Mathematik (Fach) / Elementargeometrie und Vektorrechnung (Lektion)

Elementargeometrie und Vektorrechnung

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• Lagebeziehung Ebene und Ebene - Schnittgerade bestimmen Jeder Richtungsvektor der gesuchten Geraden g ist auch ein Richtungsvektor von E1 und E2. Er muss daher sowohl auf n1 als auch auf n2 normal stehen. Setze daher z.B. g = n1 × n2 Die Gleichungen für E1 und E2 bilden ein Gleichungssystem. Setze z.B. z = 0 und löse nach x und y. Das ergibt einen Punkt A = (x|y|0). Gerade g: X = A + t·g
• Lagebeziehung Ebene und Ebene - Überprüfung 1. Überprüfen, ob n1 und n2 parallel sind Falls nein: E1 ∩ E2 = g Falls ja: E1 ∩ E2 = { } oder E1 ∩ E2 = E1 = E2 2. Überprüfen, ob die Gleichung von E1 ein Vielfaches der Gleichung von E2 ist. Falls nein: E1 ∩ E2 = { } Falls ja: E1 ∩ E2 = E1 = E2
• Definition Kreis in R² elementargeometrisch Alle Punkte, die von einem bestimmten Punkt (Mittelpunkt M) denselben Abstand haben
• formale Definition Kreis in R² Sei M ∈ R², r ∈ R. Die Menge aller Punkte X ∈ R², für die |MX| = r gilt, heißt Kreis (in R²) mit Mittelpunkt M und Radius r.
• Definition und Gleichung eines Kreises in R² - Satz Sei M ∈ R², r ∈ R. Der Punkt X ∈ R² liegt genau dann auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt M und Radius r, wenn gilt: (X - M)² = r² bzw. (x – m1)² + (y – m2)² = r² Beweis: X liegt genau dann auf dem Kreis, wenn |MX| = r ⇔ (|MX|)² = r² ⇔ (X – M)² = r²                 bzw. (x – m1)² + (y – m2)² Achtung: beim Mittelpunkt ablesen immer Vorzeichen ändern!
• Definition und Gleichung eines Kreises in R² - Beweis Sei M ∈ R², r ∈ R. Der Punkt X ∈ R² liegt genau dann auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt M und Radius r, wenn gilt: (X - M)² = r² bzw. (x – m1)² + (y – m2)² = r² Beweis: X liegt genau dann auf dem Kreis, wenn |MX| = r ⇔ (|MX|)² = r² ⇔ (X – M)² = r²                 bzw. (x – m1)² + (y – m2)² Achtung: beim Mittelpunkt ablesen immer Vorzeichen ändern!
• Ermitteln einer Kreisgleichung in R² - Geg: Mittelpunkt M und ein Punkt P des Kreises r = |M - P| dann einsetzen in die Kreisgleichung (X - M)² = r² bzw. (x - m1)² + (y - m2)² = r²
• Ermitteln einer Kreisgleichung in R² - Geg: drei Punkte P, Q, R des Kreises Bestimme die Streckensymmetralen von PQ und PR und schneide diese, das ergibt den Mittelpunkt M Streckensymmetrale - geht durch den Mittelpunkt der Seite und steht normal auf diese Dann Radius berechnen und in die Kreisgleichung einsetzen
• Ermitteln einer Kreisgleichung in R² - Geg: Mittelpunkt M, Kreis berührt die x-Achse Radius r entspricht dem Abstand von M zur x-Achse, d.h. r = |m2|
• Ermitteln der Kreisgleichung in R² - Geg: Mittelpunkt M u. eine beliebige Gerade g, der Kreis berührt die Gerade Ermitteln einer Normalgeraden auf g durch M Schneiden dieser Normalgeraden mit g ergibt Berührpunkt P Radius berechnen u. alles in die Kreisgleichung einsetzen Anwendung: Inkreis eines Dreiecks
• Tangentengleichung mittels Normalvektor - Geg: Kreis k, Punkt P auf dem Kreis n := MP = P - M ist ein Normalvektor auf die Tangente wenn n = (n1|n2), ist die Tangentengleichung n1·x + n2·y = n1·p1 + n2·p2
• Tangentengleichung - Satz: Spaltform der Tangentengleichung Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M = (m1|m2), P = (p1|p2) ein Punkt auf k, dann ist (p1 – m1) · (x – m1) + (p2 – m2) · (y – m2) = r² eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt P. Dies nennt man die Spaltform der Tangentengleichung.
