Statistik (Fach) / Mathematische Grundlagen der Skalenkonstruktion (Lektion)

Jordanien

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• Wann sind zwei Vektoren linear abhängig voneinander? Wenn sich ein Vektor als Linearkombination des anderen Vektors/ der anderen Vektoren darstellen lässt. Wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist, sind sie stets linear abhängig.
• Wie multipliziere ich Matrizen? - erste Zeile x erste Spalte - zweite Zeile x erste Spalte - erste Zeile x zweite Spalte - zweite Zeile x zweite Spalte
• Wie stelle ich fest, ob eine Matrix orthogonal ist? Ich zerlege sie in einzelne Vektoren. Dann bilde ich das Skalarprodukt der einzelnen Vektoren.. Wenn dieses Null ist, ist die Matrix orthogonal. Beispiel: -3  0   4 4   0   3 0   5   0 a=(-3,4,0), b=(0,0,5), c=(4,3,0) Wenn dieses Skalarprodukt Null ist (die Spaltenvektoren also orthogonal zueinander sind),  die Matrix quadratisch ist und die Spaltenvektoren die Länge Eins besitzen, dann ist die Matrix orthogonal! Im Beispiel ist zwar das Skalarprodukt Null, und die Matrix ist quadratisch, aber die Spaltenvektoren haben nicht die Länge Eins: √(-3,4,0)*(-3,4,0) =√ 9 + 16 =  5 = Länge (?)
• Was ist die Länge einesVektors? Die Längen von Spaltenvektoren: Ich multipliziere die Einträge der einzelnen Spalten einer Matrix mit sich selbst, addiere sie, und ziehe die Wurzel. Also: x= 1   0 0   1 √(1x1 + 0x0) = 1 > Länge Eins √(0x0 + 1x1) = 1 > Länge Eins --> Fazit:  Die Längen der Spaltenvektoren sind beide = Eins. Länge Eins der Spaltenvektoren ist eine Voraussetzung für orthogonale Matrizen.
• Eigenschaften orthogonaler Matrizen 1. Längenerhaltung 2. Winkelerhaltung 3. Orthogonalität der Spalten/ Zeilenvektoren
• Rotationsproblem der Faktorenanalyse Der Output einer Faktorenanalyse liefert in der Regel eine Ladungsmatrix A. Die Einträge der Matrix A geben dabei an, wie stark ein Faktor auf einem Item lädt. Die Struktur der Ladungsmatrix bestimmt in der Regel die Interpretation der Faktoren (Benennung nach den Items, in die der Faktor stark eingeht). Problem: Das Ergebnis einer Faktorenanalyse ist nicht eineutig. Faktorladungen sind nur bis auf orthogonale Transformationen eindeutig bestimmt. Alle Ladungsmatrizen, die sich lediglich durch eine Rotation unterscheiden, sind statistisch gesehen gleichwertig. Konsequenz: Die Interpretation der Faktoren ist nicht eindeutig und birgt eine gewisse Willkür in sich. Voraussetzung: Das Rotationsproblem tritt auf, wenn die Ladungsmatrix invertierbare und orthogonale Vektoren enthält (?)
• Erkläre die Beziehung zwischen Eigenschaften orthogonaler Matrizen und dem Rotationsproblem der Faktorenanalyse Auf Grund der Eigenschaften orthogonaler Matrizen: Längenerhaltung: Transformiert man einen Vektor x mit Hilfe einer orthogonalen Matrix G, so besitzt der resultierende Vektor y =Gx die gleiche Länge wie der ursprüngliche Vektor x. Winkelerhaltung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren x1, x2 ändert sich nicht, wenn es anhand der transformierten Vektoren y1 = Gx1, y2 = Gx2 berechnet wird. Orthogonalität der Spalten/ Zeilenvektoren: Für eine orthogonale Matrix G gilt: Wenn man sie mit sich selbst transponiert, erhält man die Einheitsmatrix (quadratische Diagonalmatrix mit Einsen als Diagonalelementen). Orthogonale Matrizen sind invertierbar (?) Die Spaltenvektoren von orthogonalen Matrizen sind linear unabhängig (?)  
