Mathematik (Fach) / Sachrechnen (Lektion)

Brinkmann Vorlesung bis 3.4.2.4

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• Welche Fehlerarten beim Modellieren werden unterschieden? Fehler beim Aufstellen des Realmodells (falsche vereinfachende Annahmen, Annahmen vereinfachen die Realität zustark) Fehler beim Aufstellen des mathematischen Modells (falsche Algorithmen, keine adäquate mathematische Schreibweise) Fehler beim Bearbeiten des mathematischen Modells (Rechenfehler, Bearbeitung des mathematischen Modells wird ohneErgebnis beendet, fehlende heuristischen Strategien zum Bearbeitendes Modells) Fehler beim Interpretieren der Lösung (Interpretation der Ergebnisse fehlt, komplexere mathematische Lösungen werden falsch interpretiert) Fehler zur Infragestellung der Lösung und ggf. erneuten Durchführung eines Modellierungsprozesses (kritische Reflexion der Ergebnisse fehlt, kritische Reflexion der Ergebnisse ist sehr oberflächlich, Unzulänglichkeit eines Modells wird erkannt, aber nichtverbessert) Fehler, die den ganzen Modellierungsprozess betreffen (Komplexe Aufgabenstellungen werden im Gegensatz zu einfacheren nicht gelöst,gesamter Modellierungsprozess gelingt nicht, SuS berichten von ihren eigenen Erfahrungen im Zusammenhang mit dem Sachkontext, ohne Bezug zur Mathematik oder den von ihnen durchgeführten Rechnungen zunehmen, Fehler im Rahmen der Kommunikation über denModellierungsprozess: Der gesamte Modellierungsprozess wirdzu knapp dargestellt, wesentliche Argumente fehlen)
• Fehlertypen beim Sachrechnen Identifikationsfehler (falsche Operation, irrelevante Angaben) Fehler beim Strukturieren des Lösungsplans Fehlerhafte Verkürzung des Lösungsplans bei mehrschrittigenAufgaben Fehler bei der verbalen Antwort
• Kategorien von Hilfen beim Sachrechnen – Motivationshilfen– Rückmeldungshilfen– allgemeine strategische Hilfen– inhaltsorientierte strategische Hilfen– inhaltliche Hilfen
• Lösungsplan für Modellierungsaufgaben nach Blum 1. Aufgabe verstehen 2. Modell erstellen 3. Mathematik benutzen 4. Ergebnis erklären
• allgemein- strategische Hilfen – Lies dir die Aufgabe genau durch!– Mach dir eine Skizze!– Schreib dir die gegebenen Daten heraus!– Welche Daten benötigst du, wie kannst du sie erhalten?
• Impulsfragen – Hast du eine ähnliche Aufgabe schon einmal bearbeitet?– Wie lautet die Frage?– Welche Angaben sind für die Beantwortung wichtig?– Mit welcher Rechnung könnte man die Frage(n) beantworten?– Könnten eine Skizze oder eine Tabelle hilfreich sein?– Kommt man mit einem Rechenschritt zur Lösung oder mussein Zwischenergebnis ermittelt werden?– Welche Ergebniszahl(en) könnte(n) ungefähr in Fragekommen?
