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Haushalte

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• 3 Produktionsfaktoren und daraus entstehende Faktoreinkommen Arbeit - LöhneBoden - GrundrentenKapital - Zinsen
• Konsumplan Ist ein nach Art und Menge genau spezifiziertes Sortiment an Gütern, ein Güterbündel. Darstellbar durch einen Vektor x = {x1,x2,...} jedes xi ist eine bestimmte Gütermenge von iNebenbedingung ist: xi ≥ 0 Wenn der Konsumplan angesichts des gegebenen Budgets und der gegebenen Güterpreise realisierbar ist, so spricht man von einem möglichen Konsumplan
• Was ist eine Budget(un)gleichung? Die Ausgaben werden den Einnahmen gegenübergestellt p * x = Y    Gleichung p * x < Y    Ungleichung mit 2 Gütern:x1*p1+x2*p2=Y
• Budgetgerade -Lässt sich in einem reinen Gütermengendiagram veranschaulichen-entsteht durch auflösen der Budgetgleichung nach der Menge eines Gutes-Budgetmenge (dreieck unter Budgetgerade) zeigt die Menge aller möglichen Konsumpläne an, die mit einem Budget Y realisiert werden können-Steigung: -p1/p2-Erhöhung von Y = parallele Verschiebung nach rechts und umgekehrt-Erhöhung eines Preises = drehung in Richtung des 0 Punktes der betreffenden Achse
• optimaler Konsumplan Definition Unter einem optimalen Konsumplan versteht man einen Konsumplan, der angesichts des gegebenen Budgets den höchsten Platz in der Präferenzordnung einnimmt.
• Präferenzordnung -Reihenfolge aller möglichen Konsumpläne absteigend nach ihrem Nutzen Annahmen (1-3 Minimalerfordernisse): Vollständigkeit Transitivität Rationale Wahl Nichtsättigung Stetigkeit Konvexität Beschränkte Substituierbarkeit Differenzierbarkeit der Indifferenzkurven
• Indifferenzkurve def. Die Indifferenzkurve ist der geometrische Ort derjenigen Konsumbündel, denen der Konsument die gleiche Präferenz entgegenbringt.
• Vollständigkeit wenn mir Konsumplan 1 lieber ist als Plan 2, so kann nicht gelten, dass mir Plan 2 lieber ist als Plan 1
• Transitivität Ist Konsumplan 1 lieber als Plan 2 und Plan 2 lieber als Plan 3, so ist Plan 1 auch automatisch lieber als Plan 3. Ausnahme Arrow-Paradoxon: 3 Personen 3 Güter, jede Person hat eine genau unterschiedliche Präferenzordnung, so wird ein eindeutiges Abstimmungsergebnis nicht möglich
• Rationale Wahl wird ein beliebiger Konsumplan aus der Budgetmenge ausgewählt, so gilt, dass dieser Plan allen anderen Konsumplänen vorgezogen wird. Sonst wäre er nicht gewählt worden.
• Nichtsättigung Ist in einem Konsumplan eine Menge größer als in einem Anderen und sind alle anderen mind. gleich groß, so wird der mit der größeren vorgezogen.
• Stetigkeit Indifferenzkurve, für beliebige Konsumbündel x*, die Element der Konsummenge sind, gilt: gehört ein Konsumplan x* zu I(x), so gilt: x*~x1
• Konvexität Annahme, dass Indifferenzkurven im 2 Güterfall streng Konvex gekrümmt sind, somit wird jede konvexe Kombination (Gerade zwischen zwei Punkten auf einer Indifferenzkurve) als strikt besser betrachtet. Alle Punkte der geraden weisen einen höheren Rang auf als die Kurve selbst. Jede konvexe Verbindung zwischen zwei Punkten einer Menge muss Element der Menge sein.
• Beschränkte Substituierbarkeit Ein Gut kann nicht vollständig von einem anderen ersetzt werden. Stellt sicher, dass die Indifferenzkurve nicht die Achsen berührt.Es gilt somit:  |dxj/dxi| = ∞, falls xi → 0 Eine technische Annahme mit der ausgesagt wird, dass ein Haushalt niemals dazu bereit ist, auf den Kauf eines Gutes zugunsten eines anderen vollständig zu verzichten.
