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Modellierung (Fach) / Modellierung d.r. Prozesse (Lektion)

Diese Lektion wurde von jakobdanel erstellt.

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• Interpolation -          Schätzen von unbekannten Werten aufgrund von vorhanden Messwerten im Raum. -          Viele verschiedene Ansätze, vor allem: Kriging -          Beispiel: In einem Gebiet wurden an verschiedenen Orten Temperaturmessungen gemacht, man möchte nun für jeden Ort eine Temperatur vorhersagen.
• Thiessen-Polygone -          Einfachste Form der Interpolation. -          Schätzung des Wertes z an einem Ort x0 in dem z auf den Wert des am wenigsten weit entfernten Messwert gesetzt wird. -          Ergibt Karte mit scharfen Kanten -          In den allermeisten Anwendungen nicht realistisch, da die allermeisten Dinge kontinuierlich verlaufen.
• Inverse Distance Weigthed Interpolation  -          Form der Interpolation. -          Jeder Vorhandene Messewert geht in die Berechnung mit ein. -          Der einzige Faktor, der mit einfließt, ist die Entfernung eines Messpunktes zu dem Ort,                welcher geschätzt werden soll. -          Weiterer Faktor p zum regulieren. -          Ist exakt.
• Spatial Correlation -          Tobler´s First Law of Geography: -          Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things. -          Betrachten der lagged Correlation, also der Korrelation zu sich selbst aber um ein bestimmtes Lag verschoben (bei zeitlichen Daten meist die Zeit, bei räumlichen die Distanz)
• Univariat (Normalverteilung) Wenn Z einer Normalverteilung folgt, ist die Verteilungsfunktion mit Mittelwert μ und Varianz σ² vollständig beschrieben.
• Multivariat (Normalverteilung) Ist der Vektor Z = (z1, … , zn) eine multivariate Normalverteilung, sind die einzigen Werte zi univariat und man kann eine quadratische Matrix V bilden, wo an der i, j Stelle die Korrelation von zi, zj steht. Dieser Vektor beschreibt die Verteilung dann komplett.
• Geostatistische Interpolation (Kriging) - Vorhandene Messungen werden gewichtet, sodass diese unbiased (unvoreingenommen) und auch die Varianz der Vorhersage minimal ist. - Beim Kriging kommt für jeden Ort eine Zufallsverteilung mit Mittelwert und Varianz heraus.
• Anisotrophie Eine Messreihe wird als anisotroph bezeichnet, wenn die Semivarianz, also die räumliche Korrelation nicht nur von der Entfernung, sondern auch von der Himmelsrichtung abhängt. Das ist z.B. bei Untersuchungen an einem Flussgrund möglich, wenn bestimmte Wertverteilungen durch die Strömung verursacht worden sind.
• Simple Kriging (Eigenschaften) - Mittelwert ist bekannt. - Technisch gesehen wird von allen Messungen zunächst der Mittelwert abgezogen und nur eine Schätzung der Residuen gemacht. - Gewichte werden mithilfe der Semivarianz berechnet. - Keine Einschränkungen für die Gewichte. - Aus den Gewichten wird ein Schätzwert für das Residuum berechnet und auf dieses der Mittelwert addiert. - Vorhersage ist dann unbiased und die Varianz ist minimal
• Ordinary Kriging (Eigenschaften) - Mittelwert unbekannt (wird mitgesschätzt) - Vorgehen sehr ähnlich wie bei SK - Eiinzige Zusatzbedingungen, dass die Summe der Gewichte 1 ist. - Dies wird durch eine zusätzliche Spalte und Reihe in der Kovarianzmatrix sicher gestellt. 
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• Semivarianz Die Semivarianz lässt sich schreiben als γ(h)=(1/2)*E[(Z(s)−Z(s+h))^2], wobei h ein Abstandsvektor und s ein Ort ist. Die Semivarianz berechnet also die halbe quadrierte Abweichung von zwei Orten mit dem Abstand h.
• Semivariogramm Bezeichnet die Funktion, welche von einem Abstand h auf die zugehörige Semivarianz abbildet.
• Variogramm Synonym für Semivariogramm
• empirisches Variogramm Variogramm, welches aus Messwerten erstellt wird, wobei zunächst nur Punkte und keine ganze Funktion vorliegt. Das finden von Punkten passiert über das bilden von Abstandsklassen und das bilden der Mittelwert dieser.   
• theoretisches Variogramm Variogramm welches mithilfe von Optimierungsverfahren an das empirische Variogramm angepasst wurde.
• Nugget Variogrammparameter: y-Achsenabschnitt
• Sill Variogrammparameter: y-Wert an dem das Variogramm konstant verläuft.
• Psill Variogrammparameter: Sill - Nugget
• Range Variogrammparameter: x-Wert ab dem das Variogramm konstant verläuft.
• Universal Kriging (Eigenschaften) - Mittelwert nicht bekannt und nicht konstant - Mittelwert wird mithilfe von linearer Regression geschätzt - Idee, dass lineare Regresion bereits sehr viel Variabilität erklärt. - Dann sehr ähnlich zu OK
• lokale Vorhersagen (Idee) Statt alle Messwerte in die Vorhersage miteinzubeziehen, werden nur bestimmte Messungen mit eibezogen, z.B in einem bestimmten Radius oder nur die n nahesten Messungen.
• lokale Vorhersage Vorteile - weniger Rechenaufwand - Aufwand wächst für die Anzahl an einbezogen Messungen sehr stark  - nur wirklich relevante Orte (weniger voreingenommen)
• Block-Kriging Statt einem einzelnen Ort, wird ein ganzer Block geschätzt und für diesen ein Mittelwert gebildet, die Varianz ist hier tendenziell etwas niedriger. 
• Cokriging Es werden direkt mehrere Parameter gesschätzt. Dabei werden Informationen zwischen beiden Messreihen mit einbezogen, z.B. die Korrelation zweier verschiedener Parameter.
• Crossvalidierung Herauslassen einzelner Messorte und mitschätzen dieser, um danach Schätzwert mit tatsächlichen Wert vergleichen zu können.
• Deterministische zeitlich-räumliche Modelle - Basieren auf der Annahme, dass wir alle Dinge kennen, welche Einfluss auf unser System haben. - Unter dieser Annahme brauchen wir:         o   Die initialen Bedingungen des Systems (zum Zeitpunkt t = 0)         o   Die Bedingungen an den Rändern des Modells: Wann verlässt etwas den Modellbereich/ kommt etwas in den Modellbereich herein.
• Modell Domain Der Bereich eines dynamischen zet-räumlichen Modells, welcher modelliert werden soll.
• Initialen Bedingungen (z. r. Modelle) Bedingungen die zu den Startpunkten des gelten
• Rahmen Bedingungen (Boundary Condition) (d. r. Modelle) Bedingungen an den Rändern dess Modells.
• Prozesse (d. r. Modelle) Beschreibt die Veränderungen innerhalb eines Modells.
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• Kalibrierung des Modells - Modell muss mit tatsächlichen Parametern befüllt werden. - Das kann man mit Optimierungsmethoden machen (z.B. die aus dieser Vorlesung) - Gibt aber deutlich effizientere Wege dafür.
• Kalman Filter - Nimmt Messung immer als Mischung aus Messwert und Messfehler an. - Berechnet Mittelwert und Abweichung. - Schaut von Schritt zu Schritt und passt die Schätzung für den nächsten Schritt anhand der Varianz an.

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