Testtheorie und Testkonstruktion (Fach) / Faktorenanalyse (Lektion)

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• Grundidee Korrelationen zwischen den (manifesten) Items werden dadurch erklärt, dass ihnen zumindest ein gemeinsames latentes Merkmal (=„Faktor“) zugrunde liegt. r≠1 wegen Messfehler
• Das multiple Faktorenmodell von Thurstone Unter der Annahme, dass die Ausprägungen der Personen in den verschiedenen Faktoren nicht miteinander korrelieren (oder kurz: unter der Annahme unkorrelierter Faktoren), ergibt sich, dass sich die Korrelation zwischen zwei Items nach folgender Formel berechnen lässt
• Die drei wichtigsten Kennwerte der Faktorenanalyse sind – die Ladungen der Faktoren pro Item i, j , – die Kommunalität des Items hi2 und– der Eigenwert des Faktors Eig(Fj ) .
• Die Ladungen Die Ladung  ist die Korrelation von Item i mit Faktor j. i,ji,j (Xi,Fj) Ladungen können daher positiv und negativ sein! Die quadrierte Ladung ist das Bestimmtheitsmaß. Dadurch ist sowohl ablesbar, wie stark ein Faktor an einem Item „beteiligt“ ist, aber auch, wie gut die Ausprägung des Faktors durch das Item vorhersagbar ist bzw. wie gut das Item den Faktor misst. Die Ladung  ist daher als (Konstrukt)Validität das Items i i,j für den Faktor j interpretierbar.
• . Die Ladung  ist daher als (Konstrukt)Validität das Items i i,j für den Faktor j interpretierbar.? Ja!
• Die Kommunalität eines Items Die Kommunalität eines Items gibt an, wie viel der Varianz eines Items durch die gemeinsamen Faktoren erklärt werden kann Geht man davon aus, dass die Ausprägungen der Faktoren bei den Personen stabil sind, so ist die Kommunalität die untere Schranke der Reliabilität des Items
• Der Eigenwert eines Faktors Der Eigenwert eines Faktors gibt an, wie viel der Varianz der Items durch den jeweiligen Faktoren erklärt werden kann+ Dividiert man den Eigenwert eines Faktors durch die Anzahl an Items und nimmt das Ergebnis mal 100, so ergibt das den Prozentsatz der Gesamtvarianz aller Items, der durch den jeweiligen Faktor erklärt wird.
• Je größer der Eigenwert eines Faktors umso… größer ist sein Anteil an der „Erklärung“ der Korrelationen zwischen den Items.
• Der Eigenwert ist demnach „wichtig“, um den „Stellenwert“ eines Faktors zu interpretieren. Er kann (im übertragenen Sinn) als Maß dafür verstanden werden, wie gut die im Test enthaltenen Items den jeweiligen Faktor messen bzw. wie viel „Information“ die im Test enthaltenen Items über den Faktor „liefern“.
• Parameterschätzung Die mathematische Herausforderung im Rahmen der Faktorenanalyse ist die Bestimmung der (unbekannten) Ladungen sowie die Festlegung der Faktorenzahl. Die Grundidee der Parameterschätzung basiert darauf, zunächst jenen Faktor mit dem größten Eigenwert zu „extrahieren“. Dadurch wird die Summe der quadrierten verbleibenden Korrelationen zwischen den Items am stärksten minimiert.
• m Rahmen der Faktorenanalyse wurden eine Vielzahl an Extraktionsverfahren entwickelt. Die zwei am häufigsten angewandten sind - die Hauptachsenanalyse („principal axis“) und– die Hauptkomponentenanalyse („principal components“).
• Bei der Hauptkomponentenanalyse wird davon ausgegangen dass sich die Varianz eines Items vollständig durch die gemeinsamen Faktoren erklären lässt. Demnach sind alle Kommunalitäten (und somit auch die Korrelationen eines Items mit sich selbst) gleich 1. Als Konsequenz werden so viele Faktoren extrahiert, wie es Items gibt.
• Bei der Hauptachsenanalyse wird davon ausgegangen, dass sich die Varianz eines Items immer in die Kommunalität und die Einzelrestvarianz aufteilt. Demnach sind die Kommunalitäten (und somit auch die Korrelationen eines Items mit sich selbst) kleiner als 1. Ziel ist es also, nur die durch die gemeinsamen Faktoren erklärbare Varianz zu beschreiben.
• Laut Backhaus et al.* unterscheidet sich die Interpretation der Faktoren je nach Methode. Bei der Hauptkomponentenanalyse geht es darum, die hoch auf einem Faktor ladenden Items zu einem Sammelbegriff zusammenzufassen. Bei der Hauptachsenanalyse geht es darum, die „Ursachen“ für die (hohen) Korrelationen zwischen den Items zu finden
• Für die Bestimmung der Anzahl an Faktoren gibt es fünf üblicherweise herangezogene Kriterien –  Faktorenzahl wird a priori festgelegt, –  alle Restkorrelationen sind nahe 0 (z.B.: <.2), –  der Eigenwert des zuletzt extrahierten Faktors ist kleiner 1* (im übertragenen Sinn ist damit die „Information, die über den Faktor vorliegt“ geringer als die Information eines einzigen Items), –  der Verlauf des Eigenwertediagramms (Screeplot) oder –  die Parallelanalyse.
