Mathematik (Fach) / Sachrechnen (Lektion)

Brinkmann Vorlesung bis 3.4.2.4

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• Welche Fehlerarten beim Modellieren werden unterschieden? ... Fehler beim Aufstellen des Realmodells (falsche vereinfachende Annahmen, Annahmen vereinfachen die Realität zustark) Fehler beim Aufstellen des mathematischen Modells (falsche Algorithmen, keine adäquate ...
• Fehlertypen beim Sachrechnen Identifikationsfehler (falsche Operation, irrelevante Angaben) Fehler beim Strukturieren des Lösungsplans Fehlerhafte Verkürzung des Lösungsplans bei mehrschrittigenAufgaben Fehler bei der verbalen ...
• Kategorien von Hilfen beim Sachrechnen – Motivationshilfen– Rückmeldungshilfen– allgemeine strategische Hilfen– inhaltsorientierte strategische Hilfen– inhaltliche Hilfen
• Lösungsplan für Modellierungsaufgaben nach Blum 1. Aufgabe verstehen 2. Modell erstellen 3. Mathematik benutzen 4. Ergebnis erklären
• allgemein- strategische Hilfen – Lies dir die Aufgabe genau durch!– Mach dir eine Skizze!– Schreib dir die gegebenen Daten heraus!– Welche Daten benötigst du, wie kannst du sie erhalten?
• Impulsfragen – Hast du eine ähnliche Aufgabe schon einmal bearbeitet?– Wie lautet die Frage?– Welche Angaben sind für die Beantwortung wichtig?– Mit welcher Rechnung könnte man die Frage(n) beantworten?– ...
• Impulse – Schätze ein Ergebnis.– Mach eine Überschlagsrechnung.– Nummeriere die Rechenschritte.– Passt das Ergebnis zur Frage?– Formuliere und schreibe einen Antwortsatz
• Heuristische Strategien beim Lösen von Sachaufgaben ... • Texte mit eigenen (anderen) Worten wiedergeben• Texte gliedern• ein komplexes Problem in Teilprobleme zerlegen• verdeutlichende Skizzen anlegen• Tabellen herstellen• eine Sache von einer ...
• Grundbegriff: Größe – physikalische Größe: Einteilung in Grundgrößen (Basisgrößen), abgeleitete Größen und dimensionslose Größen – Die Wahl der Basisgrößen kann nach physikalischpraktischenoder didaktischen ...
• abgeleitete Größen setzen sich aus mehreren Größen zusammenz. B.:• Fläche = Länge mal Länge• Geschwindigkeit = Weg pro Zeit• Dichte = Masse pro Volumen
• Angabe des Größenwertes – Die Angabe des Größenwerts erfolgt immer als Produkt aus Zahlenwert und Einheit– Will man nur den Zahlenwert angeben, so setzt man das Formelzeichen in geschweifte Klammern. Will man nur die Einheit ...
• Rechenregeln für Größen – Für physikalische Größen sind nicht alle Rechenoperationen, diemit reinen Zahlen möglich wären, sinnvoll.– Addition und Subtraktion ist nur zwischen Größen der gleichenGrößenart möglich ...
• gleichartige Größen Wenn der Quotient von zwei Größenwerten verschiedenerGrößen eine reelle Zahl ist, so sind die zugehörigenGrößen gleichartig. Quotient 4m/300cm = 4/3 (reele Zahl) Quotient 4m/30000cm² = 4/3 m^(-1) ...
• Größenart Oberbegriff für alle Größen, die paarweise gleichartigsind
• Repräsentanten (Vertreter) von Größen – Repräsentanten von Größen sind konkrete Objekte, mit denen manin einer bestimmten Art und Weise handelt und die alle einenNamen, der dieser Größe entspricht, führen. (Z. B. kann einKugelschreiber ...
• Äquivalenzrelation für eine Größenart – äquivalente Repräsentanten von Größen gehörenderselben Klasse an,– nichtäquivalente Repräsentanten von Größen gehörenunterschiedlichen Klassen an,– die Klassen sind disjunkt,– die ...
