Behavioral Finance (Fach) / 2. EUT (Lektion)

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• St. Petersburg Paradox (1738) Warum sind Menschen nur gewillt einen kleinen Betrag für die Teilnahme am St. Petersburger Spiel zu zahlen? Das St. Petersburger spiel hat einen theoretischen Erwartungswert von unendlich. Würde nach dem Erwartungswert der Lotterie die Teilnahme entschieden werden, müssten Spieler eine hohe Zahlungsbereitschaft haben (E(X)=unendlich--> Gewinn=unendlich). In der Realität lässt sich jedoch beobachten, dass Menschen eine geringe Zahlungsbereitschaft haben. Paradox! Bernoulli (1738) stellt dagegen die Hypothese auf, dass die Menschen sich nicht an der Höhe des erwarteten Gewinns orientieren, sondern am erwartetem Nutzen des Spiels(Lotterie). Verschiedene Menschen haben dabei eine individuelle Nutzenfunktion und bewerten ihre Teilnahme anhand der individuellen Risikopräferenzen, die potentielle Gewinne stiften. 
• Was iSt der Unterschied zwischen Erwartungswert (expected value) und Erwartungsnutzen (expected Utility) einer Lotterie? Der Erwartungswert der Lotterieergebnisse gibt den Wert an, der aus der Teilnahme an der Lotterie (oder anderen riskanten Situation) zu erwarten ist, wenn es zwei oder mehrere mögliche Ereignisse gibt: E(X)=P1 * X1 + (1-P1) * X2 Der Erwartungsnutzen einer Lotterie gibt den Nutzen an, den ein Spieler bei einer Lotterie mit zwei oder mehr möglichen Ergebnissen zu erwarten hat. Dabei kann der Nutzen als Zufriedenheit interpretiert werden, die durch ein bestimmtes Ergebnis erreicht wird E(U(X))= P1 * U(X1) + (1-P1) * U(X2)
• Ablauf St. Petersburger Spiel Beim Münzwurfspiel kann eine Münze verschieden oft geworfen werden. Bei Zahl hört das Spiel auf und der Rundengewinn wird ausgeschüttet. Wenn jedoch Kopf erscheint, geht das Spiel in die nächste Spielrunde. Während die Ausgangssituation unverändert bleibt, verdoppelt sich der Gewinn jede weitere gespielte Runde.  Theoretischer Erwartungswert liegt bei unendlich. Bedingung ist, dass die Lage besteht alle möglichen Gewinne bezahlen zu können.  Praktisch am Beispiel Gambling liegt der Erwartungswert nicht bei unendlich.
• Def.: Sicherheitsäquivalent (Certainty Equivalent) Das Sicherheitsäquivalent gibt an, bei welchem Betrag man gerade indifferent zwischen der unsicheren Lotterie und einer sicheren Zahlung ist.  Das CE lässt sich als Umkehrfunktion der Nutzenfunktion ermitteln (U(x)=ln(x) --> U^-1(x)=e^x) oder als (grafisches) äquivalent zum Erwartetem Nutzen E(U(X)).
• Def. Risk premium = Risiko Prämie Risikoavers, -neutral, -freudig Die Risikoprämie kann aus der Differenz des CE vom Erwartungswert (E(X)) berechnet werden. Anders ausgedrückt aus der Differenz zwischen dem erwarteten Gewinn durch die (riskante) Lotterie und dem Punkt, wo die (individuelle) Entscheidung (Lotterie vs. sichere Zahlung) indifferent ist. Demnach gibt es an, wie viel Geld ich vom Erwartungswert verzichten würde, wenn ich die Lotterie nicht spielen würde und die sichere Zahlung akzeptiere.  Risikoavers: RP >0    Der Erwartungswert der Lotterie ist höher als das ist, was ich von der Lotterie haben möchte Risikoneutral: RP=0   Der Erwartungswert der Lotterie stimmt mit dem Sicherheitsäquivalent über ein. Risikofreudig: RP<0    Der Erwartungswert der Lotterie ist niedriger als das was ich von der Lotterie haben möchte.
• Risikoneutrale Spieler orientieren sich bei den Entscheidungen alleine am Erwartungswert. Richtig, da der Erwartungswert dem Erwartungsnutzen entspricht.
• Def. Risikoaversion Risikoaversion beschreibt das Verhalten für einen Spieler, für den der Nutzen des Erwartungswerts der Lotterie größer ist als der Erwartungsnutzen der Lotterie --> U(E(X) > E(U(X)) RP > 0 [RP=E(X)-CE] Bei gegebener Risikopräferrenz wird der Erwartungswert höher gesichtet als der Nutzen des Erwartungswerts. Äquivalent zum Erwartungsnutzen der Lotterie ergibt sich das CE. CE < E(X) - konkaver Verlauf - U''(X) < 0 (Krümmung) - Bsp. U(X) = √X
• Def. Risikoneutral Risikoneutralität beschreibt das Verhalten für einen Spieler, für den der Nutzen des Erwartungswerts der Lotterie dem Erwartungsnutzen der Lotterie entspricht. --> U(E(X) = E(U(X)) RP = 0 [E(X) = CE] CE = E(X) - linearer Verlauf - U''(X) = 0 (Krümmung) - Bsp. U(X) = 2X  
• Def. Risikofreudig Risikofreude beschreibt das Verhalten für einen Spieler, für den der Nutzen des Erwartungswerts der Lotterie niedriger ist als der Erwartungsnutzen der Lotterie --> U(E(X) < E(U(X)) RP < 0 [RP=E(X)-CE] Bei gegebener Risikopräferrenz wird der Erwartungswert niedriger gesichtet als der Nutzen des Erwartungswerts. Äquivalent zum Erwartungsnutzen der Lotterie ergibt sich das CE. CE > E(X) - konvexer Verlauf - U''(X) > 0 (Krümmung) - Bsp. U(X) = e^x  
• Würde ein Risikoaverses Individuum am Aktienmarkt investieren? Ja, es kommt auf die individuelle Risikopräferenz an und nicht jede Investition ist mit hohem Risiko verbunden. Sofern das RP > 0 zu erwarten ist, würde ein Risikoaverser in den Aktienmarkt investieren.
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• Je höher das Risiko eines Investments, desto höher auch die erwartete Rendite. Richtig, da man ansonsten nicht in die risikobehafteten Aktie einsteigen würde.
• Def. EUT: Die EUT folgt Bernoulli's Ansatz und wurde von Neumann und Morgenstern 1947 entwickelt. Das Besondere der Weiterentwicklung ist das axiomatische Rahmenwerk, deren Akzeptanz unweigerlich zur Erwatungsnutzengel als Entscheidungsregel führt. Im Kern folgt die EUT somit der rationalen Entscheidung Theorie. (Homo oeconomicus)
• Unabhängigkeitsaxiom (1 von 6) Dem Prinzip nach wird eine weitere Lotterie mit zwei unterschiedlich riskanten Lotterien kombiniert. (= Zweistufige Lotterie)  Dabei ist dem Axiom nach vorherrschend, dass sich die Präfferenzreihenfolge nicht verändert, egal ob die Lotterien isoliert, oder in Kombination mit der dritten Lotterie betrachtet wird.  Das bedeutet komplexere Lotterien können, um die gemeinsamenKomponenten gekürzt werden, ohne Auswirkungen auf die Entscheidung zu nehmen.

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