Statistik I (Fach) / Wahrscheinlichkeiten (Lektion)

Wahrscheinlichkeiten halt

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• Menge A Zusammenfassung von bestimmten, unterscheidbaren Objekten, die als ELEMENTE bezeichnet werden. Mengen können durch ihre Eigenschaften beschrieben werden oder durch die Auflistung ihrer Elemente (in geschweiften Klammern; Reihenfolge egal)
• Mächtigkeit (Kardinalzahl) - bei endlichen Mengen entspricht dies der Zahl der Elemente - geschrieben: lAl --> Anzahl der Elemente von A z.B. A={1,3,5,7,9}⇒|A|=5
• Teilmenge (A Teilmenge von B) - Wenn a ein Element der Menge A ist, dann immer auch der Menge B  - echte Teilmenge: min. ein Element aus B ist nicht in A  - unechte Teilmenge: A und B sind identisch -->  A⊆B 
• Potenzmenge - Menge aller möglichen Ereignisse einer Ergebnismenge Ω , Menge aller Teilmengen - leere Menge und Menge A Ω selbst gehören auch immer zur Potenzmenge - Rechnung: 2lAl bzw. 2Ω 
• kartesisches Produkt - alle möglichen Paare (a,b) mit a ∈ A und b ∈ B, die eine neue Menge bilden - Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, d.h. im Allgemeinen ist (a,b) ≠ (b,a) - Es kann natürlich auch A=B sein  - jedes Element wird als n-tupel (a1, a2, etc.) --> Man kreuzt dann die n-tupel miteinander  
• Relation R - Teilmenge des kartesischen Produkts - für eine binäre Relation schreibt man: aRb - Bei n Mengen liegt entsprechend eine n-stellige Relation vor 
• Binäre Relation: linkstotal Jedes Element aus A steht zu min. einem Element aus B in Relation
• Binäre Relation: rechtstotal (=surjektiv) Jedes Element aus B steht zu mind. einem element aus A in Relation
• linkseindeutig (=injektiv) - Kein Element aus B steht zu mehr als einem Element aus A in Relation
• Binäre Relation: rechtseindeutig Kein Element aus A steht zu mehr als einem Element aus B in Relation.
• Binäre Relationen: eineindeutig (=bijektiv, umkehrbar eindeutig) Jedes Element aus B steht zu genau einem Element aus A in Relation --> nur möglich, wenn sowohl rechtstotal als auch linkseindeutig
• Eigenschaften der binomialverteilten Zufallsvariable X ∼ B(n,p) - bei diskreten Wahrscheinlichkeiten - Parameter n und p - Erwartungswert: E(X)= n · p - Varianz: Var(X)= n · p (1-p) - Mit zunehmedem n nähert sich die Binomialverteilung immer mehr der Normalverteilung an  (--> Approximation bereits ab n>20 hinreichend)
• Bernoulliexperiment - Zufallsvorgang unter identischen Bedingungen (mit Zurücklegen) wird n mal wiederholt - Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses bleibt dabei konstant P(A)=p
• Multinomialverteilung - Erweiterung der Binomialverteilung für den Fall mit mehr als zwei Ausprägungen
• Poissonverteilung - weitere diskrete Verteilung - Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der bei n Wiederholungen ein Ereignis k mal eintritt, wenn n sehr groß und p sehr klein ist (--> seltene Ereignisse)
• Hypergeometrische Verteilung - weitere diskrete Verteilung - Wahrscheinlichkeit mit der bei n Wiederholungen ein Ereignis k mal eintritt, wenn die Objekte nicht zurückgelegt werden (sich die Wahrscheinlichkeiten also nach jeder Ziehung ändern)