• Impulse – Schätze ein Ergebnis.– Mach eine Überschlagsrechnung.– Nummeriere die Rechenschritte.– Passt das Ergebnis zur Frage?– Formuliere und schreibe einen Antwortsatz
• Heuristische Strategien beim Lösen von Sachaufgaben • Texte mit eigenen (anderen) Worten wiedergeben• Texte gliedern• ein komplexes Problem in Teilprobleme zerlegen• verdeutlichende Skizzen anlegen• Tabellen herstellen• eine Sache von einer anderen Seite her sehen• sich an eine ähnliche bekannte Aufgabe erinnern• eine Situation umdeuten• Sonderfälle betrachten• eine Vermutung aufstellen und testen• ein Ergebnis schätzen
• Grundbegriff: Größe – physikalische Größe: Einteilung in Grundgrößen (Basisgrößen), abgeleitete Größen und dimensionslose Größen – Die Wahl der Basisgrößen kann nach physikalischpraktischenoder didaktischen Gesichtspunkten erfolgen. – Jede Basisgröße ist so festgelegt, dass sie nicht durchandere Basisgrößen ausgedrückt werden kann (Länge, Masse, Zeit, thermodynamische Temperatur, Stromstärke, Stoffmenge, Lichtstärke). – Die Objekte selbst (Gegenstände, Vorgänge oder Zustände) wie auch nicht quantifizierbare Merkmale (etwa Aussehen oder Geschmack) – Geldwerte als ökonomische Größen (in der Schule)
• abgeleitete Größen setzen sich aus mehreren Größen zusammenz. B.:• Fläche = Länge mal Länge• Geschwindigkeit = Weg pro Zeit• Dichte = Masse pro Volumen
• Angabe des Größenwertes – Die Angabe des Größenwerts erfolgt immer als Produkt aus Zahlenwert und Einheit– Will man nur den Zahlenwert angeben, so setzt man das Formelzeichen in geschweifte Klammern. Will man nur die Einheit angeben, so setzt man das Formelzeichen in eckige Klammern. Formal lässt sich ein Größenwert also wie folgt schreiben: z. B.• Angabe einer Spannung: U = 110 V• nur Zahlenwert: {U} = 110• nur Einheit: [U] = V – Da der Zahlenwert von der gewählten Maßeinheit abhängt,ist die alleinige Darstellung des Formelzeichens ingeschweiften Klammern nicht eindeutig.– Deshalb ist für die Beschriftung von Tabellen undKoordinatenachsen die Darstellung „G/[G]“ (z. B. „m/kg“)oder „G in [G]“ (z. B. „m in kg“) üblich.
• Rechenregeln für Größen – Für physikalische Größen sind nicht alle Rechenoperationen, diemit reinen Zahlen möglich wären, sinnvoll.– Addition und Subtraktion ist nur zwischen Größen der gleichenGrößenart möglich (allerdings nicht immer sinnvoll, s. Volumina).– Multiplikation und Division sowohl von verschiedenen Größen alsauch mit reinen Zahlen sind uneingeschränkt möglich (allerdingsnicht immer sinnvoll). – Transzendente Funktionen wie exp, log, sin, cos, usw. sindnur für reine Zahlen definiert und damit nur beidimensionslosen Größen möglich.– Unsinnige Rechenoperationen, z. B.:• 30 s + 10 m• 20 kg – 3 m• sin(10 m)• log(5 m/s)
• gleichartige Größen Wenn der Quotient von zwei Größenwerten verschiedenerGrößen eine reelle Zahl ist, so sind die zugehörigenGrößen gleichartig. Quotient 4m/300cm = 4/3 (reele Zahl) Quotient 4m/30000cm² = 4/3 m^(-1) (keine reele Zahl)
• Größenart Oberbegriff für alle Größen, die paarweise gleichartigsind
• Repräsentanten (Vertreter) von Größen – Repräsentanten von Größen sind konkrete Objekte, mit denen manin einer bestimmten Art und Weise handelt und die alle einenNamen, der dieser Größe entspricht, führen. (Z. B. kann einKugelschreiber ein Repräsentant der Größe 15 cm sein.)– Ein und dieselbe Größe kann immer durch verschiedene Namen(nämlich mittels verschiedener Maßzahlen und Maßeinheiten)angegeben werden. (Beispiele für verschiedene Namen ein undderselben Größe: 5 ha = 50.000 m², 25 m³ = 25.000 l.)– Ein und dieselbe Größe hat viele verschiedene Repräsentanten
• Äquivalenzrelation für eine Größenart – äquivalente Repräsentanten von Größen gehörenderselben Klasse an,– nichtäquivalente Repräsentanten von Größen gehörenunterschiedlichen Klassen an,– die Klassen sind disjunkt,– die Vereinigung der Klassen ist gleich der Menge vonRepräsentanten von Größen der Größenart
• Größenbereich • Größen, denen dieselbe Äquivalenzrelation zugrunde liegt,werden zu einem Größenbereich zusammengefasst. Sogehören alle Klassen gleich langer Objekte zumGrößenbereich „Längen“.• Damit gilt insbesondere, dass Größen ein und desselbenGrößenbereichs immer Größen derselben Größenart sind.• In der mathematikdidaktischen Literatur werden mit demBegriff der Größenbereiche meist auch die Rechengesetzefür Größen mit gemeint
• Warum ist Temperatur gemessen in °C kein Größenbereich? Es können negative Werte auftreten. Dies widerspricht dem Lösbarkeitsgesetz (a + x = b genau dann, wenn a <b). Dieses Problem tritt nicht auf, wenn man Temperaturen inK angibt.