• Größenbereich • Größen, denen dieselbe Äquivalenzrelation zugrunde liegt,werden zu einem Größenbereich zusammengefasst. Sogehören alle Klassen gleich langer Objekte zumGrößenbereich „Längen“.• Damit ...
• Warum ist Temperatur gemessen in °C kein Größenbereich? ... Es können negative Werte auftreten. Dies widerspricht dem Lösbarkeitsgesetz (a + x = b genau dann, wenn a <b). Dieses Problem tritt nicht auf, wenn man Temperaturen inK angibt.
• Überschlagen Beim Überschlagen werden Zahlen so vereinfacht,dass durch mündliches Rechnen bzw. durchKopfrechnen ein Näherungswert für eine Rechnungermittelt werden kann.
• Runden eindeutiges Bestimmen eines Näherungswertes füreine Zahl nach fest gelegten Rundungsregeln– vorher festgelegt (z. B. Aufrunden für die Ziffern 5,6,7,8,9;Abrunden für die Ziffern 1,2,3,4)– abgeleitet ...
• Ziele des Arbeitens mit Größen im MU • Entwicklung realer Vorstellungen zu einzelnen Größen,• Erwerb von Kenntnissen über häufig gebrauchte Einheiten,• Befähigung zum Erfassen (Schätzen und Messen) und zumDarstellen von Größen ...
• Besonderheiten des Größenbereichs Zeit – Bei Zeitangaben ist zwischen der Angabe von Zeitpunkt undZeitdauer zu unterscheiden.– Zeitpunkte sind keine Größen, sondern Skalenwerte auf einemMessgerät.– Als Messgeräte für Zeitpunkte ...
• Besonderheiten des Größenbereichs Geld – Geldeinheiten können nicht beliebig klein oder groß gewähltwerden. In unserer Währung ist z. B. 1 Cent die kleinsteEinheit. Hieraus resultiert, dass es beim Teilen auchRestbeträge oder gerundete ...
• Stufenfolge zur Erarbeitung von Größenbereichen ... 1. Erste Erfahrungen in Sach- oder Spielsituationen2. Direkter Vergleich von Repräsentanten einer Größe3. Indirekter Vergleich mit Hilfe willkürlicher Maßeinheiten4. Erkennen der Invarianz einer ...
• Stufenfolge zur Erarbeitung von Größenbereichen ... 1. Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln2. Direktes Vergleichen von Repräsentanten3. Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbstgewählter Maßeinheiten4. Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter ...
• Beispiele: 1. Erste Erfahrungen in Sach- oder Spielsituationen ... – Ballwurf– Körpergrößenvergleich– Vergleich von Gebäuden etc.– Bezug zu: „ist so groß/hoch/weit/breit/dick/eng/tief/etc.wie“
• Beispiel: 2. Direkter Vergleich von Repräsentanten ... – Körpergrößenvergleich/-sortierung in einer Klasse
• Beispiel: 3. Indirektes Vergleichen mit willkürlichen ... – Schnur oder Stab zum Vergleich zweier Körpergrößen (dienicht direkt verglichen werden können).
• Beispiel: 5. Indirekter Vergleich mit Hilfe standardisierter ... – Maßband (Zollstock) zum vergleichenden Messen vonKörpergrößen
• Beispiel: 6. Entwicklung einer Vorstellung der standardisierten ... Stuhl ist ca. 1 m hoch, Schritt ist ca. 1m lang, Handspanne ca. 20cm, Fußballfeld ca. 100m
• Beispiel: 8. Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten ... Angabe ähnlicher Längen in verschiedenen Einheiten
• Besonderheiten bei der Erarbeitung des Größenbereichs ... – Eingeschränktheit und großer Aufwand des (einfachen)Messens mit Einheitsquadraten o. Ä.– Nutzen von Formeln zur Berechnung von Flächeninhalten(ab Klasse 5)– Verknüpfung mit geometrischen ...
• Besonderheiten bei der Erarbeitung des Größenbereichs ... – Eingeschränktheit des (einfachen) Messens mit Messzylindernoder Einheitswürfeln– Unproportionale Skaleneinteilungen auf trichterförmigenMessbechern– Nutzen von Formeln zur Berechnung von Rauminhalten ...