• Tangente von einem Punkt aus an einen Kreis in R² - Geg: Kreis k, Punkt P, der nicht auf dem Kreis liegt Ges: Gl. der Tangenten durch P auf k Punkt T = (t1|t2) in die Kreisgleichung einsetzen → 1. Gleichung MT · PT = 0 in Koordinatenform anschreiben → 2. Gleichung Gleichungssystem nach t1 und t2 lösen, dann in die Spaltform einsetzen
• Tangente mit vorgegebener Richtung an einen Kreis in R² - Geg: Kreis k, Richtungsvektor g Ges: Gleichungen der Tangenten auf k, die den Richtungsvektor g haben Normalgerade n auf g bilden n mit Kreis k schneiden → ergibt Berührpunkte T und T' Berührpunkte in Spaltform einsetzen
• Definition und Gleichung einer Kugel Sei M ∈ R³, r ∈ R. Die Menge aller Punkte X ∈ R³, für die MX = r gilt, heißt Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r. Satz: Sei M ∈ R³, r ∈ R. Der Punkt X ∈ R³ liegt genau dann auf der Kugel mit Mittelpunkt M u. Radius r, wenn gilt: (X – M)² = r² mit X = (x|y|z) (x – m1)² + (y – m2)² + (z – m3)² = r²
• Tangentialebene an einer Kugel in R³ Eine Ebene E, die mit einer Kugel K (mit Mittelpunkt M u. Radius r) genau einen Punkt P gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangetialebene an die Kugel. P nennt man den Berührpunkt der Tangentialebene. Satz: E steht normal auf MP, und |MP| = r. Gleichung der Tangentialebene: n1·x + n2·y + n3·z = n1·p1 + n2·p2 + n3·p3
• Tangentialebene an eine Kugel in R³ - Vorgehensweise Geg: Kugel K, Punkt P auf der Kugel Ges: Gleichung der Tangentialebene E durch P n := MP = P – M ist ein Normalvektor auf die Tangentialebene wenn n = (n1|n2|n3), dann ist die Gleichung von E: n1·x + n2·y + n3·z = n1·p1 + n2·p2 + n3·p3
• Ellipse - Alltag Kreis von einem schrägen Winkel aus betrachtet Schatten einer kreisförmigen Lichtquelle, die auf eine schräge Ebene fällt
• Ellipse - Gärtnerkonstruktion Man befestigt die Enden einer Schnur an zwei fixen Pflöcken F und F' und spannt die Schnur mit der Spitze einer Stange. Bewegt man die Stangenspitze in alle möglichen Lagen, so erzeugt diese eine Ellipse. Hat die Schnur die Länge 2a, dann gilt für jeden Punkt X der Ellipse: FX + F'X = 2a
• Ellipse - Definition Eine Ellipse ell ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F' konstant (= 2a > FF') ist ell: {X ∈ R² | FX + F'X = 2a} Sonderfall: Wenn die beiden gegebenen Punkte zusammenfallen (d.h. wenn F = F' ist), erhält man einen Kreis (mit Mittelpunkt F und Radius r = a)
• Tangente an eine Ellipse - Definition Eine Gerade t, die mit einer Ellipse ell genau einen Punkt T gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an die Ellipse. T nennt man den Berührpunkt der Tangente.