• Differenzierbarkeit der Indifferenzkurven Sind in jedem Punkt stetig differenzierbar, erste Ableitung ist eine stetige Funktion. Somit wird ausgeschlossen, dass die Indifferenzkurve einen Knick hat.
• Grenzrate der Substitution Die Steigung der Indifferenzkurve delta x2 / delta x1 gibt an wie viele Einheiten von Gut 2 aufgegeben werden muss, wenn von Gut 1 eine Einheit mehr konsumiert werden soll ohne die Indifferenzkurve zu verlassen (bei gleicher Bedürfnissbefriedigung). Merksatz:dxj/dxi, i ≠ j, i,j = 1,...,n, heißt Grenzrate der Substitution von Gut j durch Gut i
• Gesetz der fallenden Grenzrate der Substitution Je mehr ein Haushalt von einem Gut besitzt, desto mehr würde er bereit sein von diesem Gut abzugeben um eine Einheit von einem anderen Gut zu bekommen und umso weniger ist er bereit von einem anderen Gut abzugeben um eine Einheit dieses Gutes zusätzlich zu bekommen. Der absolute Wert von dx2 / dx1 fällt mit steigendem x1
• Annahme 1 Nutzenfunktion Vollständigkeit:  f(x1) > f(x2) oder f(x2) > f(x1) oder f(x1) = f(x2)
• Annahme 2 Nutzenfunktion  Transitivität: f(x1) ≥ f(x2) und f(x2) ≥ f(x3) dann f(x1) ≥ f(x3)
• Annahme 3 Nutzenfunktion rationale Entscheidung: wählt ein Haushalt das Güterbündel x1 aus Budgetmenge Y aus, so muss f(x1) ≥ f(x2) für alle anderen Konsumpläne x2 ∈ Y gelten.
• Annahme 4 Nutzenfunktion Nichtsättigung (Monotonie): für alle x, die Elemente der Konsummenge sind gilt:∂u/∂xi > 0,    i = 1,2,...,nAlso der Grenznutzen ist größer als Null
• Grenznutzen der Nutzenfunktion ∂u/∂xi heißt Grenznutzen des Gutes i und ist die partielle Ableitung der Nutzenfunktion u=f(x) Er gibt an um wieviel sich der Nutzen verändert, wenn die Gütermenge x um eine Einheit verändert wurde. Achtung: Häufig werden Nutzenfunktionen unterstellt, deren Grenznutzen mit zunehmendem Einsatz der Gütermenge abnimmt, deren zweite Aleitung also negativ ist.1. Gossensche Gesetz
• Annahme 5 Nutzenfunktion Stetigkeit (stetiger Verlauf der Nutzenfunktion): Funktion u(x) ist stetig im Punkt a, wenn 1. lim x→a f(x) existiert2. f(a) existiert3. f(a) = lim x→a f(x) Bsp.:f(x) = 1 + 1/x, für x→∞  Grenzwert =1  drei Bedingungen sind erfülltf(x) ist stetig im Punkt x = a. MAN KANN DIE KURVE DURCHZEICHNEN!!!
• Annahme 6 Nutzenfunktion Konvexität: Der Haushalt wird das gewogene Mittel zweier Konsumpläne auf der Indifferenzkurve jedem der beiden vorziehen, da dieses einen höheren Nutzen verspricht. gilt für Konsumpläne x1, x2: f(x1) = f(x2), dann muss für jeden Konsumplan x- = λ·x1 + (1-λ)·x2,    0<λ<1, gelten: f(x-) > f(x1)
• Annahme 7 Nutzenfunktion beschränkte Substituierbarkeit: Ein Gut kann niemals vollständig durch ein anderes ersetzt werden (Indifferenzkurven berühren die Achsen nicht). Es gilt somit:|dxj/dxi| = ∞, falls xi → 0
• Annahme 8 Nutzenfunktion Differenzierbarkeit der Indifferenzkurven (techn. Annahme) Eine funktion u(x) ist zweimal stetig differenzierbar. Steigung heißt Grenzrate der Substitution und gibt an, wie viele Einheiten eines Gutes aufgegeben werden müssen um eine Einheit von einem anderen Gut mehr zu erhalten, sodass das selbe Nutzenniveau erhalten bleibt.