• Überschlagen Beim Überschlagen werden Zahlen so vereinfacht,dass durch mündliches Rechnen bzw. durchKopfrechnen ein Näherungswert für eine Rechnungermittelt werden kann.
• Runden eindeutiges Bestimmen eines Näherungswertes füreine Zahl nach fest gelegten Rundungsregeln– vorher festgelegt (z. B. Aufrunden für die Ziffern 5,6,7,8,9;Abrunden für die Ziffern 1,2,3,4)– abgeleitet aus der realen Situation
• Ziele des Arbeitens mit Größen im MU • Entwicklung realer Vorstellungen zu einzelnen Größen,• Erwerb von Kenntnissen über häufig gebrauchte Einheiten,• Befähigung zum Erfassen (Schätzen und Messen) und zumDarstellen von Größen (Tabellen, Diagramme, ...),• Befähigung zum Vergleichen und zum Ordnen vonGrößenangaben sowie zum Rechnen mit Größenangaben,• Befähigung zum Umwandeln von Größenangaben in Angaben miteiner anderen Maßeinheit,• Befähigung zum Anwenden von Größen beim Sachrechnen(Sachprobleme, Durchschnittsberechnungen,Maßstabsberechnungen, Darstellen, Auswerten, Interpretierenvon Größenangaben, u. a. )
• Besonderheiten des Größenbereichs Zeit – Bei Zeitangaben ist zwischen der Angabe von Zeitpunkt undZeitdauer zu unterscheiden.– Zeitpunkte sind keine Größen, sondern Skalenwerte auf einemMessgerät.– Als Messgeräte für Zeitpunkte werden Uhren und Kalenderverwendet.– Die Zeitspanne wird aus der abgelesenen Anfangs- und Endzeit,also aus 2 Zeitpunkten, berechnet.– Zeitberechnungen lassen sich wegen des oben beschriebenenUnterschieds von Zeitpunkt und Zeitspanne nicht immer in derbeim Rechnen üblichen Form als Gleichung aufschreiben – In der Regel ist zwischen Vormittags- und Nachmittagszeiten(Zeitpunkten) zu unterscheiden. In der Alltagssprache und auchin Angaben aus dem Angloamerikanischen gibt oft nur derKontext Aufschluss darüber, welcher Zeitpunkt gemeint ist.– Die Einheiten zum Größenbereich Zeit sind nicht dekadischaufgebaut. Auch die Bezeichnungen für die Einheiten lassenkeine Beziehung zwischen den Einheiten erkennen.Z. B. 1,25 min ≠ 1 min 25 s– Während die Einheiten s, min und h noch regelmäßig durch dieUmwandlungszahl 60 abgeleitet werden, sind dieUmwandlungszahlen zwischen den anderen Einheitenunregelmäßig. – Die Repräsentanten für Größen der Zeit sind Vorgänge. Dieselassen sich i. d. R. nicht unter gleichen Bedingungenwiederholen, speichern (wenn man von Videoaufnahmen absieht)und reproduzieren.– Das direkte Vergleichen der Repräsentanten ist nur möglich,wenn die Vorgänge zum gleichen Zeitpunkt beginnen (oderenden) und am gleichen Ort stattfinden.
• Besonderheiten des Größenbereichs Geld – Geldeinheiten können nicht beliebig klein oder groß gewähltwerden. In unserer Währung ist z. B. 1 Cent die kleinsteEinheit. Hieraus resultiert, dass es beim Teilen auchRestbeträge oder gerundete Geldwerte geben kann.– Geld hat keine standardisierte Maßeinheiten. So gibt esverschiedene Währungen auf der Welt, derenWechselkurse immer wieder neu festgelegt werden.– Der Geldwert ist auch innerhalb eines Landes instabil.– Der Preis einer Ware kann von der Stückzahl, vom Gewichtoder vom Volumen, von der Qualität, vom Zeitpunkt odervom Markennamen abhängen. – Bei Dienstleistungen wird der Preis außerdem inAbhängigkeit von der aufgewendeten Zeitdauer bestimmt.– Im Alltag können die Repräsentanten für Geldunterschiedlich sein: Münzen und Scheine, Preisschilder,konkrete Waren, Kontoauszüge, …– Der Preis einer Ware wird subjektiv sehr unterschiedlichund mit unterschiedlichem „Gerechtigkeitsempfinden“wahrgenommen. – Den Geldwert einer Ware kann man nicht objektiv messen.Er wird nicht nur vom ökonomischen Wert, sondern auchvon Angebot und Nachfrage u. a. willkürlich festgelegt(Unterschied zu physikalischen Größen).– Spezifische Aktivitäten im täglichen Umgang mit Geld sinddas Legen von Geldbeträgen, das Wechseln und dasHerausgeben von Restgeld.