• Tangente an eine Ellipse - Herleitung der Tangentengleichung Man schneidet eine allgemeine Geradengleichung mit der Ellipsengleichung das ergibt eine quadratische Gleichung Wenn der Ausdruck unter der Wurzel in der Lösungsformel Null ergibt, dann gibt es genau eine Lösung
• Tangente an eine Ellipse - Tangentengleichung Satz Ist ell eine Ellipse in erster Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b, T = (xT|yT) ein Punkt auf der Ellipse, dann ist t: b²·x·xT + a²·y·yT = a²·b² eine Gleichung der Tangente an die Ellipse ell im Punkt T. Dies nennt man die Spaltform der Tangentengleichung.
• Tangente von einem Punkt aus an eine Ellipse (1.Hauptlage) Geg: Ellipse ell, Punkt P, der nicht auf der Ellipse liegt Ges: Gleichungen der Tangenten durch P auf ell Mittels Spaltform: 1. Punkt P = (p1|p2) ist gegeben → in die Spaltform der Tangentengleichung einsetzen           (d.h. x = p1, y = p2) → ergibt erste Gleichung für xT und yT 2. Punkt T = (xT|yT) in die Ellipsengleichung einsetzen; ergibt zweite Gleichung für xT und yT 3. Gleichungssystem nach xT und yT lösen → ergibt zwei Lösungspaare (xT|yT) 4. in die Spaltform einsetzen
• Definition und Gleichung einer Hyperbel - Fadenkonstruktion Man befestigt ein Lineal drehbar im Brennpunkt F', un einen Faden im Punkt F und im Punkt B. Man spannt den Faden so, dass er an der Linealkante anliegt. Dreht man das Lineal um F', überstreicht der Stift einen Hyperbelast. Hat die Schnur die Länge F'B – 2a, dann gilt für jeden Punkt X des rechten Hyperbelasts:         F'X – FX = 2a Analog gilt für jeden Punkt des linken Hyperbelasts: |FX – F'X| = 2a
• Definition einer Hyperbel (formal) Eine Hyperbel hyp ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die der Unterschied (der Betrag der Differenz) der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F' konstant (= 2a < FF') ist. hyp: {X ∈ R | |FX – F'X| = 2a}
• Tangente an eine Hyperbel - Definition Eine Gerade t, die mit einer Hyperbel hyp genau einen Punkt T gemeinsam hat und nicht parallel zu einer Asymptote ist, bezeichnet man als Tangente an die Hyperbel. T nennt man den Berührpunkt der Tangente.
• Tangente an eine Hyperbel - Tangentengleichung Ist hyp eine Hyperbel in erster Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b, T = (xT|yT) ein Punkt auf der Hyperbel, dann ist t: b²·x·xT – a²·y·yT = a²b² eine Gleichung der Tangente an die Hyperbel hyp im Punkt T. Dies nennt man die Spaltform der Tangentengleichung.
• Parabel - Alltagsbeispiele Wurfparabel Parabolantenne (Satellitenschüssel) Brückenkonstruktionen
• Definition einer Parabel - formal Eine Parabel par ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem gegebenem Punkt F und einer gegebenen Geraden l den gleichen Abstand haben. par: { X ∈ R² | FX = Xl }
• Gleichung einer Parabel in der 1. Hauptlage y² = 2px Beweis: Allg. Punkt X = (x|y) in die Def. einsetzen und ausrechnen
• Tangente an eine Parabel - Definition Eine Gerade t, die mit einer Parabel par genau einen Punkt T gemeinsam hat und nicht parallel zur Achse der Parabel ist, bezeichnet man als Tangente an die Parabel. T nennt man den Berührpunkt der Tangente.
• Tangente an eine Parabel - Tangentengleichung Ist par eine Parabel in erster Hauptlage mit Parameter p, T = (xT|yT) ein Punkt auf der Parabel, dann ist t: xT · x – yT · y = p · x + p · xT eine Gleichung der Tangente an die Parabel par im Punkt T. Dies nennt man die Spaltform der Tangentengleichung.
• Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte Schneidet man einen (Doppel-) Kegel mit einer Ebene, ergibt sich je nach Lage der Ebene (Beziehung zw. α = halbem Öffnungswinkel des Kegels und β = Winkel zw. Achse und Ebene) eine der drei Figuren

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