Modul 2 33209 CD Grundlagen deskriptiver Statistik (Fach) / 6. Zusammenhangsmaße (Lektion)
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Zusammenhangsmaße (Korrelationen)
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- Ziel der Korrelationsrechnung Bei der tabellarischen oder grafischen Darstellung von Daten für zwei Merkmale kann der Eindruck entstehen, dass zwischen den Merkmalen ein Zusammenhang besteht. Mit der Korrelationsanalyse wird die Stärke des statistischen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen quantifiziert. Als Zusammenhangsmaße verwendet man - je nach Skalenniveau der beteiligten Merkmale - unterschiedliche Korrelationskoeffizienten.
- Kovarianz zweier Merkmale Während sich die Streuung eines metrisch skalierten Einzelmerkmals X oder Y anhand der empirischen Varianz s2x bzw. s2y messen lässt, kann man die gemeinsame Streuung von X und Y anhand der Kovarianz sxy beurteilen. Die Kovarianz kann positiv, negativ oder Null sein. Ihr Wert ist maßstabsabhängig.
- Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson Ein normiertes Maß für die gemeinsame Streuung zweier metrischer Merkmale ist der Korrelationskoeffizient r von Bravais-Pearson. Im Falle r > 0 spricht man von positiver, im Falle r < 0 von negativer Korreliertheit der Merkmale. Ist r = 0, so heißen die Merkmale unkorreliert. Der Korrelationskoeffizient r misst die Stärke eines linearen Zusammenhanges zwischen zwei Merkmalen. Er nimmt Werte zwischen -1 und +1 an. Die Grenzen werden erreicht, wenn alle Punkte auf einer fallenden bzw. steigenden Geraden liegen.
- Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Ein auch bei ordinalskalierten Merkmalen anwendbares Zusammenhangsmaß ist der auf Rangzahlen basierende Rangkorrelationskoeffizient rSP von Spearman. Er misst die Stärke eines monotonen Zusammenhangs und ist robuster gegenüber Ausreißern. Wie der Korrelationskoeffizient r von Bravais-Pearson nimmt auch rSP stets Werte zwischen -1 und +1 an. Die Grenzen werden erreicht, wenn sich die Rangzahlen völlig gleichsinnig resp. gegensinnig verhalten.
- Korrelation und Kausalität Die Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson und Spearman sind invariant gegenüber einer Vertauschung der Merkmale X und Y, zwischen denen ein Zusammenhang vermutet wird. Sie messen also nur die Stärke, nicht aber die Richtung eines Zusammenhangs. Selbst wenn man für r oder rSP einen großen Absolutbetrag ermittelt, kann man ohne Zusatzinformation noch nicht auf einen bestehenden kausalen Zusammenhang schließen. Es kann z.B. eine Scheinkorrelation vorliegen. Bei kleinen Werten von |r| sind auch nicht-lineare Abhängigkeiten zu erwägen.
- Empirische Unabhängigkeit (was bedeutet fehlende Abhängigkeit) Vor der Definition eines Zusammenhangsmaßes, das auch bei zwei nominalskalierten Merkmalen X und Y anwendbar ist, ist zu klären, was hier fehlende Abhängigkeit bedeutet. Man spricht von empirischer Unabhängigkeit von X und Y, wenn alle bedingten Häufigkeitsverteilungen eines Merkmals identisch sind. Bei Unabhängigkeit von X und Y lassen sich die in der Kontingenztabelle zusammengefassten Häufigkeiten bereits aus den Randverteilungen bestimmen.
- χ2-Koeffizient und Kontingenzkoeffizienten Ein bei nominalskalierten Merkmalen X und Y verwendbares Zusammenhangsmaß ist der χ2-Koeffizient. Dieser ist bei Unabhängigkeit der Merkmale Null, bei Abhängigkeit größer als Null. Der χ2-Koeffizient ist zwar nach oben beschränkt, der Wert der kleinsten oberen Schranke hängt aber u. a. von n ab. Der Kontingenzkoeffizient V nach Cramér vermeidet diesen Nachteil. Er nimmt stets Werte zwischen Null und Eins an.
- Lernerfolgskontrolle Berechnung von Zusammenhangsmaßen Berechnen Sie in Übung 1 den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson und in Übung 2 den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman für einen jeweils von Ihnen zu generierenden Datensatz. In Übung 3 ist anhand einer Kontingenztafel, die Sie ebenfalls selbst erzeugen können, das normierte Zusammenhangsmaß V von Cramér zu ermitteln. x y metrisch ordinal nominal metrisch Korrelations- koeffizient n. Bravais-Pearson r ordinal Rangkoeffizient n. Spearman r(sp) nominal Kontigenz- koeffizient V n. Cramer