• Schreibe das Grundmodell der KTT auf! Xg = Tg + Eg Erwartungswert (Eg/Tg) = 0 Cov (Eg/Eh) = 0 Cov (Tg/Eh) = 0
• Was sind die zwei verschiedenen Interpretationsarten des True-Scores, bzw. des Messfehlers? Auf welche zentralen Begriffe hat diese Unterscheidung auch eine Relevanz? Man interscheidet zwischen intra- und interindividuell. Zwischen diesen beiden Effekten gibt es keine notwendige logische Verknüpfung. Beim intraindividuellen Messen ist der wahre Wert derjenige Wert, welchen man erhalten würde, wenn man unendlich oft messen würde. Der Messfehler ist demensprechend die Abweichung der (variierenden) Messung von diesem erwarteten Wert. Beim interindividuellen Messen ist der wahre Wert derjenige Wert, welcher der gemittelte Wert aller Personen ist, die einer Personengruppe zugeordnet wurden. Der Messfehler einer Person ist die Abweichung ihres (deterministischen) Messwerts vom wahren Wert ihrer Personengruppe.
• Stelle Markus und Matthias (Seite 69) True-Scores und Messfehler, sowie ihre "zufälligen" Pendants auf! Okeee. Also. Es gibt zwei Personen und zwei Messinstrumente. Ich erhalte die True-Scores, indem ich die beobachteten Werte mit der Wahrscheinlichkeit multipliziere, mit der sie gezogen werden. Beispiel: Markus, Messinstrument 1: 1x.5 + 0x.5 = .5 = T Dann ziehe ich diesen True-Score von dem beobachteten Wert ab und erhalte so den Messfehler. Beispiel: Markus, Messinstrument 1: 1-.5=.5 = E und 0-.5=-.5 = E Was ein zufälliges Pendant sein soll, weiß ich nicht!! Eventuell ist damit gemeint, dass man beweisen soll, dass True-Score und Messfehler nicht korrelieren: Dafür multipliziere ich den True-Score mit dem Messfehler und mit der Wahrscheinlichkeit, mit der dieser True-Score auftritt: (?) Aber wahrscheinlich ist eher gemeint, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter True-Score gezogen wird. Dafür multipliziere ich, keine Ahnung was. Oder damit ist gemeint: Wenn ich zufällig eine Person ziehe, mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehe ich einen der True-Scores (?)  
• Was ist das Skalarprodukt (inneres Produkt), wie errechne ich es und wofür brauche ich es? Das Skalarprodukt ordnet jedem Paar von Vektoren (x,y) eine reele Zahl zu. xT = (1, 2, 3) yT = (0, 1, -2) xTy =  1*0 + 2*1 + 3*(-2) = -4 Wenn das Ergebnis aus diesem Skalarprodukt 0 ist, sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander.
• Erkläre die Beziehung zwischen invertierbaren Matrizen und dem Uneindeutigkeitsproblem x = Lambda * f + E x = Lambda * I * f + E x = Lambda * A* A-1 * f + E x = (Lambda * A) * (A-1 * f) +E      > man kann einen neuen Faktor bilden: x = Lambda' * f' + E Diese beiden verschieden aussehenden Matrizen sind empirisch nicht unterscheidbar. Gilt für jede Matrix, die invertierbar ist (eine quadratische Matrix B ist eine Inverse zur quadratischen Matrix A, wenn gilt: AB=I. Es existiert nur eine Inverse zur Matrix A wenn ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind).
• Zu einer quadratischen Matrix A existiert eine Inverse dann, und nur dann, wenn die Spaltenvektoren von A ... linear unabhängig sind!
• Was ist das Varimaxkriterium? Es wählt unter allen Ladungsmatrizen diejenige aus, die am wenigsten Querladungen aufweist.
• Was sind die drei klassischen Resultate ? Minderungskorrektur, Paralleltestreliabilität, Testverlängerungsformel
• In welchem Zusammenhang steht die Korrelation zweier Messungen und die Korrelation der dahinterliegenden True-Scores? Die Korrelation zweier Messungen ist stets kleiner als die dahinterliegenden True-Scores.
• Thema Attenuation: Wovon ist die Abschwächung der Korrelation abhängig? Die Abschwächung der Korrelation fällt umso stärker aus, je geringer die Reliabilität der beiden Messinstrumente ist.
