelwerten [x] und [y] ermittelt und die Summe dieser n Produkte durch n teilt, erhält man die Kovarianz sxy oder auch empirische Kovarianz des betreffenden bivariaten Datensatzes. Der Wert der Kovarianz kann negativ, Null oder positiv sein. Da die Kovarianz maßstabsabhängig und nach unten und oben nicht beschränkt ist, verwendet man nicht sie, sondern den aus ihr abgeleiteten Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson als Zusammenhangsmaß.

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