• Satzgruppe des Pythagoras – Satz des Pythagoras– Kathetensatz– Höhensatz
• Satz des Pythagoras und Anwendungen „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe derFlächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich demFlächeninhalt des Hypotenusenquadrats.“ Wichtige Anwendungen: Längen- und Abstandsberechnungen ...
• Strahlensätze 1. Strahlensatz: Strecken auf der einen Halbgeraden verhalten sich wieentsprechende Strecken auf der anderen Halbgeraden 2. Strahlensatz: Parallele Querstreckenverhalten sich wie zugehörige Abschnitteauf ...
• Anwendung von Kreislehre Berechnung der Kreisfläche und desKreisumfangs (von denen teils andere Größen, die inAnwendungen betrachtet werden, abhängen)
• didaktische Funktionen von Kreislehre Außermathematische Anwendung (Erwerb von Wissen imBereich des Sachkontextes), Innermathematisch: Quadratische Funktionen mit einemFunktionsterm der Form ax² + b lassen sich durchSubstitution von x² ...
• Pädagogische Rechtfertigung für den Stochastikunterricht ... 1. Trägt zum besseren Verständnis der natürlichen und gesellschaftlichen Welt bei.2. Hilft, menschliches Verhalten besser zu verstehen.3. Hilft, höhere Kritikfähigkeit gegenüber vorgelegten Behauptungen ...
• Gründe für die Behandlung von Stochastik 1. Die Wirklichkeit enthält auch zufallsbedingteErscheinungen.2. Modellbildung kann deutlich werden.3. Wahrscheinlichkeitstheorie ist reich ansubstantiellen Erkenntnissen.4. Trifft auf Interesse bei ...
• Laplace- Regel Sind bei einem Zufallsversuch alle Ergebnissegleichwahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment.
• Schlussrechnung Sachaufgaben zu proportionalen (und umgekehrtproportionalen) Funktionen sind meist nach dem Prinzipaufgebaut, dass aus drei gegebenen Größen auf eine vierteGröße geschlossen werden muss. Man bezeichnet ...
• Lösungsverfahren in der Schlussrechnung – Zweisatz bzw. Dreisatz– Lösen mittels Tabelle– Anwendung von Formeln (z. B. in der Prozent- undZinsrechnung)– Rechnen mit Verhältnissen– Bestimmung des Proportionalitätsfaktors (z. B. beim ...
• Dreisatz nach dem alten Schema Sich entsprechende Größen werden jeweils in eine Zeilegeschrieben, dann betrachtet man (in Gedanken) dieDiagonale, die 2 bekannte Größen verbindet.Regel: „Über Kreuz multiplizieren und durch die ...
• Vor- und Nachteile des Dreisatzes nach dem "alten ... Vorteile dieses Schemas:– Rechnung sehr schnell durchführbar– wenig Schreibarbeit– Anwendungsaufgaben in anderen Unterrichtsfächern werdensehr schnell gelöst– Rechenschema kann gut eintrainiert ...
• Eigenschaften linearer Funktionen • Differenzenquotienteneigenschaft(Für alle x ungleich y gilt k=f(y)-f(x)/y-x)• Mittelwerteigenschaft:Dem Mittelwert zweier Größen des einen Bereichs entsprichtimmer der Mittelwert der zugeordneten ...
• Zugänge zur Prozentrechnung Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung vom-Hundert-Rechnung
• Tipps für Methodisches Vorgehen bei der Einführung ... Konkrete Vergleichsprobleme aus interessantenSachkontexten so wählen, dass• von der Sache her allein ein Bruchvergleich undnicht ein additiver Vergleich sinnvoll ist,• durch große Zahlen und v. ...
• Mögliche Stufenfolge für die Einführung in die ... 1) Einführung des Prozentbegriffs als andere Sprechweisefür Hundertstel, Bedeutung des Begriffs beim relativenVergleich (Verhältnisbegriff!)2) Einführung des Begriffs Grundwert, intensive Einübung3) ...
• Spezielle Anwendung der Prozentrechnung Promillerechnung Zinsrechnung  

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