• Nutzen / Nutzenfunktion - ordinal (6 nicht dreimal so gut wie 2, nur besser als 2)- u = f(x) ordinale Nutzenfunktion- rationales Verhalten wird als Maximierung einer stetigen und differenzierbaren Nuzenfunktion beschrieben- 8 Annahmen der Präferenzordnung werden auf Nutzenfunktion übertrage Vollständigkeit Trasitivität Rationale Wahl Nichtsättigung (Monotonie) Stetigkeit (stetiger Verlauf der Nutzenfunktion) Konvexität Beschränkte Substituierbarkeit Differenzierbarkeit der Indifferenzkurve
• Haushaltsoptimum Beschreibt den Konsumplan aus den möglichen Konsumplänen, der für den Haushalt optimal ist. Damit wird auch bestimmt, welche Güter in welcher Menge nachgefragt werden. 2 Verfahren:Geometrisch und Analytisch
• Geometrische Bestimmung des Haushaltsoptimum (2 Güterfall) - Nutzenmaximales Ergebnis befindet sich auf dem Tangentialpunkt der Budgetgerade und der Indifferenzkurve I1. - Jede links von I1 liegende Indifferenzkurve weist eine niedrigere und jede recht von I1 liegende eine höhere Wertschätzung (Nutzenniveau) auf. Die rechts von I1 sind aber nicht realisierbar.-Die Steigungen der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden sind im Tangentialpunkt identisch. d.h.: -p1/p2 = dx2/dx1 (GRS)-optimaler Konsumplan ist dann erreicht, wenn für jedes beliebige Paar von Gütern die GRS dem umgekehrten Verhältnis der Preise der beiden Gütern entspricht:GRS = dxj/dxi = -pi/pj,  i,j = 1,...,n, i≠j-es kann nur eine eindeutige Lösung geben, da das Budget durch eine Gerade dargestellt wird und die Indifferenzkurve streng konvex verläuft Budgetgerade wird hierbei durch das gegebene Budget Y und die Güterpreise (p1,p2) bestimmt. [Y/p1 ; Y/p2]
• Analytische Bestimmung des Haushaltsmaximums Präferenzordnung wird in Form einer Nutzenfunktion u = f(x) dargestellt, die es angesichts gegebener Preise und eines geg. Einkommens zu maximieren gilt. Also:max→u = f(x) u.d.N. n∑i=1 p·x ≤ Y  bzw. n∑i=1 p·x = Y Lagrange Ansatz 4 Schritte Implizite Schreibweise der Nebenbedingung (alle Therme der Nebenbedingung auf eine Seite) Aufstellen Lagrange-Funktion (von der Zielfunktion alle mit einem Lagrange-Multiplikator versehenen Nebenbedingungen subtrahieren) (Multiplikator gibt an, um wieviel sich der Wert der Lagrange-funktion ändert, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit verändert wird Lagrange-Funktion nach jeder unabhängigen Variablen partiell ableiten und die Ableitung gleich 0 setzen. (Bestimmung der Extrema) Auflösung des Gleichungssystems∂u/∂xi / ∂u/∂xj = pi/pjIm Optimum entspricht das Verhältnis der Grenznutzen dem Verhältnis der Preise
• Nutzenmaximum liegt vor, wenn die Grenzrate der Substitution zwischen zwei Güter i und j dem umgekehrten Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter entspricht, welches wiederum dem Preisverhältnis gleicht. GRS = |dxj/dxi| = pi/pj = ∂u/∂xi / ∂u∂xj
• Ausgabenminimierungsproblem - Nutzenniveau u0 muss eingehalten werden- Haushalt wählt das Güterbündel, welches ihm zu minimalen Ausgaben mindestens das Nutzenniveau von u0 verspricht - (Grafisch) Budgetgerade wird von rechts an die gegebene Indifferenzkurve herangeführt, bis sie sich nur noch tangieren -(Analytisch) Durch Lagrange-Funktionmin  p1·x1 + ... + pn·xn    u.d.N.: u(x1,...,xn) ≥ u0