• Wann ist die Korrelation zweier Messungen identisch mit ihrer Reliabilität? Wenn die True-Scores beider Messungen perfekt korrelieren und wenn zusätzlich beide Messinstrumente die gleiche Reliabilität aufweisen, dann ist die Korrelation der beiden Messungen identisch mit der Reliabilität. ρ (Tg, Th) = 1 ρg = ρh
• Was sind die Voraussetzungen zur Anwendung der Paralleltestreliabilität und wann sind sie erfüllt? Voraussetzungen: ρ(Tg, Th) = 1 ρg = ρh ist bei parallelen Messungen erfüllt.
• Testverlängerungsformel: Warummmm braucht man sie? Weil man herausfinden möchte, in welcher Beziehung die Reliabilität von einer aggregierten Skala zu den Reliabilitäten der Einzelmessungen steht. Normalerweise: Ohooo die Reliabilitäten stehen normalerweise in keiner einfach Beziehung. Es ist kompliziert. Aber es gibt einen Spezialfall...  
• Wann darf man die Spearman-Brown-Formel anwenden? Wenn die Annahmen paralleler Messungen erfüllt sind (welche waren das nochmal...?) Was ist in der Kategorie unter parallelen Messungen?
• Wie lautet die Spearman-Brown-Formel? ρx ist ide Reliabilität der zusammengesetzten Messung (= Summe der Einzelmessungen) und ρ ist die Reliabilität der Einzelmessung und k ist die Anzahl der Einzelmessungen ρx = k*ρ / [1 + (k-1) * ρ]  
• Drei grobe Reliabilitätsschätzarten Vorgabe eines Paralleltests oder Spit-Half (?) Wiederholtes Testen mit der gleichen Skala zu einem späteren Zeitpunkt: Restest einmalige Vorgabe des Tests: interne Konsistenz oder Split-Half (?)
• Was schätzt man mit Guttmans λ (Lambda)? Mti Guttmans λ schätzt man, wie hoch die Reliabilität mindestens ausfällt
• Welche verschiedenen Berechnungen für die untere Grenze der Reliabilität fallen dir ein? Guttmans λ1 Cronbach Alpha (Guttmans λ3)
• Zwei Eigenschaften von Cronbachs alpha, please: - α ist eine untere Schranke für die Reliabilität eines Tests, wenn die Axiome der KTT gelten - α ist identisch mit der Reliabilität des Summenwertes, wenn die Messungen (Items) essenziell tau-äquivalent sind.
• Schlaue Bemerkungen aus Jordanien zu Cronbachs α : - Die in der Praxis vorherrschende Rolle von  α steht in keinem Verhältnis zur theoretischen Fundierung. -  α wird in der Praxis häufig verwendet, um die sogenannte interne Konsistenz eines Tests zu bestimmen. Interne Konsistenz ist ein sehr vager Begriff, für  den es verschiedene, zum Teil widersprüchliche, esoterische Definitionen gibt. - Der Wert von  α sagt nicht über die Dimensionalität des Tests aus, d.h. es gibt eindimensionale Tests mit (beliebig) hohem  α
• Was ist der Unterschied zwischen Guttmans λ1 und Cronbachs Alpha? Bei Cronbachs Alpha kommt noch die Länge des Tests hinzu
• Was ist die Beziehung zwischen der Reliabilität, dem geschätzten Cronbachs Alpha und dem wahren Cronbachs Alpha (unter der Grundmodell der KTT)???? keine ahnunkkkk... ok, jetzt schon: Das aus der Stichprobe geschätzte Alpha unterschätzt normalerweise die Reliabilität (ist eine untere Grenze). Bei parallelen Messungen ist das Alpha gleich der Reliabilität. Das wahre Alpha hat eine Kennwerteverteilung > eine Normalverteilung, welche normalverteilt um das wahre Alpha verteilt liegt. Wenn ich Alpha mit einer kleinen Stichprobe schätze, kann es passieren, dass dieses geschätzte Alpha rechts von Rho (= der Reliabilität) landet. Das ist natürlich gar nicht gut.
• Was ist Cronbachs Alpha wenn die Voraussetzung ... erfüllt ist und was ist Cronbachs Alpha, wenn diese nicht erfüllt ist? ... der wesentlichen tau-äquivalenz. Wenn diese erfüllt ist, ist Cronbachs Alpha eine genaue Schätzung der Reliabilität, wenn sie nicht erfüllt ist, ist sie eine Schätzung der unteren Grenze der Reliabilität. (?)