• Stufenfolge zur Erarbeitung von Größenbereichen nach Radatz/ Schipper (1983) 1. Erste Erfahrungen in Sach- oder Spielsituationen2. Direkter Vergleich von Repräsentanten einer Größe3. Indirekter Vergleich mit Hilfe willkürlicher Maßeinheiten4. Erkennen der Invarianz einer Größe5. Indirekter Vergleich mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten6. Entwicklung einer Vorstellung der standardisiertenEinheitsgrößen („Stützpunktwissen“)7. Messen mit technischen Hilfsmitteln8. Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten9. Rechnen mit Größen
• Stufenfolge zur Erarbeitung von Größenbereichen nach Franke (2003) 1. Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln2. Direktes Vergleichen von Repräsentanten3. Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbstgewählter Maßeinheiten4. Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten5. Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten6. Aufbau von Größenvorstellungen7. Rechnen mit GrößenAnmerkung: Franke führt die Stufe „Erkennen der Invarianz einerGröße“ nicht auf.
• Beispiele: 1. Erste Erfahrungen in Sach- oder Spielsituationen – Ballwurf– Körpergrößenvergleich– Vergleich von Gebäuden etc.– Bezug zu: „ist so groß/hoch/weit/breit/dick/eng/tief/etc.wie“
• Beispiel: 2. Direkter Vergleich von Repräsentanten einer Größe – Körpergrößenvergleich/-sortierung in einer Klasse
• Beispiel: 3. Indirektes Vergleichen mit willkürlichen Maßeinheiten – Schnur oder Stab zum Vergleich zweier Körpergrößen (dienicht direkt verglichen werden können).
• Beispiel: 5. Indirekter Vergleich mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten – Maßband (Zollstock) zum vergleichenden Messen vonKörpergrößen
• Beispiel: 6. Entwicklung einer Vorstellung der standardisierten Einheitsgrößen (Stützpunktwissen) Stuhl ist ca. 1 m hoch, Schritt ist ca. 1m lang, Handspanne ca. 20cm, Fußballfeld ca. 100m
• Beispiel: 8. Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten Angabe ähnlicher Längen in verschiedenen Einheiten
• Besonderheiten bei der Erarbeitung des Größenbereichs Flächen – Eingeschränktheit und großer Aufwand des (einfachen)Messens mit Einheitsquadraten o. Ä.– Nutzen von Formeln zur Berechnung von Flächeninhalten(ab Klasse 5)– Verknüpfung mit geometrischen Themen– Potenzen beim Umgang mit Maßeinheiten
• Besonderheiten bei der Erarbeitung des Größenbereichs Rauminhalte (Volumina) – Eingeschränktheit des (einfachen) Messens mit Messzylindernoder Einheitswürfeln– Unproportionale Skaleneinteilungen auf trichterförmigenMessbechern– Nutzen von Formeln zur Berechnung von Rauminhalten (abKlasse 5)– Verknüpfung mit geometrischen Themen (Volumenberechnungenvon Körpern, Darstellende Geometrie)– Überlappung von Maßeinheiten für Hohlmaße und Volumina (z. B.Liter – dm³)– Potenzen beim Umgang mit Maßeinheiten
• Satzgruppe des Pythagoras – Satz des Pythagoras– Kathetensatz– Höhensatz
• Satz des Pythagoras und Anwendungen „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe derFlächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich demFlächeninhalt des Hypotenusenquadrats.“ Wichtige Anwendungen: Längen- und Abstandsberechnungen
• Strahlensätze 1. Strahlensatz: Strecken auf der einen Halbgeraden verhalten sich wieentsprechende Strecken auf der anderen Halbgeraden 2. Strahlensatz: Parallele Querstreckenverhalten sich wie zugehörige Abschnitteauf den Halbgeraden.
• Anwendung von Kreislehre Berechnung der Kreisfläche und desKreisumfangs (von denen teils andere Größen, die inAnwendungen betrachtet werden, abhängen)
• didaktische Funktionen von Kreislehre Außermathematische Anwendung (Erwerb von Wissen imBereich des Sachkontextes), Innermathematisch: Quadratische Funktionen mit einemFunktionsterm der Form ax² + b lassen sich durchSubstitution von x² linearisieren (wichtig fürModellierungsprozesse).