• Reaktionen der optimalen Konsumpläne auf Veränderungen des Einkommens / der Preise Einkommensveränderung führen zur Engelkurve Preisveränderungen führen zur Güternachfragekurve
• superiores / inferiores Gut superiores Gut = bei steigendem Einkommen wird mehr von einem Gut gekauft und andersherum dxi/dY>0 inferiores Gut = bei steigendem Einkommen wird weniger von einem Gut gekauft und andersherum dxi/dY<0
• Einkommens-Konsum-Kurve zu Engelkurve Einkommens-Konsum-Kurve ist die geometrische Verbindung aller optimalen Konsumpläne bei Einkommensveränderungen(Darstellung in reinem Güter-Mengen-Diagramm) überträgt man die optimalen Einkommens-Mengen-Kombinationen des Gutes der Y-Achse in ein Einkommens-Gütermengen-Diagramm, so erhält man die Engelkurve Konvexer Verlauf = superiores Gut (Nachfrage steigt überproportional)Konkaver Verlauf = inferiores Gut (Nachfrage steigt unterproportional)Achtung es kann sich mit weiteren Veränderungen des Y auch noch ändern (z.B.konvex zu konkav)
• Güternachfragekurve Der geometrische Ort aller optimalen Konsumpläne (Nachfragen) zweier Güter i und j für alle möglichen Werte, die der Preis eines Gutes bei Konstanz des Einkommens und des Preises des anderen Gutes annehmen kann, heißt Preis-Konsumkurve (Güter-Mengen-Diagramm). Der geometrische Ort aller Nachfragen nach einem Gut in Abhängigkeit von seinem Preis heißt Marshall'sche Nachfragekurve oder nur Nachfragekurve (Preis-Mengen-Diagramm) sinkt die Nachfrage bei steigendem Preis = normale/typische Nachfrage dxi/dpi < 0 steigt die Nachfrage bei steigendem Preis = anormale/atypische Nachfrage dxi/pdi > 0
• Giffen Güter inferiore Güter, deren Nachfrage bei steigenden Preisen ansteigt. |EE| > SE
• Substitutions- und Einkommenseffekt Die Änderung einer Nachfrage in Reaktion auf den Preis Gesamteffekt = Substitutionseffekt + Einkommenseffekt Gesamteffekt: Slutzkygleichung (dxj/dpj = ∂xj/∂pj ||u=u0 + xj · ∂xj/∂Y Substitutionseffekt: ∂xj/∂pj Einkommenseffekt: ∂xj/∂Y · xj
• Elastizität gibt an, um wieviel % sich eine abhängige Variable in ihrem Wert ändert, wenn eine unabhängige Variable um ein % variiert (zwei %sätze werden dividiert, BOGENELASTIZITÄT) (x gegen 0 PUNKTELASTIZITÄT) |η| > 1  elastische Beziehung|η| < 1 unelastische Beziehung|η| = 1 Einheitselastizitätη = 0  starre Beziehung|η| gegen ∞ vollkommen elastische Beziehung|η| = c konstante Elastizität
• Einkommenselastizität der Nachfrage Um wieviel % ändert sich die Nachfrage, wenn sich das Einkommen, c.p., um 1 % verändert. (anhand Engelkurve abzulesen) η x,Y = ∂x/∂Y · Y/x
• Preiselastizität der Nachfrage gibt an, um wieviel % sich die Nachfrage nach einem Gut i verändert, wenn sich der Preis des Gutes i, c.p., um ein % verändert. (anhand Nachfragekurve abzulesen) η xi,pi = ∂xi/∂pi · pi/xi
• Kreuzpreiselastizität der Nachfrage gibt an, um wieviel % sich die Nachfrage nach Gut i ändert, wenn sich der Preis von Gut j, c.p., um ein % verändert. η xi,pj = ∂xi/∂pj · pj/xi;    i ≠ j
• Komplementär- / Substitutionsgüter Komplementärgüter:∂xi/∂pj < 0 also steigt der Preis von Gut j, nimmt die Nachfrage nach Gut i ab Substitutionsgüter:∂xi/∂pj > 0 also steigt der Preis von Gut j, nimmt die Nachfrage nach Gut i zu

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