• Was sagt Cohens Kappa aus? Objektivität von zwei Ratern: Vergleich der beobachteten Übereinstimmung mit der unter stochastischer Unabhängigkeit zu erwartenden Übereinstimmung.
• Was ist das Kappa-Paradoxon? Das Raterpaar, das diskrepantere Randverteilungen hat, bekommt den höheren Kappawert. Diskrepante Randverteilungen sind schlecht. Ein hoher Kappawert ist gut.
• Grundmodell der KTT Xg = Wg + Eg Erwartungswert (Wg/Eg) = 0 Cov (Wg / Eh) = 0 Cov (Eg / Eh) = 0
• Was ist der p-Wert, und was ist er nicht? Er ist das kleinste Signifikanzniveau, um die Ho abzulehnen. Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Ho oder die H1 gilt.
• Welche Werte kommen in den Konfidenzbereich? Alle Werte, bei denen die Ho nicht abgelehnt wird. Außerhalb des Konfidenzbereichs kommen alle Werte, bei denen die H1 angenommen wird.
• Was ist das Signifikanzniveau? Die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art.
• Schreibe das Faktormodell in Vektornotation, in Matrix-Vektornotation und in Indexschreibweise auf! ... mach doch selber
• Was ist die Sonderrolle von eindimensionalen Modellen? Eindimensionale Modelle sind restriktiver als mehrdimensionale Modelle. Das Rotationsproblem ist nicht vorhanden, (weil ich nur einen Faktor habe) und das Uneindeutigkeitproblem ist nicht so wichtig, weil die eingeschobene Matrix A eine ganz normale Zahl ist (aus dem selben Grund: Wenn ich nur einen Faktor habe, ist auch die eingeschobene Matrix eine 1x1-Matrix = eine normale Zahl). Daher kann man auch eine Analogie zum regrssionsmodell ziehen. Bei mehrfaktoriellen Modellen leidet immer ein Faktor und der Vorhersagekraft des anderen.
• Was ist Lambda, was ist f und was ist müh im Regressionsmodell? Lambda = beta f = x müh = betanull
• Was ändert sich nicht durch Rotation? Länge und Winkel eines Vektors ändern sich nicht durch Rotation (Vergleich: Eigenschaften von orthogonalen Vektoren)
• Beim Rotationsproblem habe ich eine Vorgabe, ich möchte nämlich ... Faktoren. Also, sie müssen ... und ... sein. ich möchte unkorreliert Faktoren. Also, sie müssen invertierbar (linear unabhängig) und orthogonal (linear unabhängig, Länge 1 der Spaltenvektoren und quadratisch) sein. (?)
• Definition von Teststärke Wahrscheinlichkeit, dass die Ho abgelehnt wird, unter der Bedingung, dass die H1 angenommen wird.
• Was weißt du über das kongenerische Modell? Wenn ich vier Indizes wähle, also eine 2x2-Matrix entsteht und ich erst über Kreuz multipliziere und dann voneinander abziehe, ergibt dies: Null!! Genial.
• Was berechnet das gewichtete Kappa? Den Schaden, wenn zwei Beobachter verschiedene Aussagen machen. Wenn die Rater unabhängig raten würden, hätte ich auf der Diagonalen der Tabelle der bedingten Verteilung nur Einsen und den Rest Nullen.
• Welche empirischen Restriktionen implizieren eindimensionale Modelle?? - alle Partialkorrelationen sind positiv - alle Nebendiagonaleinträge der Anti-Image-Korrelationsmatrix sind negativ
• Was macht man bei der Partialkorrelation? 1. Eine lineare Vorhersage von x mit Hilfe von z 2. Eine lineare Vorhersage von y mit Hilfe vonz 3. Eine Korrelation der Fehlerterme ex und ey (die Terme, die nicht durch den linearen Einfluss von z erklärt werden können) liefert die Partialkorrelation rhoxy/z zwischen x und y bei Kontrolle von z.
• Vorzeichen der Partialkorrelation = Vorzeichen der Ladungen
• Wann sind zwei Messungen parallel? ρ (Tg, Th) = 1 ρg = ρh  

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