• Faktorenrotation Durch die Rotation ändern sich – die Ladungen,– die Eigenwerte und– möglicherweise auch die Interpretation der Faktoren.
• Faktorenrotation Unverändert bleiben – die Kommunalitäten – der Anteil der durch die Faktoren erklärbaren Varianz.
• Wird der rechte Winkel zwischen den Faktorenachsen beibehalten (= unabhängige Faktoren) spricht man von einer orthogonalen Rotation.
• Gibt man die Forderung nach unabhängigen Faktoren auf (= Faktorenachsen müssen nicht im rechten Winkel aufeinander stehen) so spricht man von schiefwinkeligen (= oblique) Rotationen.
• Die bekannteste Art der Faktorenrotation ist die „Varimax- Rotation“. Hierbei werden die Faktoren so rotiert, dass die Varianz der Ladungen innerhalb eines Faktors maximal wird. Das bedeutet, das Ziel ist pro Faktor sowohl hohe als auch niedrige Ladungen zu haben um so die Faktoren leichter benennen zu können.
• Faktorwerte Da es das Ziel der Faktorenanalyse ist, die Zahl der Kennwerte zu reduzieren (aus vielen Items sollen deutlich weniger Faktoren resultieren), ist es nötig, Kennwerte für die Ausprägungen der Personen in den zu Grunde liegenden Faktoren zu ermitteln. Diese Kennwerte nennen sich Faktorwerte (auch „Skalenwerte“ genannt). Man unterscheidet zwischen gewichteten und ungewichteten Faktorwerten.
• Ungewichtete Faktorwerte Die Berechnung der ungewichteten Faktorwerte erfolgt pro Person z.B. durch aufsummieren oder mitteln der Punkte jener Items, die in einem Faktor hoch laden. Items, die in mehreren Faktoren ähnlich hohe Ladungen aufweisen, werden entweder jenem Faktor zugerechnet, in dem sie die höchste Ladung aufweisen oder bei der Berechnung der Faktorwerte nicht berücksichtigt. Ist die Ladung eines Items in einem Faktor negativ, so muss das Item „umgepolt“ werden.
• Gewichtete Faktorwerte Da bei der ungewichteten Berechnung der Faktorwerte die unterschiedliche Konstruktvalidität der Items nicht berücksichtigt wird und Items, die in zwei oder mehr Faktoren ähnlich hohe Ladungen haben, problematisch sind, werden die Items je nach Ladung eines Items in einem Faktor gewichtet. Das Umpolen der Items ist hierbei nicht nötig.Es resultieren pro Faktor standardisierte Faktorwerte. Für die Berechnung stehen in SPSS unterschiedliche Methoden zu Verfügung.
• zwei Arten von Faktorenanalysen unterscheiden die explorative und– die konfirmatorische Faktorenanalyse.
• Explorative Faktorenanalysen (EFA) Die explorative Faktorenanalyse wird verwendet, wenn noch keine Hypothesen über die Anzahl an Faktoren und die Zuordnung der Items zu den Faktoren existieren. Die Zahl der Faktoren und die Zuordnung der Items zu den Faktoren wird mittels der zuvor besprochenen Vorgehensweisen bestimmt.
• Konfirmatorische Faktorenanalysen (KFA bzw. CFA) Bei der konfirmatorischen Faktorenanalyse sollen eine oder mehrere zuvor theoretisch festgelegte Faktorenstrukturen anhand empirischer Daten auf ihre Gültigkeit hin überprüft werden. Demnach müssen die Faktorenzahl und die Zuordnung der Items zu den Faktoren bekannt sein.
• Probleme und häufige Fehler bei der Anwendung Die explorative Faktorenanalyse (EFA) Die explorative Faktorenanalyse (EFA) trifft keine Aussagen über die Dimensionalität der Items. Die klassische Variante der FA beruht auf der Berechnung von Pearson Korrelationen bzw. Kovarianzen. Demnach sollten Items, die für eine in SPSS berechnete FA herangezogen werden, metrisch sein. Für andere Arten der FA sollte man mit R oder Mplus arbeiten. Weiters sind die Ergebnisse (vor allem die Anzahl an Faktoren) stark stichprobenabhängig. Je homogener die Stichprobe, desto geringer die Korrelationen zwischen den Items und umso mehr Faktoren ergeben sich. Demnach müssten z.B. die Gewichtungen für die gewichteten Summen in jeder Stichprobe neu berechnet werden.

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