• Normalverteilung X∼N(µ,σ) - stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung - Normalverteilte Werte lassen sich durch die z-Transformation in standardnormalverteilte Werte umrechnen:  z= x-µ / σ Eigenschaften: - E(X) = µ - Varianz: Var(X) = σ2 - symmetrisch um µ (= Modalwert und Median) - Die Dichte nähert sich für x gegen +/- ∞ asymptotisch der x-Achse an - Zwischen dem Mittelwert +/- σ liegen 68,3% der Verteilung - Zwischen dem Mittelwert +/- 2·σ liegen 95,4%  - Zwischen Mittelwert +/- 3·σ liegen 99,7% der Verteilung
• χ2 - Verteilung X ∼ χ2 (df) - erhält man, wenn man mehrere voneinander unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen Z1, Z2, ... quadriert und addiert - X = ∑ Zi2 - ein Paramter: die Anzahl an Freiheitsgraden (degree of freedom):    -> entspricht der Zahl der aufsummierten Z-Variablen, also: df = k  - Eigenschaften:  - Erwartungswert E(X) = df - Varianz: Var(X)= 2 · df - Je kleiner df, desto linkssteiler ist die Verteilung; je größer df, desto mehr nähert sich die Chi-Verteilung einer Normalverteilung an 
• t-Verteilung X∼t(df) - stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung - ein Paramter: df  - erhält man, wenn man eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z0 durch die Wurzel einer dazu unabhängigen χ2- verteilte Zufallsvariable teilt, die durch die Zahl der Freiheitsgrade dividiert wurde: - Formel in Formelsammlung - Eigenschaften: - Erwartungswert E(X)=0, falls df>1 - Varianz Var(X)=df/(df-2), falls df>2 - symmetrisch um 0 und nähert sich mit wachsenden df immer mehr der Normalverteilung an
• F-Verteilung X∼F(df1,df2) - stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung - zwei Parameter: df1 (Zähler) und df2 (Nenner) - erhält man, wenn man den Quotienten zweier unabhängiger Χ2- verteilter Zufallsvariablen Y1 und Y2 bildet, die jeweils durch ihre Freiheitsgrade dividiert wurden - Formel in der Formelsammlung - Eigenschaften: - Erwartungswert E(X)= df2/(df2-2), falls df2 > 2 - Varianz Var(X)= Formelsammlung  - bei kleinen Freiheitsgraden assymmetrisch und linkssteil und wird bei wachsenden df symmetrisch - Das Quadrat einer t-Verteilung entspricht einer F-Verteilung mit einem Zählerfreiheitsgrad: t2(df) ∼ F(1,df) - der erste df ist ausschlaggebend für Verlauf der Kurve
• Permutation Wenn n Objekte in n! verschiedene Reihenfolgen gebracht werden - Es gilt: 0!=1 
• Spezialfall Binomialkoeffizient -     n·(n-1) / 2  --> "Wie viele verschiedene Paare kann man bei n Objekten bilden?"
• Binomialkoeffizient - die Zahl der Möglichkeiten, aus n Objekten, Gruppen der Größe k zu bilden - n über k : n! / k!·(n-k)!
• Kolmogorovs drei Axiome - Nicht beweisbare Setzungen/ Grunannahmen, die die Zuordnung von Zahlen zu Ereignissen erfüllen muss, um als Wahrscheinlichkeiten zu gelten - Die Wahrscheinlichkeit weist jedem Element einer Potenzmenge eine reelle Zahl zu, die nach Kolmogorov folgende Eigenschaften aufweisen muss:  Axiom 1: P(A) ≥ 0 für alle A ⊂ 2Ω  Axiom 2: P(Ω) = 1 , d.h. die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses beträgt 1 Axiom 3: Für alle Teilmengen A und B aus Ω, die disjunkt sind, (d.h. A ∩ B = ∅ ), gilt:  P (A U B)= P(A) + P(B) - Aus den Axiomen folgt unter anderem, dass Wahrscheinlichkeiten immer im Bereich von 0 und 1 liegen (0 ≤ P(A) ≤ 1) und komplementäre Ereignisse eine konplementäre Warhscheinlichkeit aufweisen: P(‎non-A) = 1 - P(A)

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