• Pädagogische Rechtfertigung für den Stochastikunterricht 1. Trägt zum besseren Verständnis der natürlichen und gesellschaftlichen Welt bei.2. Hilft, menschliches Verhalten besser zu verstehen.3. Hilft, höhere Kritikfähigkeit gegenüber vorgelegten Behauptungen zu erlangen
• Gründe für die Behandlung von Stochastik 1. Die Wirklichkeit enthält auch zufallsbedingteErscheinungen.2. Modellbildung kann deutlich werden.3. Wahrscheinlichkeitstheorie ist reich ansubstantiellen Erkenntnissen.4. Trifft auf Interesse bei vielen Kindern.5. Lässt sich gut in den übrigen Unterrichtintegrieren.6. Entstehungsgeschichte ist interessant.
• Laplace- Regel Sind bei einem Zufallsversuch alle Ergebnissegleichwahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment.
• Schlussrechnung Sachaufgaben zu proportionalen (und umgekehrtproportionalen) Funktionen sind meist nach dem Prinzipaufgebaut, dass aus drei gegebenen Größen auf eine vierteGröße geschlossen werden muss. Man bezeichnet solcheAufgaben daher auch als Schlussrechnung.
• Lösungsverfahren in der Schlussrechnung – Zweisatz bzw. Dreisatz– Lösen mittels Tabelle– Anwendung von Formeln (z. B. in der Prozent- undZinsrechnung)– Rechnen mit Verhältnissen– Bestimmung des Proportionalitätsfaktors (z. B. beim Aufstellender Funktionsgleichung) Wichtig ist dabei jedoch immer, ein Verständnis für die Art derZuordnung zu entwickeln.
• Dreisatz nach dem alten Schema Sich entsprechende Größen werden jeweils in eine Zeilegeschrieben, dann betrachtet man (in Gedanken) dieDiagonale, die 2 bekannte Größen verbindet.Regel: „Über Kreuz multiplizieren und durch die dritte bekannteGröße teilen.“
• Vor- und Nachteile des Dreisatzes nach dem "alten Schema" Vorteile dieses Schemas:– Rechnung sehr schnell durchführbar– wenig Schreibarbeit– Anwendungsaufgaben in anderen Unterrichtsfächern werdensehr schnell gelöst– Rechenschema kann gut eintrainiert werden, lässt sich guteinprägen, ist wenig fehleranfällig Nachteil dieses Schemas:– Mathematisches Verständnis dafür, warum so gerechnetwerden kann, geht verloren.
• Eigenschaften linearer Funktionen • Differenzenquotienteneigenschaft(Für alle x ungleich y gilt k=f(y)-f(x)/y-x)• Mittelwerteigenschaft:Dem Mittelwert zweier Größen des einen Bereichs entsprichtimmer der Mittelwert der zugeordneten Größen des anderenBereichs• Abstandseigenschaft:Gleichabständigen Maßzahlen des einen Größenbereichsentsprechen immer gleichabständige Maßzahlen des anderenGrößenbereichs: y−x = w−v ⇒ f(y)−f(x) = f(w)−f(v)
• Zugänge zur Prozentrechnung Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung vom-Hundert-Rechnung
• Tipps für Methodisches Vorgehen bei der Einführung in die Prozentrechnung Konkrete Vergleichsprobleme aus interessantenSachkontexten so wählen, dass• von der Sache her allein ein Bruchvergleich undnicht ein additiver Vergleich sinnvoll ist,• durch große Zahlen und v. a. viele zuvergleichende Brüche die Festlegung auf dengemeinsamen Nenner 100 gut motiviert werdenkann.
• Mögliche Stufenfolge für die Einführung in die Prozentrechnung 1) Einführung des Prozentbegriffs als andere Sprechweisefür Hundertstel, Bedeutung des Begriffs beim relativenVergleich (Verhältnisbegriff!)2) Einführung des Begriffs Grundwert, intensive Einübung3) Grafische Veranschaulichung, überschlägige Behandlungder Grundaufgaben (Prozentwert gesucht, Prozentsatzgesucht, Grundwert gesucht)4) Prozentaufgaben werden näherungsweise gelöst (ohneRechnen!), Verständnis steht im Vordergrund5) Exakte Berechnung mit Hilfe des Dreisatzschemas,Überschlag vor jeder Rechnung empfohlen!
• Spezielle Anwendung der Prozentrechnung Promillerechnung Zinsrechnung  

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